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Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:22:54Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \
Máximos \ relativos → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 </math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:21:22Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \
Máximos \ relativos → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:16:44Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima → <math>|\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \ <math>
Máximos relativos <math> → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Velocidad máxima <math> → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:15:00Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima <math> → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \ <math>
Máximos relativos <math> → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Velocidad máxima <math> → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:13:48Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima <math> → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \
Máximos relativos <math> → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Velocidad máxima <math> → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:11:17Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> Puntos de remanso que coinciden con los puntos de velocidad mínima → <math> |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

<math> Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:08:11Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> <math> Puntos de remanso que coinciden con los punytos de velocidad mínima → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

<math> Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:04:38Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> <math> Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> <math> Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T22:02:57Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> <math> Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .\end{matrix}\right.</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2015-12-04T22:00:34Z

Jorge García Flores: /* Puntos de frontera. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Sainz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

 
 
 

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Malladooooo.png|325px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
x=2*cos(v);
y=2*sin(v);
hold on
plot(x,y,'k','linewidth',2)
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
hold off
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])

}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

 
*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:glugu.png|900px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^θ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500x500px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{u}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo no depende de la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima. Tendremos que buscar los máximos y mínimos relativos y posteriormente encontrar entre ellos los absolutos. En los casos en los que la función a maximizar o minimizar (<math>|\vec u|</math>) sea complicada debido a una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> <math> \ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .\end{matrix}\right.</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:Presion_1.png|425x425px|miniaturadeimagen|right|Dibujo en 2D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima de 15 que podemos encontrar en los ángulos θ=0 y θ=π y un valor mínimo de la presión que podemos suponer en θ=π/2 y θ=3π/2 (por los colores de la gráfica, al igual que los máximos) con un valor de 0.

Matlab nos proporciona un valor negativo de -0'98 que físicamente no tendría sentido, debido al uso de un método numérico con un error que podemos reducir al aumentar tamaño del mallado, por ello vemos valores negativos en la gráfica 3D. Analíticamente si hemos obtenido un valor de presión mínima nulo para θ=π/2 y θ=3π/2.

[[Archivo:Plantilla.png|600x600px|miniaturadeimagen|center|Dibujo en 3D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:88888.png|350x350px|miniaturadeimagen|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de 10'5619, valor que podríamos haber aproximado con la gráfica 3D de la función pues la presión se concentra entre los valores de 10 y 11.

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
p=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));
P=U.*p;

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B'*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}

==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de la presión P y el módulo de la velocidad |\(\vec{u}\)|. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\) y de la presión, junto con las líneas de corriente (ψ), podemos ver cómo varían estos dos valores a medida que nos desplazamos por distintas líneas de corriente.

♦ Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\), podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de las curvas de nivel de la presión, así como en su superficie, se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

Cuando nos aproximamos al obstáculo desde la línea de corriente central reducimos nuestra velocidad hasta llegar a un punto de remanso (θ=π y ρ=2). En el resto de líneas de corriente, rodeamos el obstáculo aumentando la velocidades a medida que rodeamos el obstáculo (disminuyendo la presión) hasta llegar a un punto (θ=π/2 o θ=3π/2), desde el que seguiremos rodeando el obstáculo dado que no hay velocidad normal, y desde el que empezará a disminuir la velocidad y a aumentar la presión. Al terminar la curva nuestra partícula saldrá con la misma velocidad y presión con la que entraba.

{{matlab|codigo=
ro=linspace(2,6,50);
th=linspace(0,2*pi,50);

%Creaación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(ro,th);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definición de las líneas de corriente
UU=2.*sqrt(((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2)))));

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de ambas superficies
figure(1)
surf(x,y,UU)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(3)
contour(x,y,UU,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(4)
contour(x,y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)}}

[[Archivo:Vesup.png|450x450px|miniaturadeimagen|left| Superficie del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Presup.png|475x475px|miniaturadeimagen|center| Superficie de la presión estática P. ]]

 

[[Archivo:Vecur.png|450px|miniaturadeimagen|left| Curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Precur.png|475px|miniaturadeimagen|center| Curvas de nivel de la presión estática P. ]]
 

 

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar φ, pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2015-12-04T21:58:55Z

Jorge García Flores: /* Puntos de frontera. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Sainz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

 
 
 

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Malladooooo.png|325px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
x=2*cos(v);
y=2*sin(v);
hold on
plot(x,y,'k','linewidth',2)
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
hold off
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])

}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

 
*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:glugu.png|900px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^θ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500x500px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{u}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo no depende de la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima. Tendremos que buscar los máximos y mínimos relativos y posteriormente encontrar entre ellos los absolutos. En los casos en los que la función a maximizar o minimizar (<math>|\vec u|</math>) sea complicada debido a una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> → <math> \begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .\end{matrix}\right.</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:Presion_1.png|425x425px|miniaturadeimagen|right|Dibujo en 2D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima de 15 que podemos encontrar en los ángulos θ=0 y θ=π y un valor mínimo de la presión que podemos suponer en θ=π/2 y θ=3π/2 (por los colores de la gráfica, al igual que los máximos) con un valor de 0.

Matlab nos proporciona un valor negativo de -0'98 que físicamente no tendría sentido, debido al uso de un método numérico con un error que podemos reducir al aumentar tamaño del mallado, por ello vemos valores negativos en la gráfica 3D. Analíticamente si hemos obtenido un valor de presión mínima nulo para θ=π/2 y θ=3π/2.

[[Archivo:Plantilla.png|600x600px|miniaturadeimagen|center|Dibujo en 3D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:88888.png|350x350px|miniaturadeimagen|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de 10'5619, valor que podríamos haber aproximado con la gráfica 3D de la función pues la presión se concentra entre los valores de 10 y 11.

