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Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-06T12:17:08Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175

David Toledo Menéndez 1228

Sergio Rodríguez Torcal 994

Jose María Rodríguez Vicente 1213

Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248

Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

La principal dificultad a la hora de emplear un método implícito radica en que estos métodos, al contrario que los explícitos no emplean la información del punto anterior para calcular el siguiente y requieren por tanto algoritmos mas complejos. Sin embargo presentan mejores aproximaciones que los métodos explícitos.

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==
{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off}}

Con el paso del tiempo el valor de la variable "a" disminuye considerablemente, puesto que en este apartado la "a" varia segun el tiempo, por esta razon, se ve amortiguada la caida de gente susceptible en la funcion.

[[Archivo:archivoapartado62015.jpg|360px|thumb|left]]

==Calibración del parámetro a==

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos

t0 = 0;
tN = 8;
h = 0.0001;

N = (tN-t0)/h;
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);

S(1) = 1600;
I(1) = 40;

%Valores de los parámetros

a = 0.0005:h:0.0020;
b = 0.3;
c = 0.01;

%Definimos los vectores M, T y D, donde guardaremos respectivamente
%los máximos de infectados, el tiempo en el que se producen y la
%diferencia entre ese tiempo y los 5 días

M=zeros(1,length(a));
T=zeros(1,length(a));
D=zeros(1,length(a));

%Calcular los vectores infectados y susceptibles

for j=1:length(a)
A=a(j);
for i = 1:N
K1 = -A*S(i)*I(i);
K2 = -A*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);
end
M(j)=max(I)
posicion=find(I==M(j));
tiempo=t(posicion);
T(j)=tiempo
D(j)=abs(T(j)-5);
end
[M']
[D']
[T']
T1=min(D);
posicion=find(D==T1);

%soluciones obtenidas

A_buscado=a(posicion)
Maximo_en_ese_caso=M(posicion)

}}

Cuando calibramos el coeficiente de a con una experiencia anterior en la que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días obtenemos el resultado de que a=0.0008 es el valor que mas se ajusta a esa experiencia, tomando como paso h=10^-4.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-05T16:36:19Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
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plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
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Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
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S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
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t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
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plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
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[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==
{{matlab|codigo=

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%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

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%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off}}

Con el paso del tiempo el valor de la variable "a" disminuye considerablemente, puesto que en este apartado la "a" varia segun el tiempo, por esta razon, se ve amortiguada la caida de gente susceptible en la funcion.

[[Archivo:archivoapartado62015.jpg|360px|thumb|left]]

==Calibración del parámetro a==

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos

t0 = 0;
tN = 8;
h = 0.0001;

N = (tN-t0)/h;
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);

S(1) = 1600;
I(1) = 40;

%Valores de los parámetros

a = 0.0005:h:0.0020;
b = 0.3;
c = 0.01;

%Definimos los vectores M, T y D, donde guardaremos respectivamente
%los máximos de infectados, el tiempo en el que se producen y la
%diferencia entre ese tiempo y los 5 días

M=zeros(1,length(a));
T=zeros(1,length(a));
D=zeros(1,length(a));

%Calcular los vectores infectados y susceptibles

for j=1:length(a)
A=a(j);
for i = 1:N
K1 = -A*S(i)*I(i);
K2 = -A*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);
end
M(j)=max(I)
posicion=find(I==M(j));
tiempo=t(posicion);
T(j)=tiempo
D(j)=abs(T(j)-5);
end
[M']
[D']
[T']
T1=min(D);
posicion=find(D==T1);

%soluciones obtenidas

A_buscado=a(posicion)
Maximo_en_ese_caso=M(posicion)

}}

Cuando calibramos el coeficiente de a con una experiencia anterior en la que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días obtenemos el resultado de que a=0.0008 es el valor que mas se ajusta a esa experiencia, tomando como paso h=10^-4.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Archivoapartado62015.jpg

2015-03-05T16:17:01Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-04T21:43:16Z

Jorge Villa Lobo: /* Calibración del parámetro a */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos

t0 = 0;
tN = 8;
h = 0.0001;

N = (tN-t0)/h;
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);

