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Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-12T22:18:09Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

y el campo de tensiones según el eje x:
<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, ejey)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-12T22:17:20Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

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y=0:h:2;

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Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

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Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

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axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

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axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

y el campo de tensiones según el eje x:
<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, ejey)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-12T20:23:42Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

y el campo de tensiones según el eje x:
<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:campos8.jpg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-12T20:16:57Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
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x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

y el campo de tensiones según el eje x:
<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:campos8.jpg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-12T20:15:14Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

y el campo de tensiones según el eje x:
<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:campos8.jpg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T21:06:22Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:campos8.jpg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T21:02:13Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
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Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

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surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T21:01:14Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - 0 \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Archivo:Campos8.jpg

2013-12-09T21:01:05Z

Jorge Sánchez Díaz:

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:27:27Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

[[Categoría: Teoría de Campos]]

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:25:11Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Se puede observar que los vectores son mayores en los puntos que sufren una mayor deformación, ya sea por compresión o por tracción, y por lo tanto nos marca las zonas en las que debemos vigilar la fisuración.

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:13:39Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece el estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, en el centro de la placa se juntan las líneas, se han comprimido unas con otras, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:11:24Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama ofrece el desplazamiento que sufren las partículas de la placa, se puede observar en la simetría de la imagen que cada vector tiene otro igual y opuesto situado en otro punto de su directriz por lo que cabe esperar que al final la placa no se desplace.

Por último, la tercera gráfica nos ofrece es estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresión de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. Sin embargo, las dimensiones totales siguen siendo las mismas. Esto se puede interpretar como tensiones internas que el material deberá soportar y que estudiamos más adelante. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la placa antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:04:17Z

Jorge Sánchez Díaz: /* INTRODUCCIÓN */

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresión final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera gráfica nos ofrece es estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresión de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la palca antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-09T20:01:35Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Análisis físico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el análisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicación de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades físicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresión:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicación de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresión es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representación del intervalo de trabajo. Así pues, como se comento en la introducción, la placa ocupa una región del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la gráfica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtención.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibración longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la región de la placa, se procede a la obtención de las mismas mediante MATLAB, apoyándonos en las tres gráficas que a continuación se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representación de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribución de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente térmico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posición (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representación en colores azules).

En la segunda gráfica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variación de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfección como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observándose gráficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresión del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima gráfica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varían de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separación entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representación cabe resaltar la variación del campo vectorial de tal forma que todos los vectores llevan la misma dirección, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

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y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representación del campo vectorial que nos da la posición de los puntos de la placa, es decir, el vector posición de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente gráfica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

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axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquiriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descendiendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U ==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera gráfica nos ofrece es estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresión de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la palca antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, se observa que los valores negativos salen en color azul, y representan la zona en la que la placa se contrae, es decir, las lineas de desplazamiento convergen en sumideros. Por otro lado los puntos en color rojo son valores positivos de la divergencia y simbolizan los lugares en los que la placa se está expandiendo.

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)= \vec 0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede prever de antemano sin realizar los cálculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de dirección, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representación gráfica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma dirección.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=0
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Por lo que el campo de tensiones según la dirección el eje y

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se dibuja mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales eje y %

ty=(3*pi/10)*cos(pi*yy);

tx=0*ty;

% dibujamos %

quiver(xx,yy,tx,ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-08T11:03:32Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y})</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en función de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la función seno correspondiente al vector posición. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresión de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirían desde un valor nulo para y=0 e irían adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresión citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el máximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representación se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzándose el máximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma dirección. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la dirección de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la gráfica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolución de un punto, en cuanto a su posición se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se sitúan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posición inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera gráfica nos ofrece es estado final de los puntos, su posición tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresión de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtención de las gráficas se adjunta a continuación.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Gráficas de los puntos de la palca antes, durante y después del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresión:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente según la dirección j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se sitúen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)

Con el programa mostrado se obtiene la representación de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresión como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

5.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

5.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:36:51Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtencion de las graficas se adjunta a continuacion.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)

Con el programa mostrado se obtiene la representacion de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:36:24Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtencion de las graficas se adjunta a continuacion.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)

Con el programa mostrado se obtiene la representacion de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)
jutkdtyd

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:33:23Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtencion de las graficas se adjunta a continuacion.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)

Con el programa mostrado se obtiene la representacion de la divergencia del campo u.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:30:25Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtencion de las graficas se adjunta a continuacion.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:30:01Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase. El programa ejecutado para la obtencion de las graficas se adjumta a continuacion.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:27:35Z

Jorge Sánchez Díaz: /* INTRODUCCIÓN */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinales sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:27:00Z

Jorge Sánchez Díaz:

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:25:52Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

== DEFORMACIONES Y TENSIONES TANGENCIALES ==

Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:22:59Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, la divergencia genera que las zonas de menos temperatura se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:19:30Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>.