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
p=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));
P=U.*p;

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B'*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}

==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de la presión P y el módulo de la velocidad |\(\vec{u}\)|. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\) y de la presión, junto con las líneas de corriente (ψ), podemos ver cómo varían estos dos valores a medida que nos desplazamos por distintas líneas de corriente.

♦ Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\), podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de las curvas de nivel de la presión, así como en su superficie, se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

Cuando nos aproximamos al obstáculo desde la línea de corriente central reducimos nuestra velocidad hasta llegar a un punto de remanso (θ=π y ρ=2). En el resto de líneas de corriente, rodeamos el obstáculo aumentando la velocidades a medida que rodeamos el obstáculo (disminuyendo la presión) hasta llegar a un punto (θ=π/2 o θ=3π/2), desde el que seguiremos rodeando el obstáculo dado que no hay velocidad normal, y desde el que empezará a disminuir la velocidad y a aumentar la presión. Al terminar la curva nuestra partícula saldrá con la misma velocidad y presión con la que entraba.

{{matlab|codigo=
ro=linspace(2,6,50);
th=linspace(0,2*pi,50);

%Creaación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(ro,th);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definición de las líneas de corriente
UU=2.*sqrt(((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2)))));

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de ambas superficies
figure(1)
surf(x,y,UU)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(3)
contour(x,y,UU,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(4)
contour(x,y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)}}

[[Archivo:Vesup.png|450x450px|miniaturadeimagen|left| Superficie del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Presup.png|475x475px|miniaturadeimagen|center| Superficie de la presión estática P. ]]

 

[[Archivo:Vecur.png|450px|miniaturadeimagen|left| Curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Precur.png|475px|miniaturadeimagen|center| Curvas de nivel de la presión estática P. ]]
 

 

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar φ, pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C)

2015-12-04T21:58:04Z

Jorge García Flores: /* Puntos de frontera. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos en un fluido incompresible. (Grupo 7-C) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Alejandro García Sainz,
Adela González Barbado,

Sergio Reig Vellón,

Diego Solano López,

Ramiro Torres Garófalo }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==.-Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. ==
[[Archivo:Croquis7c.jpg|200x200px|miniaturadeimagen|izquierda|Croquizado de la situación a estudiar. ]]

Vamos a estudiar la visualización de '''campos escalares y vectoriales''' en un '''fluido incompresible''' alrededor de un '''obstáculo''' con forma '''circular'''. Trabajaremos en el plano en '''coordenadas cilíndricas''',es decir, '''polares''', por trabajar en 2D.

 
 
 

==.-Movimiento del fluido.-Representación de los puntos interiores. ==
Dibujamos en un software científico de visualización (MATLAB en este caso) la '''malla''' en la que vamos a trabajar. Hemos realizado el mallado del anillo comprendido entre los '''radios 2 y 6 con centro el origen'''. la visualización la hemos realizado con los ejes en el '''intervalo [-5,5]x[-5,5]'''. El dibujo se ha modificado añadiendo sobre la malla de '''MATLAB''' el obstáculo con un programa de edición de imagen.

[[Archivo:Malladooooo.png|325px|miniaturadeimagen|derecha|Malla. ]]

El código MATLAB utilizado es el siguiente:

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
zz=zeros(50,50);
x=2*cos(v);
y=2*sin(v);
hold on
plot(x,y,'k','linewidth',2)
mesh(xx,yy,zz)
axis([-5,5,-5,5])
hold off
}}

==.-Función potencial y velocidad. ==

==== Curvas de nivel y Campo de velocidades. ====

La '''velocidad de las partículas''' viene dada por el '''gradiente''' de la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. Hemos representado, haciendo uso de '''MATLAB''', las '''curvas de nivel''' de la función potencial '''φ''' y el '''campo de velocidades''' del fluido.

Los códigos '''MATLAB''' utilizados para ello son los que siguen:

[[Archivo:Curvasdenivel7c.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Curvas de nivel de la '''función potencial φ'''. ]]
*Representación de las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*x+8*x./(x.^2+y.^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
f=fi(xx,yy);
contour(xx,yy,f,50);
axis([-5,5,-5,5])

}}

[[Archivo:Campodevelocidades.jpg|325px|miniaturadeimagen|rigth|Representación del '''campo de velocidades'''. ]]

 
*Representación del campo de velocidades.

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])
}}

En las siguientes imágenes hemos superpuesto las representaciones de la función potencial y el campo de velocidades ('''\(\vec{u}\)=Δφ''') para comprobar (gráficamente) que éstos son ortogonales. La imagen de la derecha es un zoom sobre la imagen de la izquierda para facilitar la visualización de la perpendicularidad entre las líneas de los dos campos.

[[Archivo:glugu.png|900px|centro|miniaturadeimagen|Superposición de las representaciones de los dos campos (izquierda) y zoom para facilitar la visualización de la ortogonalidad entre '''φ''' y '''\(\vec{u}\)=Δφ''' (derecha). ]]

Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\nabla\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\nabla\vec{u}</math>.

==== Rotacional y divergencia. ====
Hemos definido la función potencial '''φ=2(ρ+4/ρ)cosθ'''. También hemos definido '''<math>\vec{u}=\nabla</math>φ=(2cosθ-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>cosθ)\(\vec{g^ρ}\)+(-2ρsenθ-<math>\frac{8}{ρ}</math>senθ)\(\vec{g^θ}\)''', campo de velocidades del fluido. Si estudiamos la situación alejándonos del obstáculo, ρ es muy grande, y por tanto <math>\frac{1}{ρ}</math> (y todos sus múltiplos) es despreciable.
En este caso:

<math>\vec{u} = (2-\frac{8}{ρ^2})cosθ\vec{g^ρ} - (2ρ + \frac{8}{ρ}) sen θ \vec{g^θ}</math>
→ '''despreciamos los cocientes:'''
<math>\frac{8}{ρ^2}</math>
<math>\frac{8}{ρ}</math>
→
2cosθ<math>\vec{g^ρ} - 2ρsen θ \vec{g^θ}</math>