S(1) = 1600;
I(1) = 40;

%Valores de los parámetros

a = 0.0005:h:0.0020;
b = 0.3;
c = 0.01;

%Definimos los vectores M, T y D, donde guardaremos respectivamente
%los máximos de infectados, el tiempo en el que se producen y la
%diferencia entre ese tiempo y los 5 días

M=zeros(1,length(a));
T=zeros(1,length(a));
D=zeros(1,length(a));

%Calcular los vectores infectados y susceptibles

for j=1:length(a)
A=a(j);
for i = 1:N
K1 = -A*S(i)*I(i);
K2 = -A*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);
end
M(j)=max(I)
posicion=find(I==M(j));
tiempo=t(posicion);
T(j)=tiempo
D(j)=abs(T(j)-5);
end
[M']
[D']
[T']
T1=min(D);
posicion=find(D==T1);

%soluciones obtenidas

A_buscado=a(posicion)
Maximo_en_ese_caso=M(posicion)

}}

Cuando calibramos el coeficiente de a con una experiencia anterior en la que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días obtenemos el resultado de que a=0.0008 es el valor que mas se ajusta a esa experiencia, tomando como paso h=10^-4.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-04T21:42:42Z

Jorge Villa Lobo: /* Calibración del parámetro a */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos

t0 = 0;
tN = 8;
h = 0.0001;

N = (tN-t0)/h;
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);

S(1) = 1600;
I(1) = 40;

%Valores de los parámetros

a = 0.0005:h:0.0020;
b = 0.3;
c = 0.01;

%Definimos los vectores M, T y D, donde guardaremos respectivamente
%los máximos de infectados, el tiempo en el que se producen y la
%diferencia entre ese tiempo y los 5 días

M=zeros(1,length(a));
T=zeros(1,length(a));
D=zeros(1,length(a));

%Calcular los vectores infectados y susceptibles

for j=1:length(a)
A=a(j);
for i = 1:N
K1 = -A*S(i)*I(i);
K2 = -A*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);
end
M(j)=max(I)
posicion=find(I==M(j));
tiempo=t(posicion);
T(j)=tiempo
D(j)=abs(T(j)-5);
end
[M']
[D']
[T']
T1=min(D);
posicion=find(D==T1);

%soluciones obtenidas

A_buscado=a(posicion)
Maximo_en_ese_caso=M(posicion)

}}

Cuando calibramos el coeficiente de a con una experiencia anterior en el que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días obtenemos el resultado de que a=0.0008 es el valor que mas se ajusta a esa experiencia, tomando como paso h=10^-4.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-04T21:32:50Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

{{matlab|codigo=
clear all
%Datos

t0 = 0;
tN = 8;
h = 0.0001;

N = (tN-t0)/h;
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);

S(1) = 1600;
I(1) = 40;

%Valores de los parámetros

a = 0.0005:h:0.0020;
b = 0.3;
c = 0.01;

%Definimos los vectores M, T y D, donde guardaremos respectivamente
%los máximos de infectados, el tiempo en el que se producen y la
%diferencia entre ese tiempo y los 5 días

M=zeros(1,length(a));
T=zeros(1,length(a));
D=zeros(1,length(a));

%Calcular los vectores infectados y susceptibles

for j=1:length(a)
A=a(j);
for i = 1:N
K1 = -A*S(i)*I(i);
K2 = -A*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (A*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);
end
M(j)=max(I)
posicion=find(I==M(j));
tiempo=t(posicion);
T(j)=tiempo
D(j)=abs(T(j)-5);
end
[M']
[D']
[T']
T1=min(D);
posicion=find(D==T1);

%soluciones obtenidas

A_buscado=a(posicion)
Maximo_en_ese_caso=M(posicion)

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-04T20:53:26Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;

S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T17:08:07Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + Z1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T16:48:37Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
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[t',y',z'];
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while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
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disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
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I(n+1)=y(2);
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t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
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hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele poner algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T16:47:57Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

Aquí se suele explicar algo...