El rotacional es cero, lo que se puede preveer de antemano sin realizar los calculos debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan. Al fin y al cabo el rotacional mide como un campo vectorial rota, siempre y cuando el campo muestre tendencia a hacerlo, lo que no sucede en nuestro caso porque todos los vectores, como se puede ver en la representacion grafica del campo u en el segundo apartado, ofrecen la misma direccion.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:13:02Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)=0</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:12:18Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:11:39Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\u_x & u_y & u_z \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:09:34Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
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y=0:h:2;

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Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0 \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:08:49Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(pi y)/10 & 0 \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:07:46Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & frac{\sin(\pi y)}{10} & 0 \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:06:05Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=\left( \begin{array}{ll} i & y & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & algo & 0 \end{array} \right)</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T22:00:57Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|=</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:59:37Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

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y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

Para terminar el estudio completo del campo u, es necesario realizar en ultimo lugar el rotacional del campo de desplazamientos. Se puede afirmar que el rotacional de un campo vectorial muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Es conocida su expresion como <math>|\nabla \times \vec u|</math>
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:30:59Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>(0,-e^{-y},0)</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:30:06Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz)</math> , nos da como resultado el campo vectorial <math>-e^{-y}j</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:28:13Z

Jorge Sánchez Díaz: /* INTRODUCCIÓN */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz) , nos da como resultado el campo vectorial <math>\-e
</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:27:19Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz) , nos da como resultado el campo vectorial <math>\-e
</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:24:28Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δt/δx,δt/δy,δt/δz) ,
</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:23:50Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla T=\ (δu/δx,δu/δy,δu/δz) ,
</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:23:06Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura, <math>\nabla \cdot \vec T=\ (δu/δx,δu/δy,δu/δz) ,
</math>

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T21:21:16Z

Jorge Sánchez Díaz: /* DEFINICION DE LAS VARIABLES */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

La expresion del gradiente de la temperatura,

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:36:07Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

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Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior. (REVISAR ESTA EXPLICACION)
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:34:42Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que la divergencia con respecto a la representacion de la temperatura (vista al principio del tercer apartado), genera que las zonas de menos temperatura que antes se localizaban en el extreno superior de la placa ahora se situen en la zona central en torno al valor y=1, mientras que las zonas de mayor temperatura pasan a estar en los extremos superior e inferior.
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:29:19Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>

Dicho valor es el que queda representado en la imagen de la derecha, pudiendose observar que
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:27:26Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es:
<math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
</math>
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:26:27Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>

que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>

Por tanto, la suma de las derivadas parciales nos da el valor final de la divergencia, el cual es <math>
\nabla \cdot \vec u= π*cos(πy)/10
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:24:25Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>
que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 , δu/δy=π*cos(πy)/10 , δu/δz=0.
</math>
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)

Comportamiento de una placa sometida a una fuerza exterior: Ondas longitudinales (Grupo 13A)

2013-12-07T19:23:53Z

Jorge Sánchez Díaz: /* ESTUDIO DEL CAMPO U */

{{Trabajo|Analisis fisico del comportamiento de una placa plana sometida a una fuerza exterior|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== INTRODUCCIÓN ==

Este trabajo consiste en la visualización y en el analisis de campos escalares y vectoriales en elasticidad sobre una placa
rectangular plana, como consecuencia de la aplicacion de una fuerza exterior que genera una serie de ondas
longitudinale sobre la misma.

Las dimensiones de nuestra placa son [-0.5,0.5]x[0,2], donde se definen dos cantidades fisicas: la temperatura y el tiempo.
La posición de cada punto (x,y) de la placa en un instante de tiempo t viene dada por la expresion:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t),
</math>
La aplicacion de la fuerza anteriormente mencionada genera ondas longitudinales, cuya expresion es:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
Trataremos de representar con la ayuda de OCTAVE o MATLAB las variaciones que se produzcan en nuestra placa originadas
por estas cantidades físicas.
Nuestros datos de partida son: la temperatura <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math> ,y la onda longitudinal simplificada para los valores:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0,
</math>
de tal forma que la expresion final de los desplazamientos queda de la forma:
<math>
\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>

== DEFINICION DEL ESPACIO DE TRABAJO ==
El primer paso de todos para empezar a desarrollar nuestro estudio sobre la placa, ha de ser, como en todo problema ingenieril, el de la representacion del intervalo de trabajo. Asi pues, como se comento en la introduccion, la placa ocupa una region del plano <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual queda perfectamente representada por la grafica obtenida mediante MATLAB, ademas de por el programa ejecutado para su obtencion.
[[Archivo:Mallado_de_una_placa_plana_rectangular_(13A).jpeg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

== DEFINICION DE LAS VARIABLES ==
En segundo lugar es imprescindible presentar las variables que participan y quedan definidas en la placa bidimensional, en nuestro caso vamos a hablar de la temperatura T y del vector que muestra los desplazamientos de todos los puntos de la placa generados por la vibracion longitudinal.