Para calcular el rotacional y la divergencia operamos en coordenadas polares:
===== Rotacional =====
<math>\vec{\nabla}\times\vec{u}</math>=<math>\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { U }_{ \rho } & { U }_{ \theta } & 0 \end{vmatrix}</math>= + (<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>Uθ - <math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>Uρ)\(\vec{g_z}\)=((-2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ + (2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)senθ)\(\vec{g_z}\)=\(\vec{0}\)

El rotacional da la dirección y la velocidad de giro. Un campo con rotacional nulo (o irrotacional), no tiene rotaciones. Extrapolando a nuestro caso, acabamos de comprobar que el rotacional es nulo, por lo que nuestro fluido no genera remolinos.
===== Divergencia =====
<math>\vec{\nabla}\vec{u}</math>=<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uρ))+<math>\frac{1}{\sqrt {g}}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(<math>\sqrt{g}</math>Uθ))= →'''<math>\sqrt{g}</math>=ρ'''→ =<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \rho }</math>(ρ(2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ))+<math>\frac{1}{\rho}</math>(<math>\frac { \partial }{ \partial \theta }</math>(-ρ(<math>\frac{2}{ρ}</math>+<math>\frac{8}{ρ^3}</math>)senθ))=<math>\frac{1}{\rho}</math>((2+<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ+(-2-<math>\frac{8}{ρ^2}</math>)cosθ)=0

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. En términos más sencillos, es lo que se expande el fluido (lo que crece o decrece). Como la divergencia es 0, el fluido es incompresible, es decir, ni masa ni volumen cambian.

==== Líneas de corriente. ====
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son las '''tangente a la velocidad''', entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un '''vector perpendicular a \(\vec{u}\)''', el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ}) = \boxed {\vec{v} = 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ\vec{g^θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g^ρ}= 2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}} </math>

Por ser la '''divergencia de \(\vec{u}\) nula''', es decir, <math>\nabla·\vec{u}=0</math> (como se ha calculado en el apartado anterior), el vector '''\(\vec{v}\)''' será '''irrotacional'''. Calculando <math>\nabla\times\vec{v}=0</math> podremos comprobarlo.

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> → <math>\boxed { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } </math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\left\{\begin{matrix}\ \frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte
\end{matrix}\right\}</math> → <math>\boxed {ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Se observa que h(θ) puede tomar el valor de cualquier constante por lo que podríamos encontrar infinitos potenciales escalares, pues no influye en su gradiente.
Fácilmente comprobamos el cálculo de ψ hallando su gradiente <math>\vec{grad}ψ = \frac{∂ψ}{∂ρ}+\frac{∂ψ}{∂θ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ \vec{g^θ}=2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ} </math> que efectivamente corresponde al campo \(\vec{v}\).

Cabe destacar que al existir el potencial escalar ψ de \(\vec{v}\) podríamos haber anticipado que el rotacional de éste seria nulo y por tanto es que isorrotacional.

Finalmente se dibujan las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\) sobre las que añadiremos las curvas de nivel del potencial escalar ψ.

[[Archivo:66666.png|500x500px|miniaturadeimagen|derecha|Curvas de nivel de las ctes del potencial escalar ψ sobre las líneas de corriente del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]

{{matlab|codigo=
%Generación de la líneas de corriente de la velocidad
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);
fi=inline('2*y-8*y./(x.^2+y.^2)','x','y');

%Creación de la malla y paso a polares
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);

%Definición y dibujo del campo de velocidades
f=fi(xx,yy);
hold on
contour(xx,yy,f,100)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal

%Generación de las curvas de nivel
u=linspace(2,6,10);
v=linspace(0,2*pi,10);

%Definición y dibujo de función potencial
fx=inline('2+(8*(y.^2)-8*(x.^2))./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
fy=inline('-16*(x.*y)./((y.^2+x.^2).^2)','x','y');
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
u1=fx(xx,yy);
u2=fy(xx,yy);
quiver(xx,yy,u1,u2)
axis([-5,5,-5,5])}}

En la imagen podemos observar como las curvas de nivel son tangentes al campo de velocidades \(\vec{u}\) en cada uno de los puntos.

==== Puntos de frontera. ====
Gracias al módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6.

Dado que el módulo no depende de la base escogida podremos hacerlo tanto en coordenadas contravariantes como covariantes, siendo éstas últimas las utilizadas para el cálculo. Además, se hallarán los puntos de remanso, donde la velocidad se anula, que veremos que además son los puntos de velocidad mínima. Tendremos que buscar los máximos y mínimos relativos y posteriormente encontrar entre ellos los absolutos. En los casos en los que la función a maximizar o minimizar (<math>|\vec u|</math>) sea complicada debido a una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math>

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> → <math> \begin{matrix}\ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\end{matrix}\right.</math>

♦ ρ=6 → <math>|\vec u|(6,θ)= 2 {\sqrt { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} } </math> → <math>f(θ)= { (\frac{64}{81}) cos^2θ + \frac{100}{81}sen^2θ} </math> → <math> \left\{\begin{matrix}\ Mínimos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ=0 \\ θ_1=0 \ → |\vec u|(6,0)=1,78 \\ θ_2=π con\ |\vec u|(6,π)=1,78 \\ Máximos\ relativos\ → f'(θ)= \frac{8}{9}\cosθsenθ= 0 \\ θ_3=\frac{π}{2} \ →|\vec u|(6,\frac{π}{2})=2,22 \\ θ_4=\frac{3π}{2} \ → |\vec u|(6,\frac{3π}{2})=2,22 \\ Puntos\ de\ remanso\ →|\vec u|(6,θ) \ es\ siempre\ distinto\ de\ 0\ luego\ no\ existen .\end{matrix}\right.</math>

Podemos ver que los puntos de velocidad máxima, mínima y de remanso son: → <math> \left\{\begin{matrix}\ Velocidad\ máxima\ → (ρ=2, θ=\frac{π}{2})\ y\ (ρ=2, θ=\frac{3π}{2})\ con\ |\vec u|=4 \\ Velocidad\ mínima\ y\ de\ remanso → (ρ=2, θ=0)\ y\ (ρ=2, θ=π)\ con\ |\vec u|=0 \end{matrix}\right.</math>

==.-Presión. ==
==== Ecuación de Bernouilli. ====
La ecuación de Bernouilli describe el movimiento del fluido con respecto a ciertas variables de éste que podemos describir como:
→ p: '''Presión estática''' a la que se ve sometido el fluido p debido a las moléculas que lo rodean.
→ ρ: '''Densidad''' del fluido.
→ \(\vec{u}\): '''Velocidad de flujo''' del fluido.