{{matlab|codigo=

clear all
%Datos
t0 = 0;
tN = 40;
h = 0.1;
N = round((tN-t0)/h);
t = t0:h:tN;
S(1) = 1600;
I(1) = 40;
S = zeros(1,N+1);
I = zeros(1,N+1);
%Valores de los parámetros

a = zeros(1,N+1);
a(1) = 0.003/(1+t0);
b = 0.3;
c = 0.01;

%Calcular los vectores infectados y susceptibles.

for i = 1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));

K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
Z1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
Z2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(Z1+Z2);

end

%Gráficas
hold on
plot (t,S,'-')
plot (t,I,'-r')
hold off
}}

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T16:33:44Z

Jorge Villa Lobo:

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
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disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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I(n+1)=y(2);
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figure(1)
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hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
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plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
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[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T11:12:57Z

Jorge Villa Lobo: /* Modelo completo */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

Como podemos apreciar en las gráficas el número máximo de enfermos esperados con 800 susceptibles y 20 infectados inicialmente, es aproximadamente 500, mientras que para 10000 susceptibles y 40 infectados inicialmente, observamos un aumento de personas enfermas, aproximadamente de 9500.

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:54:31Z

Jorge Villa Lobo: /* Método de Euler y Trapecio con S=0 */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
clear all
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.1;
t=t0:h:tN;
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
z=zeros(1,N+1); %trapecio
z(1)=y0;
w=zeros(1,N+1);
w(1)=y0;
x=zeros(1,N+1);
x(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
z(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(z(i))+h/2*(-0.31*z(i));
end
[t',y',z'];
i=1;
while abs(y0-w(i))<3/4*y0
w(i+1)=(1/(1-h/2*(-0.31)))*(w(i))+h/2*(-0.31*w(i)); %trapecio, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con trapecio:')
disp(t(i))
%gráfico
i=1;
while abs(y0-x(i))<3/4*y0
x(i+1)=x(i)-h*(0.3+0.001)*x(i); %euler, evitamos la variable auxiliar yy
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
disp('Tiempo final con Euler:')
disp(t(i))
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,z,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,x,'k')
legend('Euler','Trapecio','Tiempo que tarda por Trapecio','Tiempo que tarda por Euler','Location','best');
hold off}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:53:22Z

Jorge Villa Lobo: /* Método de Euler y Trapecio con S=0 */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
hold on
plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500 mientras que con el trapecio el tiempo final es t=4.50
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:52:27Z

Jorge Villa Lobo: /* Método de Euler y Trapecio con S=0 */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
hold on
plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500.
[[Archivo:euler1111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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figure(1)
hold on
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plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Euler1111.jpg

2015-03-03T10:50:50Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:38:46Z

Jorge Villa Lobo: /* Modelo completo */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
hold on
plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500.
[[Archivo:euler111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
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t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
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%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
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%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
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[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
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I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|360px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|360px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|360px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
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k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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I(n+1)=y(2);
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t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
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plot(t,I,'r')
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for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:37:58Z

Jorge Villa Lobo: /* Comparación Runge-Kutta con Euler */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
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plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500.
[[Archivo:euler111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|520px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|360px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|360px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:37:16Z

Jorge Villa Lobo: /* Comparación Runge-Kutta con Euler */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
hold on
plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500.
[[Archivo:euler111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end

%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off}}

[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
tiempo=t(posicion)}}

[[Archivo:411.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|520px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
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figure(1)
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hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
end
%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}
[[Archivo:runge.jpg|left|520px|thumb|Texto de la leyenda]]
[[Archivo:runge22.jpg|rigth|520px|thumb|Texto de la leyenda]]

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Runge22.jpg

2015-03-03T10:35:16Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:Runge.jpg

2015-03-03T10:33:07Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:25:02Z

Jorge Villa Lobo: /* Modelo completo */

{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |
Manuel Morales López 1175
David Toledo Menéndez 1228
Sergio Rodríguez Torcal 994
Jose María Rodríguez Vicente 1213
Lourdes Sánchez-Ocaña Merino 1248
Jorge Villa Lobo 1237 }}
==Enunciado==

