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Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T11:04:41Z

Jorge.ibanezmar: /* Información acerca del cicloide */

{{ TrabajoED |Grupo 37 Cicloide| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés de Miguel Higuera Jorge Ibáñez Martín Javier Valcárcel-Resalt García Jose Enrique Blasco Sánchez-Fuentes Ana Castillejo Huerta}}

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
 
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

 

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Puente de Segovia, en Madrid.

 

[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

 

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

 

[[Archivo:Via_ferrocarrilGrupo37.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Via ferroviaria]]

 

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.

 

[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
 
 
==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

:*<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
:* <math>\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT\Longrightarrow\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>
 
 

Esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
Matlab nos devuelve: '''La masa es 1,373u.m. '''

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html 
https://jcuadra2.wixsite.com/cuadrado/aplicaciones 
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page 
https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/integral.html 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T11:02:54Z

Jorge.ibanezmar: /* El cicloide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED |Grupo 37 Cicloide| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés de Miguel Higuera Jorge Ibáñez Martín Javier Valcárcel-Resalt García Jose Enrique Blasco Sánchez-Fuentes Ana Castillejo Huerta}}

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

 

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Puente de Segovia, en Madrid.

 

[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

 

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

 

[[Archivo:Via_ferrocarrilGrupo37.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Via ferroviaria]]

 

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.

 

[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
 
 
==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

:*<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
:* <math>\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT\Longrightarrow\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>
 
 

Esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
Matlab nos devuelve: '''La masa es 1,373u.m. '''

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html 
https://jcuadra2.wixsite.com/cuadrado/aplicaciones 
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page 
https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/integral.html 

[[Categoría:Teoría de Campos]] [[Categoría:TC23/24|2023-24]]

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:59:10Z

Jorge.ibanezmar: /* Bibliografía */

{{ TrabajoED |Grupo 37 Cicloide| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Andrés de Miguel Higuera Jorge Ibáñez Martín Javier Valcárcel-Resalt García Jose Enrique Blasco Sánchez-Fuentes Ana Castillejo Huerta}}

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Puente de Segovia, en Madrid.
[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

 

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.
[[Archivo:Via_ferrocarrilGrupo37.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
 
 
==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

:*<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
:* <math>\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT\Longrightarrow\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>
 
 

Esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
Matlab nos devuelve: '''La masa es 1,373u.m. '''

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html 
https://jcuadra2.wixsite.com/cuadrado/aplicaciones 
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page 
https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/integral.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:55:51Z

Jorge.ibanezmar: /* El cicloide en la ingeniería civil */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Puente de Segovia, en Madrid.
[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

 

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.
[[Archivo:Via_ferrocarrilGrupo37.png|400px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
 
 
==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

:*<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
:* <math>\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT\Longrightarrow\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>
 
 

Esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
Matlab nos devuelve: '''La masa es 1,373u.m. '''

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Archivo:Via ferrocarrilGrupo37.png

2023-12-15T10:54:21Z

Jorge.ibanezmar:

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:53:22Z

Jorge.ibanezmar: /* El cicloide en la ingeniería civil */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Puente de Segovia, en Madrid.
[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Puente de Segovia]]

 

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
 
 
==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

:*<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
:* <math>\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT\Longrightarrow\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>
 
 

Esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
Matlab nos devuelve: '''La masa es 1,373u.m. '''

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:43:29Z

Jorge.ibanezmar: /* El cicloide en la ingeniería civil */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.
[[Archivo:Puente_segoviaGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|derecha|Imagen. Puente de Segovia]]

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 
 
<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>
 
 
<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
 
 
<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>
 
 
<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 
 
<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT</math>
 
 
<math>\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>

==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

"primera foto"

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

"segunda foto"

esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
cuyo resultado da 1,3730

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Archivo:Puente segoviaGrupo37.jpg

2023-12-15T10:38:55Z

Jorge.ibanezmar:

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:30:57Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,300*pi);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,45) ;
q2=Q2(1,45) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,45) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 

El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.
 