Esta ecuación se aplica en la '''dinámica de fluidos''', dicho fluido, que podemos considerar '''gas o líquido''', adoptará la forma del recipiente que lo contiene pues sus partículas no están rígidamente unidas, como ocurre con los cuerpos sólidos

Al limitar el nivel de aplicabilidad con la suposiciones que citamos a continuación se puede llegar a la ecuación: <math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

♦ La velocidad de cada punto no será variante con el tiempo por lo que nuestro fluido se moverá en un '''régimen estacionario'''.

♦ Despreciaremos la '''viscosidad del fluido''' entendida como una fuerza interna de rozamiento.

♦ El '''efecto Bernouilli''' es consecuencia directa que surge a partir de su ecuación: Al aumentar la velocidad del punto disminuirá la presión de éste, es decir, habrá una relación inversa entre la presión y la velocidad del fluido. Dicho efecto nos facilitará el cálculo de los puntos de máxima y mínima presión.

Estableciendo una densidad constante para el fluido con ρ=2 y valor para la constante de la ecuación de 15 podremos calcular cuál es la presión de éste en cada uno de sus puntos.

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math> → ρ=2 y cte=15 → <math> (|\vec{u}|)^2 + p = 15 </math> → \(\boxed { p= 15 - 4 [(1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ] } \)

Por último dibujaremos la presión estática P del fluido y cácularemos númericamente el valor máximo y mínimo ésta.

[[Archivo:Presion_1.png|425x425px|miniaturadeimagen|right|Dibujo en 2D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2,6,50);
v=linspace(0,2*pi,50);

%Creación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(u,v);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de la presión
figure(1)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

%dibujo en 3D
figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(3)

%Cálculo de la presión máxima y mínima
Pmax=max(max(P))
Pmin=min(min(P))}}

Los valores que nos proporciona el programa para la presión máxima de 15 que podemos encontrar en los ángulos θ=0 y θ=π y un valor mínimo de la presión que podemos suponer en θ=π/2 y θ=3π/2 (por los colores de la gráfica, al igual que los máximos) con un valor de 0.

Matlab nos proporciona un valor negativo de -0'98 que físicamente no tendría sentido, debido al uso de un método numérico con un error que podemos reducir al aumentar tamaño del mallado, por ello vemos valores negativos en la gráfica 3D. Analíticamente si hemos obtenido un valor de presión mínima nulo para θ=π/2 y θ=3π/2.

[[Archivo:Plantilla.png|600x600px|miniaturadeimagen|center|Dibujo en 3D de la superficie de la presión estática P del fluido. ]]

==== Curvas de nivel. ====
En este apartado únicamente se nos pide el dibujo de las curvas de nivel de la presión estática.

[[Archivo:88888.png|350x350px|miniaturadeimagen|right|Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática P del fluido. ]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo de las curvas de nivel de la presión estática
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);

%Creación de la malla y paso a polares
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Dibujo y definición de P
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

contour(X,Y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])}}

==== Presión media. ====
Para el cálculo de la presión media hemos utilizado un método numérico en MATLAB basado en el método del trapecio. El resultado de la '''presión estática media''' del fluido es de 10'5619, valor que podríamos haber aproximado con la gráfica 3D de la función pues la presión se concentra entre los valores de 10 y 11.

{{matlab|codigo=
%Cálculo de la presión media
i=1000;
j=1000;
u=linspace(2,6,i+1);
v=linspace(0,2*pi,j+1);
h=(6-2)/i;
H=2*pi/j;

%Creación la malla.
[U,V]=meshgrid(u,v);

%Definición de la presión estática
p=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));
P=U.*p;

%Integración y cálculo de presión total
A=ones(i+1,1);
A(1)=1/2;
A(i+1)=1/2;

B=ones(j+1,1);
B(1)=1/2;
w(j+1)=1/2;
PT=h*H*B'*P*A;

%Cálculo del área y de la presión media
ro=2;
roo=6;
Ar=pi*(roo^2-ro^2);
PM=PT/Ar}}

==== Variación de la velocidad y la presión. ====
Como se ha comentado en el primer apartado de esta sección existe una relación entre la velocidad de flujo y la presión estática del fluido determinada por el efecto Bernouilli que establece que en los puntos donde la velocidad aumenta disminuirá la presión y viceversa, por lo que podemos afirmar que aquellos donde la presión sea máxima la velocidad será mínima así como donde la primera sea mínima la velocidad será máxima.

La variación de la presión estática y de la velocidad de una partícula del fluido seguirá una relación inversa que podremos comprobar con el dibujo de las gráficas de la presión P y el módulo de la velocidad |\(\vec{u}\)|. Podremos ver en las gráfica como aquellos puntos que alcanzan el valor máximo corresponden al color rojo mientras que aquellos en los que es mínimo se muestran en azul.

Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\) y de la presión, junto con las líneas de corriente (ψ), podemos ver cómo varían estos dos valores a medida que nos desplazamos por distintas líneas de corriente.