Para hacernos una idea mas aproximada de cada una de estas variables expresadas en la region de la placa, se procede a la obtencion de las mismas mediante MATLAB, apoyandonos en las tres graficas que a continuacion se muestran junto con sus correspondientes programas.
[[Archivo:Imagen2.jpeg|300px|thumb|right|Representacion de la temperatura a lo largo de la placa]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

T=exp(-yy);

figure (1)

surf(xx,yy,T)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

En la primera de ellas, es posible observar como se produce la distribucion de la temperatura a lo largo de la placa, generando un gradiente termico mayor cuanto menor es el valor de la variable 'y' de posicion (perfectamente distinguido en color rojo), y menor cuando esta alcanza cotas mas elevadas (representacion en colores azules).

En la segunda grafica queda representada, por un lado el campo vectorial correspondiente al grad(T), y por otro las curvas de nivel de la temperatura que reflejan como se produce la variacion de la misma a lo largo de la placa. Ambos ejemplos ilustran a la perfeccion como queda representada la temperatura junto con su gradiente, observandose graficamente, que las lineas de nivel de T resultan ortogonales al campo vectorial representado.

Esta ultima grafica muestra como las curvas de nivel del campo de la temperatura no varian de forma lineal, es decir, no mantienen una igual separacion entre cada una de ellas, y ademas, los colores de las curvas indican donde existe una temperatura mayor (colores rojos) y una menor (colores azulados). Dentro de la representacion cabe resaltar la variacion del campo vectorial de tal forma que todos los vecotres llevan la misma direccion, siendo los de mayor valor (aquellos con un mayor modulo o longitud) los mas cercanos a la cota y=0.
[[Archivo:3.jpg|300px|thumb|right|Campo Escalar Temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Tx=zeros(21,11);

Ty=-exp(-yy);

quiver(xx,yy,Tx,Ty,'k')

hold on

contour(xx,yy,Ty)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

Para finalizar, acudimos a una representacion del campo vectorial que nos da la posicion de los puntos de la placa, es decir, el vector posicion de los mismos. De esta forma, el vector <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> queda definido por la siguiente grafica.

[[Archivo:4.jpg|300px|thumb|right|Campo de Vectores u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En ella se puede observar como los puntos del campo vectorial adquieren unos valores mayores o menores en funcion de la longitud de los vectores representados, de tal forma que en los extremos de la placa, para valores de y=0 e y=2, el los puntos toman valores nulos. Ademas cabe destacar la influencia del valor π en el angulo de la funcion seno correspondiente al vector posicion. Este valor genera dos cambios.

Por un lado, una regresion de los valores del campo, es decir, sin la presencia de π, los puntos del campo partirian desde un valor nulo para y=0 e irian adquieriendo valores mayores hasta alcanzar la cota y=2. En nuestro caso podemos apreciar como esto no sucede, sino que la regresion citada implica que los puntos vayan adoptando valores mayores desde y=0 hasta y=0.5, donde adquieren el maximo valor, para luego ir descenciendo hasta tomar de nuevo valores nulos en y=1. Esta representacion se repite de nuevo entre las cotas y=1 e y=2, alcanzandose el maximo valor de nuevo para y=1.5.

Por otro lado es de especial importancia resaltar que el valor π hace que los vectores representado no lleven la misma direccion. Se puede ver como desde la cota 0 hasta la 1, la direccion de los vectores es opuesta la de los mismos entre los valores 1 y 2

== ESTUDIO DEL CAMPO U==

En los apartados anteriores se ha comentado como el campo u representa el desplazamiento de los puntos de la grafica, y es por ello que resulta muy apropiado mostrar como se produce la evolucion de un punto, en cuanto a su posicion se refiere, como consecuencia de la onda longitudinal desarrollada.

Como muestra la imagen adjunta, el primer diagrama nos indica como se situan todos los puntos antes de que la fuerza externa provoque la onda, es decir, indica la posicion inicial de los puntos definida en el apartado 2 mediante el mallado obtenido en MATLAB.