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>
 

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=\vec{i}</math>
 

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)=(1-cos(T))\vec{j}-sin(T)\vec{k}</math>
 

<math>\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(T) & -sin(T)\end{vmatrix}=sin(T)\vec{j}+(1-cos(T))\vec{k}</math>
 

<math>|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|=\sqrt{sin(T)^{2}+(1-cos(T))^{2}}=\sqrt{2-2cos(T)}</math>
 

<math>\int_{0}^{2\pi}cos(T-sen(T))\sqrt{2-2cos(T)}dV dT</math>
 

<math>\int_{0}^{2\pi}cos(T-sin(T))\sqrt{2-2cos(T)}dT</math>

==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

"primera foto"

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

"segunda foto"

esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
cuyo resultado da 1,3730

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:25:19Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
t=linspace(0,2*pi,1000);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
N1 =-V2./norma ;
N2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2);
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+N1./k ;
Q2=y+N2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

<math>Masa =\int_{\varphi} f d \varphi=\int_0^{2 \pi} \int_0^1 f\left(\varphi(V, T)\left|\frac{d \varphi}{d V}(V, T) \times \frac{d \varphi}{d T}(V, T)\right| d V d T\right</math>

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(\varphi(V,T)|\frac{d\varphi}{dV}(V,T)\times\frac{d\varphi}{dT}(V,T)|)dVdT</math>

==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

"primera foto"

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

"segunda foto"

esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
cuyo resultado da 1,3730

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T10:01:49Z

Jorge.ibanezmar: /* Cálculo mediante Matlab */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=
==Definición==
La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

<math>Masa =\int_{\varphi} f d \varphi=\int_0^{2 \pi} \int_0^1 f\left(\varphi(V, T)\left|\frac{d \varphi}{d V}(V, T) \times \frac{d \varphi}{d T}(V, T)\right| d V d T\right</math>

<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\phi=</math>

==Cálculo mediante Matlab==
Para calcular la masa de la superficie con la densidad dada por f(x1,x2,x3)=cos(x2) se necesitara aplicar la definición:

"primera foto"

Al desarrollar el producto vectorial acabaremos con la siguiente integral:

"segunda foto"

esta integral la resolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

{{matlab|codigo=
n=200;
t=linspace(0,2*pi,n+1);
f=(cos(t-sin(t)).*sqrt(2-2.*cos(t)))'; %definimos la funcion de la masa
i=1;
masa=0;
while i<201
masa=masa + (2*pi/n)*f(i); %utilizando el metodo del rectangulo se saca la integral
i=i+1;
end
disp(masa)
}}
cuyo resultado da 1,3730

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:39:13Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de la curvatura */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (cos(t)-1)./(2-2.*cos(t)).^(3/2) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html
https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:34:50Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz en el punto t = 0.3:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:32:48Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de los vectores tangente y normal */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Tangente
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Normal
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:29:47Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de los vectores tangente y normal */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:29:24Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de los vectores tangente y normal */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.
[[Archivo:tautochrone_curve.gif|800px|thumb|centro|Figura. Curva tautócrona.]]
Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Archivo:Vectores tangente y normal(figura).png

2023-12-15T09:26:17Z

Jorge.ibanezmar:

Grupo 37 Cicloide

2023-12-15T09:23:50Z

Jorge.ibanezmar: /* Representación de los vectores tangente y normal */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura)|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 
[[Archivo:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de una circunferencia osculatriz]]

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.
[[Archivo:Cycloid f.gif|600px|thumb|centro|Figura . Representación animada de la curva cicloide]]
Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

[[Archivo:Braquistócrona.gif|600px|thumb|centro|Figura. Curva braquiostocrona]]

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T21:11:17Z

Jorge.ibanezmar: /* Información acerca del cicloide */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T21:11:05Z

Jorge.ibanezmar: /* Información acerca del cicloide */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

 

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T21:10:29Z

Jorge.ibanezmar: /* El cicloide en la ingeniería civil */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

 

[[Archivo:Imagen2grupo37.png ‎|1000px|miniaturadeimagen|thumb|right|Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide]]

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
Su aplicación en ingeniería civil se encuentra en la resolución de problemas físicos y matemáticos, estrechamente relacionados con el diseño de curvas para elementos arquitectónicos o estructurales.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural, ya que según estudios de Galileo las propiedades mecánicas de esta curva eran apropiadas para su construcción.

Podemos apreciar la forma de esta curva por ejemplo en el Punete de Segovia, en Madrid.

Otras aplicaciones se encuentran también en el diseño de vías ferroviarias para evitar el descarrilamiento de trenes.

También se emplea la cicloide en la construcción de medios tubos y toboganes aprobechándose de sus propiedades físicas como curva tautócrona y braquistócrona.