♦ Observando las gráficas de la superficie y curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\), podemos ver como los puntos máximo se concentran puntos superiores e inferiores (θ=0 y θ=π y alrededores) en el obstáculo (ρ=2) y algunos ligeramente menores en los lados (θ=π/2 y θ=3π/2 y alrededores) en la frontera exterior de ρ=6. El resto de la gráfica la observamos en colores azulados que nos indican los puntos de menor velocidad.

♦ Sin embargo en el dibujo de las curvas de nivel de la presión, así como en su superficie, se observa como ocurre exactamente lo contrario, ésta tiende a colores rojizos en la mayor parte de la función salvo en aquellos puntos donde la velocidad era rojo que podemos ver en tonos azules.

Cuando nos aproximamos al obstáculo desde la línea de corriente central reducimos nuestra velocidad hasta llegar a un punto de remanso (θ=π y ρ=2). En el resto de líneas de corriente, rodeamos el obstáculo aumentando la velocidades a medida que rodeamos el obstáculo (disminuyendo la presión) hasta llegar a un punto (θ=π/2 o θ=3π/2), desde el que seguiremos rodeando el obstáculo dado que no hay velocidad normal, y desde el que empezará a disminuir la velocidad y a aumentar la presión. Al terminar la curva nuestra partícula saldrá con la misma velocidad y presión con la que entraba.

{{matlab|codigo=
ro=linspace(2,6,50);
th=linspace(0,2*pi,50);

%Creaación de la malla y paso a cartesianas
[U,V]=meshgrid(ro,th);
x=U.*cos(V);
y=U.*sin(V);

%Definición de las líneas de corriente
UU=2.*sqrt(((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2)))));

%Definimos la presión estática del fluido
P=15-4.*((((1-(4./(U.^2))).^2).*((cos(V)).^2))+(((U+(4./U)).^2).*((sin(V)).^2).*(1./(U.^2))));

%dibujo de ambas superficies
figure(1)
surf(x,y,UU)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(2)
surf(x,y,P)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(3)
contour(x,y,UU,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)

figure(4)
contour(x,y,P,100)
axis([-5,5,-5,5])
view(2)}}

[[Archivo:Vesup.png|450x450px|miniaturadeimagen|left| Superficie del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Presup.png|475x475px|miniaturadeimagen|center| Superficie de la presión estática P. ]]

 

[[Archivo:Vecur.png|450px|miniaturadeimagen|left| Curvas de nivel del módulo del campo de velocidades \(\vec{u}\). ]]
[[Archivo:Precur.png|475px|miniaturadeimagen|center| Curvas de nivel de la presión estática P. ]]
 

 

==.- Teorema de Kutta-Joukowski y paradoja de D'Alembert. ==
Debemos comprobar que la circulación del campo \(\vec{u}\) a lo largo de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen.

Antes de proceder al cálculo directo de la integral analizaremos nuestro caso detenidamente pues podemos anticiparnos al resultado. Nuestro campo \(\vec{u}\) posee un potencial escalar φ, pues su rotacional es cero lo cual nos lleva a dos posibles deducciones del valor de la circulación en la curva.

→ Por un lado el '''teorema de Stokes''' establece que la integral de un campo vectorial alrededor de una frontera de la superficie es igual a la del rotacional de éste mismo campo alrededor de toda la superficie. Al ser el rotacional de campo \(\vec{u}\) nulo podemos afirma que la circulación a lo largo del obstáculo entendido como una '''curva cerrada''' será nula.
<math> ∫_{əS} \vec {u} \vec {dr} = ∫_S (\nabla\times\vec{u}) \vec {dS}=0 </math>

→ Por otro lado al poseer el campo un potencial escalar, la circulación no dependerá del camino recorrido pues únicamente influye en ella el origen y el extremo de éste pues todo campo que tenga asociado un potencial escalar será '''conservativo'''.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}= φ(2π)- φ(0)=0 </math>
Además vemos que la curva sobre la que estamos trabajando tiene como origen y como extremo el mismo punto, es decir, se trata de una '''curva cerrada''' y por tanto la circulación será nula.
<math> ∫_Ύ \vec {u} \vec {dr} = ∫_0^{2π} \vec u \vec {dr}=0 </math>

El '''teorema de Kutta-Joukowski''', que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo no es sólo proporcional a la circulación si no también a la densidad y la velocidad de fluido. La ecuación viene dado por:
→l: La '''fuerza de sustentación'''.
→ρ: '''Densidad''' del fluido.
→v: '''Velocidad''' del fluido.
→Γ: '''La circulación.'''
\(\boxed { l=ρvΓ } \)

Al ser nula la circulación, el obstáculo no se ve sometido a ninguna fuerza por el fluido lo cual nos lleva a mencionar la siguiente paradoja pues el resultado obtenido se aleja por completo de aquel hubiéramos podido intuir con la descripción del movimiento del fluido, la '''paradoja de D'Alembert'''.

Si el resultado de las fuerzas ejercidas sobre el obstáculo no hubiesen sido nulas éstas serían ortogonales a las líneas de corriente.

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T21:53:20Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo → <math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Módulo → <math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T21:51:09Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

♦ ρ=2 → <math>|\vec u|(2,θ)= f(θ)= 4 senθ </math> → <math> \left\ \ Puntos\ de\ remanso\ que\ coinciden\ con\ los\ de\ velocidad\ mínima\ → |\vec u|(2,θ)= 4 senθ=0 \\ θ_1=0 →\ |\vec u|(2,0)=0 \\ θ_2=π\ →\ |\vec u|(2,π)=0 \\ Máximos\ relativos\ → |\vec u|'(2,θ)= f'(θ)= 4 cosθ=0 \\ θ_3=\frac{π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{π}{2})=4 \\ θ_4=\frac{3π}{2} →\ |\vec u|(2,\frac{3π}{2})=4\\right.</math>

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T21:46:29Z

Jorge García Flores: /* Puntos de frontera de S */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de la frontera==

Utilizando el módulo de \(\vec{u}\) podemos establecer una función dependiente de ρ y θ, u(ρ,θ), que nos permitirá calcular aquellos puntos con mayor y menor velocidad en la frontera S fijando el valor de ρ en 2 y 6. 