En el desarrollo de una epidemia se distinguen dos tipos
de individuos: los que ya han contraido la enfermedad o infectados I, y los que son susceptibles de
contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Supongamos que se dan las siguientes hip´otesis:
1. La poblaci´on de personas infectadas se altera por el fallecimiento o la cura de las mismas. En
ambos casos, la tasa de cambio depende del n´umero de personas infectadas;
2. La tasa de individuos que pasan de ser susceptibles a contraer la enfermedad a estar infectados
es proporcional a la interacci´on entre el n´umero de individuos en ambas clases.
Consideramos las variables: t tiempo, S(t) poblaci´on de individuos susceptibles a contraer la enfermedad,
I(t) poblaci´on de individuos infectados; y el sistema:
dS
dt = −aSI
dI
dt = aSI − bI − cI
donde a, b, c son parametros.

==Interpretación de parámetros==
En el problema: el coeficiente "a" es la tasa de infectados por contagio, "b" la de muertos y "c" la de curados.

==Método de Euler y Trapecio con S=0==
{{matlab|codigo=
%Apartado 2 trabajo1 2015
% Euler
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=20;
y0=2000;
h=0.01;
%Calculamos número de subintervalos
N=(tN-t0)/h;
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Ahora vamos a guardar los valores de la solución aproximada en el vector y
y=zeros(1,N+1); %euler
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)-h*(0.3+0.001)*y(i);
end
%sacamos tabla de resultados
[t',y']
%gráfico
[minimo,indice]=min(abs(y-500))
f=y(indice)
p=t(find(y==(500-minimo)))
%p=4.47 %el valor lo hallamos fuera del progarama a mano
hold on
plot(p,y,'r-')
plot(t,f,'r-')
plot(t,y)
hold off
sprintf('El valor 500 se alcanza en el tiempo: %d', p)
legend('Euler','Location','best'); % lo último es para que la leyenda salga en la mejor localizacion}}
Esta gráfica nos muestra que en t=4.60 se alcanza la condición final, que el número de infectados se reduzca a 500.
[[Archivo:euler111.jpg|520px|thumb|left|Tiempo en llegar a 500 infectados]]

==Método de Euler y Trapecio con S=100==
Se puede interpretar como que a partir de un valor limite de "S" entre 100 y 200, el numero de infectados se mantiene constante en el tiempo. De igual forma, si "S" es menor que este valor limite, el numero de infectados desciende en el tiempo, y si es mayor que el valor limite "S", asciende.
{{matlab|codigo=
%Apartado 3 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=2000; %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=0.1; %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
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%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
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[[Archivo:s100.jpg|520px|thumb|left|Gráfica para 100 supceptibles]] [[Archivo:s200.jpg|520px|thumb|right|Gráfica para 200 supceptibles]]

Podemos llegar a la conclusión de que el número de personas infectadas varía notablemente cuando el número de susceptibles se mantiene constante a lo largo del tiempo. Esto se debe a que cuanto mayor sea el número de susceptibles, mayor será el número de infectados, es decir, con 200 susceptibles, mantiene un ritmo constante hasta que llega un momento en el cual el número de infectados se dispara, debido a que la tasa de personas susceptibles es mayor que las personas curadas o fallecidas. En conclusión, debe de haber un valor de personas susceptibles para que la función de infectados sea lineal, es decir, sea constante en el tiempo.

==Modelo completo==

{{matlab|codigo=
%Apartado 4 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo de tiempo tomado
S0=input('introduce valor de población susceptible: ');
I0=input('introduce valor de población infectada inicial: '); %Valores iniciales de infectados(I) y susceptibles(S)
h=input('introduce valor del paso de tiempo: '); %Determinación del paso
t=t0:h:tN; %Desarrollo del tiempo desde t0 hasta tN tomando intervalos de paso h
a=0.003; %valores de los parametros
b=0.3;
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S(1)=S0; %Asignacion del valor incial para la primera componente
I(1)=I0;

%Resolucion del sistema de forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
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I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
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figure(1)
plot(t,S,'r')
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maximo=max(I)
posicion=find(I==maximo)
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[[Archivo:411.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:412.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:413.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:414.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:421.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:422.jpg|520px|thumb|right]]
[[Archivo:423.jpg|520px|thumb|left]] [[Archivo:424.jpg|520px|thumb|right]]