En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T20:54:01Z

Jorge.ibanezmar: /* Información acerca del cicloide */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

 

[[Archivo:Imagen2grupo37.png ‎|1000px|miniaturadeimagen|thumb|right|Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide]]

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
Entre ellos podemos destacar su uso en dientes de engranajes, y en péndulos isócronos.

=El cicloide en la ingeniería civil=
En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T20:50:33Z

Jorge.ibanezmar: /* Información acerca del cicloide */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
= Representación gráfica de la curva =
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 
 
 
 

= Vector velocidad y aceleración=
==Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración==
===Vector posición===
El vector posición es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
* <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sin(t),1-cos(t))</math>
 
===Vector velocidad===
El vector velocidad indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cos(t))\vec i +sen(t)\vec j </math>
 
===Vector aceleración===
El vector aceleración indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = sen(t)\vec i + cos(t)\vec j</math>
 

== Representación gráfica de los vectores ==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

=Longitud de la curva =
==Definición de la longitud==
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
==Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"==
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".

 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}
Matlab nos devuelve: '''La longitud de la cicloide es 8u. '''

=Vectores tangente y normal=
==Definición de los vectores tangente y normal==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.
 
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math>
 

==Representación de los vectores tangente y normal==
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

=Curvatura=
==Definición de la curvatura==
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
Desarrollando:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{((1-cos(t))^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-cos(t)^{2}-sen(t)^{2}}{(1-2cos(t)+cos(t)^{2}+sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{cos(t)-1}{(2-2cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
==Representación de la curvatura==
 
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

=Circunferencia osculatriz=
==Definición==
La circunferencia osculatriz en un punto de la cicloide es una circunferencia tangente a la cicloide. Al ser tangente, por definición tendrá su centro en la recta normal de la cicloide que pasa por dicho punto. Además el radio de esta circunferencia será inversamente proporcional a la curvatura de la cicloide en ese punto.
 
* Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t)</math>
* Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|}</math>
 

==Representación de la circunferencia osculatriz==
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos la representación gráfica de la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Circunf_osculagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 5. Representación de la circunferencia osculatriz.]]

{{matlab|codigo=
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2);
T1 =-V2./norma ;
T2 =V1./norma ;
% curvatura
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2));
% centro de la circunferencia osculatriz
Q1=x+T1./k ;
Q2=y+T2./k ;
% el centro para el valor 0.3
q1=Q1(1,48) ;
q2=Q2(1,48) ;
% radio de la circunferencia osculatriz
R=1./abs(k) ;
% el radio para el valor 0.3
r=R(1,48) ;
%representación
figure
hold on
plot(x,y,"Color","r");
plot(q1+r*cos(t),q2+r*sin(t));
axis equal
hold off
title ('Circunferncia oscilatriz');
}}

=Información acerca del cicloide=

La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta.

Históricamente, el estudio de la cicloide y sus propiedades ha dado lugar a intensas disputas entre matemáticos, por lo que es conocida como "La Helena de los Geómetras".

 

[[Archivo:Imagen2grupo37.png ‎|1000px|miniaturadeimagen|thumb|right|Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide]]

En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la del círculo que la genera.

Entre sus propiedades físicas se encuentra la resolución del problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

Otra de sus propiedades es que se trata de una curva braquiostocrona, es decir, que es la curva de descenso más rápido de un cuerpo sometido a un campo gravitatorio uniforme. Este descubrimiento lo realizó Johann Bernoulli en el año 1696.

La cicloide se emplea en el estudio del movimiento de los cuerpos, así como en el diseño de sistemas mecánicos. Aunque sus aplicaciones en el campo de la ingeniería son escasos.
=El cicloide en la ingeniería civil=
En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

=La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> =
==Definición==
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
==Representación gráfica==
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 

[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|500px|miniaturadeimagen|right|Figura 6. Representación de la superficie reglada]]
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
 
 
 

=Masa de la superficie=

La densidad varía según la función <math>f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)</math>
 
El <math>cos(x_2)</math> oscila entre -1 y 1 a medida que <math>x_2</math> cambia, por lo que la densidad en toda la superficie irá variando entre -1 y 1, siendo máxima cuando <math>x_2=0</math> y mínima cuando <math>x_2= \pi </math> o <math>x_2=-\pi</math>.