Estudiaremos también los puntos de remanso, donde la velocidad es cero, que además son los puntos de velocidad mínima. Buscaremos primero los máximos y mínimos relativos y después precederemos a su estudio para hallar os máximos y mínimos absolutos. Dado que la función a estudiar (<math>|\vec u|</math>) contiene una raíz cuadrada, se estudiará el valor del interior de la raíz, cuyos puntos donde haya máximos y mínimos coincidirán con los de la velocidad.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

<math> |\vec u| (ρ,θ)= 2 {\sqrt { (1-\frac{4}{ρ^2})^2 cos^2θ + (ρ+\frac{4}{ρ})^2 \frac{1}{ρ^2} sen^2θ} } </math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T21:42:50Z

Jorge García Flores:

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Puntos de frontera de S==

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T19:13:19Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T18:04:46Z

Jorge García Flores: /* Líneas de Corriente */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]

==Líneas de Corriente==
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T18:03:30Z

Jorge García Flores: /* Puntos de la frontera */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]

===Líneas de Corriente===
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T18:02:51Z

Jorge García Flores: /* Conclusiones */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Siendo <math>\vec u </math> el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas del fluido no giran. El rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección antihoraria. Por lo tanto su circulación, como hemos comprobado, es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido, en caso de ser positivo, el fluido se estaría expandiendo, y en caso negativo, se estaría comprimiendo, al ser nula, podemos concluir que se trata de un fluido incompresible.

===Puntos de la frontera===

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
===Líneas de Corriente===
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-04T17:53:33Z

Jorge García Flores: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido incompresible. Grupo 4-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Adrián Coronado López 
Humberto del Castillo Montes de Oca 
Carlos Nieto Egido 
Jorge García Flores 
Daniel del Potro Gabín 
Gonzalo Fernández Arroyo}} 

En este artículo nos centraremos en analizar el comportamiento de un fluido incompresible al interponerse en su camino un obstáculo. Dicho óbstaculo puede tratarse de un piedra en río, como la de imagen debajo. En el que se aprecia como cualquier objeto en medio de la circulación de un fluido genera un régimen turbulento, aunque en nuestro caso al darse velocidades bajas no llega a generarse dicho regimen y el fluido como veremos más a adelante sólo bordea al objeto.
[[Archivo:piedras.jpg|400px|miniaturadeimagen|centre|]]
[[Archivo:turbulencia.jpg|600px|thumb|right|]]
== Visualización del recinto==
Inicialmente consideramos una región con forma de corona circular de radio interior dos y radio exterior seis del plano Z=0 ocupada por un fluido.
El obstáculo esta constituido por la circunferencia interior.
Para visualizar el campo vectorial creamos un mallado plano que ocupe la región de estudio del fluido, que sería, en los ejes cartesianos [-5,5]x[-5,5].
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|thumb|right|Región ocupada por el fluido]]
{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%dibujo del mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2) %para verlo en 2D
}}

==Campo de velocidad del fluido==
Ahora veremos como ese fluido se mueve en nuestro mallado, para ello veremos la variación de la velocidad de las partículas del fluido.
Esta velocidad viene dada por el gradiente de la función potencial: \[\varphi=2cos\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\] , la cual nos indica la dirección más probable que toma el fluido.
 \[\vec{u}=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\vec{g^\rho}+\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\vec{g^\theta}+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}\]
\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{g^z}=0\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g^\rho}-2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho})\vec{g^\theta}\]
\[\vec{g^\rho}=\vec{g_\rho}; \vec{g^\theta}=\frac{1}{\rho^2}\vec{g_\theta}\]
\[\vec{u}=2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_\rho}-2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})\vec{g_\theta}\]

===Representación gráfica===
El programa para representar la función potencial del fluído:

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]{{matlab|codigo=
%Declaramos el paso y las variables
h=0.1;
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Representación de la función
surf(X,Y,f)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

El programa para representar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido:

[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]{{matlab|codigo=
%Declarar paso y variables
h=0.3; %tomamos un paso diferente para que los vectores se vean más claramente
rho=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;

%Generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(rho,th);

X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y); %componente en i
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X); %componente en j

%Representación de las curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'LineWidth',1.5) %utilizamos un grosor mayor para poder luego hacer
axis([-5,5,-5,5]) %una observación más precisa
axis equal
view(2)
hold on

%Representación del campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Como podemos observar en el gráfico las lineas de nivel de la función potencial son ortogonales a los vectores, velocidad del fluido,<math>\vec{u}</math>. Al existir un campo vectorial que es igual al gradiente de un campo escalar, ese campo vectorial es un campo conservativo. Como veremos más adelante la circulación es nula.
[[Archivo:Zoom.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

===Conclusiones===
Si '''\(\vec{n}\)''' es el vector normal a los puntos del obstáculo, <math>\vec{u}</math>•\(\vec{n}\)=0, lo que significa que \(\vec{n}\) es ortogonal a <math>\vec{u}</math>:
<math>\begin{pmatrix}2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1\end{pmatrix}=0</math>
Interpretamos esto, como que las partículas del fluido, se mueven en los ejes X e Y. significa que son la velocidad de las partículas del fluido son perpendiculares <math>\vec{n}</math>.