==Comparación Runge-Kutta con Euler==
{{matlab|codigo=
%Apartado 5 trabajo 6-C 2015
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo de tiempo tomado
y1=input('introduce valor de población susceptible inicial: ');
y2=input('introduce valor de población infectada inicial: ');
y0=[y1;y2]; %Valores de población iniciales (Susceptibles e Infectados)
h=input('introduce valor del paso del tiempo: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1); %Asignación del valor incial para la primera componente de S
I(1)=y(2); %Asignación del valor incial para la primera componente de I
a=0.003; % Valores de los parámetros
b=0.3; c=0.01; %Resolución empleando el método Runge Kutta

for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
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figure(1)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);%Asignacion de los distintos valores de S como la primera compnente de la matriz A
I(n+1)=A(2); %Asignacion de los distintos valores de I como la primera componente de la matriz A
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%Interpretación gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off}}

==Tasa de infectados por contagio dependiente del tiempo. Método de Heun==

==Calibración del parámetro a==

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:424.jpg

2015-03-03T10:22:00Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:423.jpg

2015-03-03T10:21:49Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:422.jpg

2015-03-03T10:21:39Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:421.jpg

2015-03-03T10:21:31Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:414.jpg

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Jorge Villa Lobo:

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Jorge Villa Lobo:

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2015-03-03T10:20:56Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:411.jpg

2015-03-03T10:20:45Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T10:13:45Z

Jorge Villa Lobo: /* Método de Euler y Trapecio con S=100 */

Archivo:S200.jpg

2015-03-03T09:59:35Z

Jorge Villa Lobo:

Archivo:S100.jpg

2015-03-03T09:58:46Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-03-03T09:55:38Z

Jorge Villa Lobo: /* Método de Euler y Trapecio con S=0 */

Archivo:Euler111.jpg

2015-03-03T09:49:55Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-02-27T12:37:17Z

Jorge Villa Lobo:

Modelos epidemiológicos Grupo 6C

2015-02-27T10:24:49Z

Jorge Villa Lobo: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelos epidemiológicos. Grupo 6-C | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Manuel Moral...»

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:38:13Z

Jorge Villa Lobo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

Se observa en los gráficos que la temperatura será mayor en el centro de la placa debido a la distribución dada en el enunciado.

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|520px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|520px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

Puede apreciarse en las gráficas cómo el campo vectorial tiene un efecto mayor en los puntos exteriores de la malla, ya que el campo vectorial tiene un mayor módulo.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada. Se puede explicar este fenómeno ya que es en los extremos donde se produce una mayor deformación que hace necesaria una mayor tensión en dichos puntos.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:32:30Z

Jorge Villa Lobo: /* Campo de desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

Se observa en los gráficos que la temperatura será mayor en el centro de la placa debido a la distribución dada en el enunciado.

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|520px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|520px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

Puede apreciarse en las gráficas cómo el campo vectorial tiene un efecto mayor en los puntos exteriores de la malla, ya que el campo vectorial tiene un mayor módulo.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:30:30Z

Jorge Villa Lobo: /* Campo de desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

Se observa en los gráficos que la temperatura será mayor en el centro de la placa debido a la distribución dada en el enunciado.

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|520px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|520px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:29:56Z

Jorge Villa Lobo: /* Campo de desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

Se observa en los gráficos que la temperatura será mayor en el centro de la placa debido a la distribución dada en el enunciado.

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
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h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
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x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:29:03Z

Jorge Villa Lobo: /* Influencia de un foco de calor */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

Se observa en los gráficos que la temperatura será mayor en el centro de la placa debido a la distribución dada en el enunciado.