===Cálculo mediante Matlab===
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros de la curva
n=100; t=linspace(0,2*pi,n);
x = t-sin(t);
y = 1+cos(t);
%se crean las variables que hacen falta
i=0;
masa=0;
%al dividir la superficie en 100 trozos, una aproximaxion de la masa se
%podra aproximar mediante el siguiente sumatorio con la fórmula
%masa=densidad*superficie
while i<99
i=i+1;
masa=sqrt((y(i)-y(i+1))^2+(2*pi/100)^2)*((x(i)));
end
}}

= Bibliografía=
https://geogebra.es/cvg/manual/latex/index.html

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T11:33:54Z

Jorge.ibanezmar: /* Definición de la curvatura */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
== Representación gráfica de la curva ==
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 

== Vector velocidad y aceleración==
===Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración===
El''' vector posición''' es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
El''' vector velocidad '''indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
El '''vector aceleración''' indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.

 
* Vector posición: <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)</math>
 

* Vector velocidad: <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j </math>
 

* Vector aceleración: <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

==Longitud de la curva ==
===Definición de la longitud===
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
===Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"===
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".
 
Este es el código cuyo resultado da 8:
 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}

==Vectores tangente y normal==
===Definición de los vectores tangente y normal===
El''' vector tangente '''es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
El '''vector normal''' es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura==
===Definición de la curvatura===
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>

===Representación de la curvatura===
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

==Circunferencia osculatriz==

==Información acerca del cicloide==

[[Archivo:Fenómeno_cicloide.jpg|800px|miniaturadeimagen|thumb|left|Imagen. Representación gráfica del fenómeno descrito por una cicloide]]
La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su aplicación en ingeniería civil está en la resolución de problemas físicos y matemáticos y está relacionada con el diseño de curvas para ciertos elementos arquitectónicos o estructurales.

 

[[Archivo:Imagen2grupo37.png ‎|1000px|miniaturadeimagen|thumb|right|Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide]]

Por ejemplo, se emplea para resolver el problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural. En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la de el círculo que la genera. Además, mencionó que el arco de una curva plana descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta, debería ser apropiada para la construcción de puentes.

==El cicloide en la ingeniería civil==
En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

==La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> ==
===Definición===
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
===Representación gráfica===
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura . Representación de la superficie reglada]]

==Masa de la superficie==

Grupo 37 Cicloide

2023-12-14T11:32:56Z

Jorge.ibanezmar: /* Definición de la curvatura */

Consideramos una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
 
 
<math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost), t∈(0,2π)</math>
 
 
== Representación gráfica de la curva ==
Mediante el siguiente código obtenemos la representación en Matlab:
 
[[Archivo:Cicloidegrupo37fig.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 1. Representación del cicloide]]
 
{{matlab|codigo=
% Definición de parámetros de la curva
n=1000; t=linspace(0,2*pi,n);
% Definición de la curva
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","r");
% Leyenda de la gráfica
legend("Curva Cicloide");
% Etiquetas
title('Representación Gráfica Curva.')
grid on
xlabel("Eje X","FontSize",15);
ylabel("Eje Y","FontSize",15);
axis("equal")
}}

 

== Vector velocidad y aceleración==
===Definición de los vectores posición, velocidad y aceleración===
El''' vector posición''' es el vector que describe la posición de un objeto que relaciona el origen con un punto definido por la trayectoria de la figura.
 
El''' vector velocidad '''indica la rapidez y dirección del cambio de posición en un intervalo de tiempo dado. Es la derivada del vector posición con respecto al tiempo.
 
El '''vector aceleración''' indica la rapidez y dirección de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo. Es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo.

 
* Vector posición: <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t-sint,1-cost)</math>
 

* Vector velocidad: <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (1-cost)\vec i +(sent)\vec j </math>
 

* Vector aceleración: <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = (sent)\vec i + (cost)\vec j</math>
 

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante el siguiente código de Matlab obtenemos las representaciones:
 
[[Archivo:Curva,_velocidad,_aceleracion.jpg|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 2. Representación de los vectores velocidad y aceleración]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 = sin(t);
A2 =cos(t);
figure
hold on
% Gráfica de la curva junto con los campos vectoriales
plot (x ,y ,'r');
% Campo Velocidad
quiver (x , y , V1 , V2 , 'c');
% Campo Aceleración
quiver (x , y , A1 , A2 , 'g');
axis equal
legend("Curva","Velocidad","Aceleración");
hold off ;
title ('Curva , velocidad y aceleración.');
}}

 

==Longitud de la curva ==
===Definición de la longitud===
La longitud de la curvatura se obtiene calculando la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo:
 
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2} = 8</math>
 
 
===Cálculo de la longitud mediante el "Método del rectángulo"===
Calculamos el valor numérico de la integral mediante un método de aproximación, el "Método del rectángulo".
 