Además nótese que la velocidad depende tanto de si esta cerca del óbstaculo(<math>\rho=2</math> como de si la partícula en concreto esta muy alejada del objeto. Por lo que para <math>\rho=\infty</math>, el campo de velocidades quedaria así:

<math>\displaystyle\lim_{\rho \to {\infty}}{\displaystyle(2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2})cos\theta+2sin\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}\rho sin\theta))\vec{i}+(2cos\theta sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})-2sin\theta\rho cos\theta(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3}))\vec{j}}=(2(cos^2\theta)+2(sin^2\theta))\vec{i}</math>

==Estudio de la incompresibilidad del fluido==

===Rotacional===
En el cálculo vectorial, el rotacional es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
<math>\nabla \times\bar { u } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { u }_{ \rho } & { u }_{ \theta } & { u }_{ z } \end{vmatrix}=\frac { 1 }{ \rho } (\bar { { g }_{ \rho } } (\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \theta } -\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial z } )+\bar { { g }_{ \theta } } (\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial z } -\frac { \partial { u }_{ z } }{ \partial \rho } )+\bar { { g }_{ z } } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } ))=\frac { 1 }{ \rho } (\frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } -\frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } )\bar { { g }_{ z } }</math> 

<math>{ u }_{ z }=0</math> 

<math>{ u }_{ \theta }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \theta } =-2(\rho +\frac { 4 }{ \rho } )sen(\theta )\qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \theta } }{ \partial \rho } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>{ u }_{ \rho }=\frac { \partial \varphi }{ \partial \rho } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ) \qquad \qquad \frac { \partial { u }_{ \rho } }{ \partial \theta } =-2sen(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )</math> 

<math>\boxed { \nabla \times (\bar { u } )=0 } </math>

===Divergencia===

La divergencia es la tasa de flujo neto hacia el exterior por unidad de volumen. Es decir, es lo que se expande el fluido 
Para comprobar que un fluido sea incompresible, debemos estudiar que la divergencia sea nula.
Calculando para nuestra situación estudiada::

<math>div(\bar { u } )=\frac { 1 }{ \sqrt { g } } (\frac { \partial }{ \partial { x }^{ i } } (\sqrt { g } { u }^{ i }))=\frac { 1 }{ \rho } \left( \frac { \partial (\rho (2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))) }{ \partial \rho } +\frac { \partial (\rho (-2\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) sen\theta ) }{ \partial \theta } \right) </math> :

<math>\frac { 1 }{ \rho } (2(cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } )-2cos(\theta )(1+\frac { 4 }{ { \rho }^{ 2 } } ))=0</math> :
<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math> 

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

===Puntos de la frontera===

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
[[Archivo:CorrientePotencial.jpg|miniaturadeimagen]]
===Líneas de Corriente===
Las '''líneas de corriente''' del campo \(\vec{u}\) son tangentes a la velocidad, entendida como el gradiente de la función potencial '''φ'''.
Para poder dibujar las líneas de corriente procedemos al cálculo de un vector perpendicular a \(\vec{u}\), el vector <math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}</math>

<math>\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}= \sqrt { g }\begin{vmatrix} \bar { { g }^{ \rho } } & \bar { { g }^{ \theta } } & \bar { { g }^{ z } } \\ 0 & 0 & 1 \\ { u }^{ \rho } & { u }^{ \theta } & { u }^{ z } \end{vmatrix}= ρ (\vec{u^ρ} \vec{g^θ} - \vec{u^θ} \vec{g^ρ})</math>

<math>\boxed{\vec{v}={2(\frac{1}{ρ}-\frac{4}{ρ^3})cosθ \vec{g_θ} + 2(1 + \frac{4}{ρ^2}) sen θ \vec{g_ρ}}}</math>

<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\sqrt { g }}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ { v }_{ \rho } & { v }_{ \theta } & { v }_{ z } \end{vmatrix}=\frac{2}{ρ}\begin{vmatrix} \bar { { g }_{ \rho } } & \bar { { g }_{ \theta } } & \bar { { g }_{ z } } \\ \frac { \partial }{ \partial \rho } & \frac { \partial }{ \partial \theta } & \frac { \partial }{ \partial z } \\ (1+\frac{4}{ρ^2}) senθ & ρ(1-\frac{4}{ρ^2}) cosθ & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{ρ}((2+\frac{8}{ρ^2})cosθ- (2+\frac{8}{ρ^2})cosθ)\vec{g_z}= \frac{2}{ρ}((1+\frac{4}{ρ^2}) - (1+\frac{4}{ρ^2}))cosθ\vec{g_z} = 0</math> 

<math>\boxed{ { \bar { rot } (\bar { v } )=\nabla\times\vec{v}=0 } }</math>

Además \(\vec{v}\) tendrá un '''potencial escalar ψ''' que se conoce como la función de corriente de \(\vec{u}\). Dicho potencial lo calcularemos gracias al campo \(\vec{v}\) pues es el gradiente de dicho potencial.

<math>\vec{v}=\vec{grad}ψ= \frac{∂ψ}{∂ρ}\vec{g^ρ} + \frac{∂ψ}{∂θ}\vec{g^θ} + \frac{∂ψ}{∂z}\vec{g^z} = 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ \vec{g^ρ} + 2ρ(1 - \frac{4}{ρ^2})cosθ \vec{g^θ}</math>

<math>\frac{∂ψ}{∂ρ}= 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ → ψ=\int 2(1 + \frac{4}{ρ^2})senθ dρ= 2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ + h(θ) \\ \frac{∂ψ}{∂θ}=2ρ(1-\frac{4}{ρ^2})cosθ=2(ρ-\frac{4}{ρ})cosθ+h'(θ) → h'(θ) = 0 → h(θ) = cte </math> 

<math> \boxed{ψ=2(ρ-\frac{4}{ρ})senθ}</math>.

Dibujamos las líneas de corriente y el campo de velocidades \(\vec{u}\)

[[Archivo:Corrientevelo.jpg|500x500px|thumb|derecha|Campo de velocidad y Líneas De Corriente ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;
%Generar retícula

[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Dibujar campo de velocidades
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

Finalmente, representamos las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Se puede comprobar que son ortogonales.