El segundo diagrama da una idea bastante aproximada del desplazamiento que sufren los puntos (NO VEO BIEN LA IMAGEN Y NO SE COMO EXPLICAR EL DESPLAZAMIENTO DE LOS PUNTOS)

Por ultimo, la tercera grafica nos ofrece es estado final de los puntos, su posicion tras el movimiento. Como se puede apreciar, parece como si por el centro de la placa se hubieran ejercido una compresion de los puntos, mientras que por los extremos los puntos se encuentran mas distantes entre si con respecto al inicio, como si de un estiramiento se tratase.

[[Archivo:5.jpg|300px|thumb|right|Movimiento de la placa. Graficas de los puntos de la plca antes, durante y despues del movimiento]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

Ux=zeros(21,11);

Uy=sin(pi*yy)/10;

x1=x;

y1=y+sin(pi*y)/10;

subplot(1,3,1)

mesh(xx,yy,0*xx)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,2)

quiver(xx,yy,Ux,Uy,'k')

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

subplot(1,3,3)

[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1);

mesh(xx1,yy1,0*xx1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

}}

La segunda imagen hace referencia a la divergencia del campo u. La <math>\nabla \cdot \vec u</math> viene determinada por la expresion:
<math>
\nabla \cdot \vec u=\ δu/δx + δu/δy + δu/δz ,
</math>
que da como resultado final un campo escalar. La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie , en este caso, la placa. Por tanto si es positiva se habla de fuentes en el campo vectorial, y si la divergencia es negativa, hablamos de sumideros.

Debido a que el campo que representa el desplazamiento solo tiene componente segun la direccion j, las derivadas quedan de la siguiente forma:
<math>
δu/δx=0 ,δu/δy=π*cos(πy)/10 ,δu/δz=0.
</math>
[[Archivo:6.jpg|300px|thumb|right|Divergencia del campo u]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

DIV=pi*cos(pi*yy)/10;

surf(xx,yy,DIV)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)
}}

APARTADO 7
El rotacional es cero, debido a que todos los vectores del campo no cambian de direccion, no rotan.

APARTADO 8
Para definir las tensiones que sufre la placa en las dos dimensiones haremos uso de un tensor : '''el tensor de deformaciones (ε).''' que viene dado por la parte simétrica del gradiente de <math> \vec u </math>.

<math>
\nabla \vec u=\left( \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array} \right),
</math>

Como <math> \nabla \vec u </math> es simétrico, <math> ε = \nabla \vec u </math>.

Definimos el tensor de tensiones (<math> \sigma </math>) como:

<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>

donde <math> \nabla \cdot \vec u </math> es la divergencia de <math> \vec u </math> y <math> \lambda = \mu = 1 </math>.

Para nuestro caso particular:

<math> \sigma_{ij}=\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) </math>

Resulta muy visual y práctico observar las tensiones que soportará la placa en la dirección de los ejes de la misma.Para ello calcularemos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante un programa en matlab.

Tensiones normales en la dirección del eje x:

<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left( \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left( \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

Una vez obtenidos los dos campos vectoriales:

<math>
\vec t_x=(π/10)cos(πy) \vec i
</math>

<math>
\vec t_y=(3π/10)cos(πy) \vec j
</math>

se procederá a dibujarlos mediante el siguiente programa:

[[Archivo:8.jpeg|300px|thumb|right|Tensiones normales(eje x, eje y)]]
{{matlab|codigo=

h=0.1;

x=-0.5:h:0.5;

y=0:h:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

% tensiones normales eje x %

tx1=pi/10*cos(pi*yy);

ty1=0*tx1;

%tensiones normales eje y %

ty2=3*tx1;

tx2=0*ty2;

% dibujamos %

subplot(1,2,1)

quiver(xx,yy,tx1,ty1)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

subplot(1,2,2)

quiver(xx,yy,tx2,ty2)

axis([-2,2,-1,3])

axis equal

view(2)

}}

En los siguientes apartados procedemos a representar las tensiones tangenciales sufridas por la placa respecto tanto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> , como al plano ortogonal a <math> \vec j </math>

8.1 :

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right) - (π/10)cos(πy) \vec i | = | (π/10)cos(πy) \vec i - (π/10)cos(πy) \vec i | = \vec 0 </math>

8.2 :

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left( \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy) \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Podemos observar que no existen tensiones tangenciales en nuestra placa. Por lo tanto, en comparación con las deformaciones de la malla, la mayor distancia será de (π/10)cos(πy)