Este es el código cuyo resultado da 8:
 

{{matlab|codigo=
n=10000000; t=linspace(0,2*pi,n);
i=0;
area=0;
x=(t-sin(t));
y=(1-cos(t));
while i<10000000
i=i+1;
area=((2*pi)/10000000)*(sqrt(2)*sqrt(1-cos(t(i))))+area;
end
}}

==Vectores tangente y normal==
===Definición de los vectores tangente y normal===
El''' vector tangente '''es un vector paralelo a la dirección de la curva en ese punto.
 
El '''vector normal''' es el vector ortogonal al vector tangente y apunta hacia el lado cóncavo de la curva.

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:VectorTangenteNormalGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
n =30;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector normal
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% Curva
plot (x ,y ,'r') ;
% Campo Normal
quiver (x , y , T1 , T2 , 'c') ;
%Campo Tangente
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'g') ;
legend("Curva","Normal","Tangente");
axis equal
grid on
hold off ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura==
===Definición de la curvatura===
La curvatura de <math>\gamma(t)</math> queda definida por la siguiente función:
 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(1-cos(t)).cos(t)-sen(t).sen(t)}{\left((1-cos(t))^2+sin(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}</math>

===Representación de la curvatura===
Representamos la curvatura mediante el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:Curavturagrupo37.png |400px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 4. Representación de la curvatura del cicloide]]
{{matlab|codigo=
n =100;
t = linspace ( 0 , 2*pi , n ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
k = (V1.*A2-A1.*V2)./((V1.^2+V2.^2).^(3/2)) ;
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura kappa (t). ') ;
}}

 

==Circunferencia osculatriz==

==Información acerca del cicloide==

[[Archivo:Fenómeno_cicloide.jpg|800px|miniaturadeimagen|thumb|left|Imagen. Representación gráfica del fenómeno descrito por una cicloide]]
La cicloide es una curva que representa la trayectoria descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizarse sobre una línea recta. Su aplicación en ingeniería civil está en la resolución de problemas físicos y matemáticos y está relacionada con el diseño de curvas para ciertos elementos arquitectónicos o estructurales.

 

[[Archivo:Imagen2grupo37.png ‎|1000px|miniaturadeimagen|thumb|right|Imagen. Propiedad tautócrona de la cicloide]]

Por ejemplo, se emplea para resolver el problema de la tautócrona, descubierto por Christian Huygens. Esta es una curva en la que un objeto, bajo la influencia exclusiva de la gravedad, tarda el mismo tiempo en llegar desde cualquier punto inicial hasta la base, independientemente de su posición inicial.

La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural. En 1599, Galileo demostró por medio de sus cálculos matemáticos que su área es casi tres veces la de el círculo que la genera. Además, mencionó que el arco de una curva plana descrita por un punto de una circunferencia cuando esta rueda sobre una línea recta, debería ser apropiada para la construcción de puentes.

==El cicloide en la ingeniería civil==
En el Kimbell Art Museum se encuentra esta estructura civil con arco cicloide.
[[Archivo:KimbellArtMuseumGrupo37.png|10000px|miniaturadeimagen|thumb|centro|Imagen. Kimbell Art Museum]]

==La cicloide en <math>\mathbb{R}^3</math> ==
===Definición===
La Cicloide en un espacio <math>\mathbb{R}^3</math> se puede ver mediante la siguiente parametrización en cartesianas:
 
 
<math>γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, t − sin t, 1 + cos t), t∈(0, 2π)</math>
===Representación gráfica===
La representamos mediante el siguiente código de Matlab:
 
{{matlab|codigo=
n=30;
u = linspace (0,1,n) ;
v = linspace (0,2*pi,n);
[U,V] = meshgrid(u,v) ;
x = U;
y = V-sin(V);
z = 1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada.') ;
}}
[[Archivo:SuperficieregladaGrupo37.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Figura . Representación de la superficie reglada]]

==Masa de la superficie==