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:26:21Z

Jorge Villa Lobo: /* Enunciado */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y)</math> y los desplazamientos <math>\vec u(u,v)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(u,v)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(u,v)</math> de la placa viene dada por:
<math>
\vec r (u,v)= \vec r_{0}(u,v)+\vec u(u,v).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por:
<math>\vec u(u,v)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:21:46Z

Jorge Villa Lobo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

Comparando la gráfica del desplazamiento entre el antes y el después, se puede apreciar una mayor variación de volumen local en los puntos que se encuentren a una mayor distancia de los puntos del centro y cuando su ordenada es menor. En la gráfica de la divergencia se puede observar como es ésta máximo en los puntos anteriormente descritos.

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
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h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:18:41Z

Jorge Villa Lobo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

De la gráfica se observa que las tensiones son mayores en los extremos que en el centro y también mayores cuando aumenta su ordenada.

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:07:04Z

Jorge Villa Lobo: /* Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
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U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
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xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
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figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

El módulo del rotacional del vector desplazamiento es 0, por lo que no se ha dibujado la gráfica. Se puede apreciar que las tensiones en la dirección <math>\overrightarrow{g_v}</math>, son similares a las de la divergencia, mientras que las de la dirección <math>\overrightarrow{g_u}</math> no tienen una clara relación.

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:03:06Z

Jorge Villa Lobo: /* Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

[[Archivo:tensiongu.jpg|500px|thumb|right|Tensión en la dirección g_u]]
[[Archivo:tensiongv.jpg|500px|thumb|left|Tensión en la dirección g_v]]
[[Archivo:diver15c.jpg|500px|thumb|centre|Divergencia del vector desplazamiento]]

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T17:01:15Z

Jorge Villa Lobo: /* Influencia de un foco de calor */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Vector gradiente de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Gradiente y curvas de nivel de la temperatura superpuestos]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
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u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
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for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T16:56:34Z

Jorge Villa Lobo: /* Cálculo de la base natural */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = \frac{∂r}{∂u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = \frac{∂r}{∂v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Siendo <math>r(x, y, z)=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Curvas de nivel de la temperatura]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 5C)

2014-12-05T16:46:53Z

Jorge Villa Lobo: /* Cálculo de la base natural */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Manuel Morales, Jorge Villa, Sergio Rodríguez, Diego Pontiveros, Manuel Jugo, Lourdes Sánchez-Ocaña }}
==Enunciado==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas <math>P_1=18y-81x^2-1=0</math> y <math>P_2=2y+x^2-1=0</math>.Consideramos una placa para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:
\begin{cases}
x=u·v; \\
y=1/2(u^2-v^2);
\end{cases}

con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.De esta forma, si definimos <math>r_0(\rho,\theta)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos en un instante <math>t_0</math> vienen dados por:
<math>\vec u(\rho,\theta)=\vec a · (\vec b · \vec r_0).
</math>
donde <math>\vec a</math> y <math>\vec b</math> son vectores dados.

En este trabajo supondremos lo siguiente:

# <math>\vec a=\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math> ;
# <math>\vec b=-4\frac{\vec g_u}{|\vec g_u|}</math>.

[[Categoría:TC14/15]]

== Mallado de los puntos interiores del sólido ==
Para la representación del mallado, hemos utilizado el comando "mesh", que nos permite definir los límites de la placa en las variables x e y, utilizando un muestreo de 1/20. La malla se creará mediante una matriz en la que al última componente sea cero, ya que estamos hablando de una malla plana.

[[Archivo:mallado5c.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
}}

=== Cálculo de la base natural ===
Es necesario definir un nuevo sistema de coordenadas curvilíneas {0;(u,v,w)} respecto a una base natural, compuesta por tres vectores regulares ortogonales entre sí, que no son necesariamente unitarios.
Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición, <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> respecto de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Al realizar el cambio de variable,

\begin{cases}
x=uv\\
y=\frac{(u^2−v^2)}{2}\\
z=0
\end{cases}

calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

== Influencia de un foco de calor==
La temperatura viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^(-x^2)</math>

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)

T=(8-yy.^2+2*yy).*exp(-(xx).^2);
A=(8-yy.^2+2*yy).*(-2*xx).*exp(-(xx).^2);
B=exp(-(xx).^2).*(-2*yy+2);
figure(2)
contour(xx,yy,T,20)
figure(3)
quiver(xx,yy,A,B)

figure(4)
quiver(xx,yy,A,B)
hold on
contour(xx,yy,T,20,'r') %dibujar con 10 curvas de nivel
hold off
}}

[[Archivo:contourtemp.jpg|500px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:gradT.jpg|500px|thumb|left|Curvas de nivel de la temperatura]]
[[Archivo:ortoggradT.jpg|500px|thumb|centre|Curvas de nivel de la temperatura]]

== Campo de desplazamiento ==
En este apartado, veremos, gracias a una gráfica que se produce antes y después del desplazamiento.

{{matlab|codigo=
clear all

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
%axis([1/3,1,-1,1])

fx=inline('-2*xx.*yy','xx','yy');
fy=inline('-2*(xx.^2)','xx','yy');
U=fx(uu,vv);
V=fy(uu,vv);

A=xx+U;
B=yy+V;
subplot(1,2,2)
mesh(A,B,0*A)
view(2)
figure(2)
quiver(xx,yy,U,V);
view(2)
}}

{|
[[Archivo:vectordespl.jpg|510px|thumb|left|Campo de vectores desplazamiento sobre el mallado]]
[[Archivo:apart6gueno.jpg|510px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
|}

afsghlfhgas galskfhgalfhg dgafjgalfkjga galfkjgalskfjg asfglaksjf galdfh gadlvgaud fvgau fvglaf vauf ñuagaus fhgasj nvñashvcjas bj.

== Divergencia ==

La divergencia es una muestra del incremento de volumen que se da en un punto cualquiera debido a la acción de una fuerza sobre el mismo. La variación de volumen sufrida en ese punto (a consecuencia de la fuerza) será la divergencia en dicho punto. Resultará mayor cuando el campo aplicado produzca un mayor cambio en las dimensiones de la superficie y máxima en aquellos puntos en los que ejerza mayor influencia (aumente más el volumen). De este modo será mayor la divergencia de un campo que cree un incremento de volumen que la de un campo que simplemente desplace la superficie.NO ESTA ACABADO

{{matlab|codigo=
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)

div=-2*(3*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
figure(2)
surf(xx,yy,div)
view(2)
}}

{|

|-
| [[Archivo:diver15c.jpg|thumb|500px|left|Representación gráfica de la divergencia]] || [[Archivo:diver25c.jpg|thumb|500px|right| Gráfica 3-D de la divergencia |500px]]
|}

== Rotacional ==
El rotacional es un operador vectorial que indica la velocidad y dirección de giro que produce un campo.

Se define el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural.

En este caso se define el campo a partir de los vectores <math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> y <math> \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}</math> de forma que el campo es <math> \vec {u}(u,v)= \vec{a} (\vec{b} \vec{r_o}) </math>, sabiendo que <math>\overrightarrow{r_o}</math> es el vector posición.

Al calcular la base natural se demuestra el primer vector de la base natural es <math>\vec{g_u}=v \hat{e_1} +u \hat{e_2} </math>.
A partir de este y el vector posición se calcula el campo de desplazamientos: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u} \vec{r_o})=\frac{ \vec{g_u}}{u^2+v^2}(-4(uv^2+\frac{u}{2}(u^2-v^2)))=-4(\frac{uv^2+u^3}{2})\frac{\vec{g_u}}{u^2+v^2}=-2u\vec{g_u}=-2uv \hat{e_1} -2u^2 \hat{e_2}</math>

En este caso se demuestra que el rotacional es nulo
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )=0</math>

== Tensiones en la dirección de los vectores de la base natural. ==
Calculados la divergencia y el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>, pasamos a definir el tensor de tensiones: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> Se parte de las hipótesis de medio elástico lineal, isótropo y homogéneo. Los valores <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> se conocen como los '''Coeficientes de Lamé''', dependen de las propiedades elásticas de cada material y se supone su valor la unidad. Por último <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
El siguiente paso es realizar un gráfico que nos muestre el tensor de tensiones normales en las direcciones de la base natural, <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>. Para visualizarlo hacemos uso de las ecuaciones e función de la base natural:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos. Las matrices <math> \nabla\overrightarrow{u}</math> y <math>\nabla\overrightarrow{u}^t</math> y la matriz del tensor de tensiones calculadas analíticamente son: 
<math> \nabla\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}-6u^2-2v^2 & -4uv & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} \nabla\overrightarrow{u}^t=\begin
{pmatrix}-6u^2-2v^2 & 0 & 0 \\-4uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math> \sigma= \begin{pmatrix}\ \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{pmatrix} </math>

Y ya por último, con la fórmula anteriormente expuesta, calcularemos el tensor de tensiones:

<math> \sigma ^ij=\frac{-6u^2-2v^2}{u^2+v^2} \begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} -6u^2-2v^2 & -2uv & 0 \\-2uv & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2}-12u^2-4v^2&-4uv&0\\ -4uv & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} & 0\\0 & 0 & \frac{-6(3u^2+v^2)}{u^2+v^2} \end{bmatrix} </math>
El calculo de las tensiones en una dirección se calcula mediante un producto tensorial que proyecta las tensiones sobre la dirección indicada.
{{matlab|codigo=
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
Gu=-(vv.*((4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)+(vv.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((uu.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)+(4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2);
Gv=(uu.*((4.*uu.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(uu.*((6.*uu.^2+2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)+12.*uu.^2+4.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)-(vv.*((vv.*(6.*uu.^2+2.*vv.^2))./(uu.^2+vv.^2).^(3/2)-(4.*uu.^2.*vv)./(uu.^2+vv.^2).^(1/2)))./(uu.^2+vv.^2).^(1/2));
figure(2)
mesh(xx,yy,Gu)
view(2)

figure(3)
mesh(xx,yy,Gv)
view(2)
}}

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises (o el Esfuerzo) es un índice obtenido de la combinación de los Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qué puntos ocurre el esfuerzo en el eje X, Y y Z y provoca el fallo. Este método de cálculo se utiliza para medir el esfuerzo y las distribuciones de tensión dentro de un material dúctil. Para el calculo es necesario calcular los autovalores de la matriz de tensiones en cada punto del sólido.

La matriz del tensor de tensiones se define como <math> \sigma </math>, puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales (autovalores) del tensor tensión en un punto del sólido deformable, mediante la expresión, 
<math> \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} </math>

{{matlab|codigo=
%vonmises
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=0.5*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx);
%syms xx yy
lambdatotal=zeros(41,14);
for i=1:41
for j=1:14
x=uu(i,j);
y=vv(i,j);
A=[-12*x.^2-4*y.^2+(-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) (-4*x.*y) 0;-4*x.*y (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2) 0;0 0 (-6*x.^2-2*y.^2)./(x.^2+y.^2)];
lambda=eig(A);
lambdavm=sqrt((((lambda(1)-lambda(2))^2+(lambda(2)-lambda(3))^2+(lambda(3)-lambda(1))^2)/2));
lambdatotal(i,j)=lambdavm;
end
end
surf(xx,yy,lambdatotal)
colorbar
}}

{|

|-
| [[Archivo:vonmises5c.jpg|thumb|500px|centre|Representación 3-D de la tensión de Von Mises]]
|}

== Masa total del sólido ==

Por último se calculará la masa de la placa. Se da como dato la función densidad f(x,y) y la malla hallada anteriormente. Por lo tanto la masa queda definida mediante la integral doble de la función en el dominio x perteneciente a [-0.9833,0.9833] e y a [-0.4444,0.4835] 
<math> \iint f(x,y)dxdy </math>

{{matlab|codigo=
%tomaremos los datos necesarios de apartados anteriores
h1=1/20;
f=xx.*yy.*exp(-1./xx.^2);
c=(h1.^2).*f;
masa=(sum(sum(c)))
}}
El valor de la masa de la placa es de 1.9111e-020. Sim embargo, si utilizamos la funcion de matlab quad2d y aplicamos los límites de integración para x e y, nos sale un valor de la masa -4.8789e-019. Por tanto, decidimos hacer la integral doble de la función densidad en x e y, y nos sale que la masa es nula.

<math> \iint x·y·exp(-1/x^2)dxdy=0 </math>