[[Archivo:LineasCE.jpg|500px|thumb|derecha|lineas de corriente y equipotenciales ]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declara paso y variables
h = 0.3;
ro = 2:h:2*pi+h;
tg= 0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V] = meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función de corriente
f = 2*(U-(4./U)).*sin(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar lineas de corriente
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.3)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
hold on

%Declara paso y variables
h=0.3;
ro=2:h:6;
tg=0:h:2*pi+h;

%Generar retícula
[U,V]=meshgrid(ro,tg);

%Cambio de polares a cartesianas
X = U.*cos(V);
Y = U.*sin(V);

%Función potencial
f=2*(U+(4./U)).*cos(V);

%Funciones
fx=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*X)+((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*Y);
fy=((2*(1./U-4./U.^3).*cos(V)).*Y)-((2*(1./U+4./U.^3).*sin(V)).*X);

%Dibujar curvas de nivel
contour(X,Y,f,50,'Linewidth',1.6)
axis([-5,5,-5,5])
axis equal
view(2)
}}

==Distribución de Presiones en el fluido==
===La ecuación de Bernouilli===
Esta ecuación describe la distribución de presiones en el fluido. \[\frac{1}{2}d\left | \vec{u} \right |^2+p=15\]

Siendo:
d: densidad del fluido incomprensible
<math>\vec{u}</math>: campo vectorial de velocidades del fluido
p: presión estática a la que esta sometido el fluido debido a sus moléculas

Para poder aplicar esta ecuación debemos suponer que:
:1.el fluido(gas o liquido) se mueve en un régimen permanente, es decir, <math> \frac{\partial}{\partial t}=0 </math>
:2.se desprecia la viscosidad (<math>\mu=0</math>)

La ecuación nos indica que a medida que se aumenta la velocidad del flujo, la presión estática en el fluido disminuye. Aplicamos esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión: \[|\vec{u}|^2+p=15\]
\[|\vec{u}|^2=4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

\[p=15-4(cos\theta)^2(1-\frac{4}{\rho^2})^2+4(sin\theta)^2(\frac{1}{\rho}+\frac{4}{\rho^3})^2\]

===Representación gráfica===
[[Archivo:Presiones2D.jpg|800px|miniaturadeimagen|derecha|Representación en 2D del comportamiento de las presiones]]

{{matlab|codigo=
clear
%Declarar paso y variables
h=0.1;
ro=2:h:6;
th=0:h:2*pi+h;
%generamos la retícula
[U,V]=meshgrid(ro,th);

%hacemos un cambio de coordenadas Polares-Cartesianas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%la presion viene dada por la función
p=15-(4*cos(V).^2.*(1-4./U.^2).^2+4*sin(V).^2.*(1./U+4./U.^3).^2)

%dibujamos la superficie de presiones en el fluido
figure(1)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(2)
figure(2)
surf(X,Y,p)
axis[-5,5,-5,5]
axis equal
view(3)

Pmax=max(max(p));%presión máxima
Pmin=min(min(p));%presión mínima

%la velocidad será mínima cuando la presión sea máxima y viceversa
}}
[[Archivo:Presiones(3D).jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación en 3D del comportamiento de las presiones]]
En cuanto a las '''Presiones Maximas y Mínimas''' son 15 y 11.006 respectivamente, según nuestro código.

===Interpretación de una linea de corriente cercana al objeto===
Como podemos observar en las imágenes, a medida nos acercamos al objeto, aumenta la presión y disminuye la velocidad del líquido.
Incrementando dicha velocidad paulatinamente a medida que el objeto es rodeado, lo cual indica que la presión es inversamente proporcional a la velocidad.
Observamos gráficamente lo explicado:
[[Archivo:presionesvelocidades.jpg|1000px|thumb|centre|comparación de las velocidades y las presiones del fluido]]

===Presiones medias===
Para ello aproximaremos la integral de la presión en todo el fluido y dividirlo por el área total en el anillo 2 < <math>\rho</math> < 6.
:Para el cálculo de estas presiones medias podemos utilizar la aproximación trapezoidal:

{{matlab|codigo=
clear
%lo primero que haremos sera definir el mallado y para ello necesito
%definir las variables

h=0.01;
ro=2:h:6-h;
th=0:h:2*pi-h;

%el mallado

[U,V]=meshgrid(ro,th);

%haremos un cambio de coordenadas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
p=15-(4*(cos(V).^2).*((1-4./U.^2).^2)+4*(sin(V).^2).*((1./U+4./U.^3).^2));

%realizamos una integral aproximada
P=U.*p;

%resolución de la integral
volumen=h^2.*P;
resultado=sum(sum(volumen));
%area del anillo
area=pi*(6^2-2^2);
Pmedia=resultado/area;
}}
el resultado de la <math>\textbf{Presión media=13.574}</math> que al fin y al cabo no es mas que obrservar la representación gráfica de la distribución de presiones.

==La Paradoja de D'Alambert==

Se trata de una contradicción a la que llegó D'Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de fluido (líquido o gas) circula sobre él.
D'Alembert aplicó la teoría de flujo potencial para modelar el fenómeno, y concluyó que la fuerza resultante sobre el cuerpo sobre el cual fluye el aire es cero, lo cual se contradice con la observación.
Para saber que esa fuerza es nula aplicamos el Teorema de Kutta-Joukowski que sabiendo que la circulación de <math>\overrightarrow {u} </math> es nula y que es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo. Por lo tanto, vamos a demostrar que la circulación de <math> \overrightarrow {u} </math> es nula.

Para ello utilizamos el Teorema de Stokes el cual nos dice que: \[\int \vec{u}\vec{t}ds=\int_{S}(\nabla\times \vec{u})\vec{\partial S}\] 

\[\nabla\times \vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{g_\rho} & \vec{g_\theta} & \vec{g_z}\\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2cos\theta(1-\frac{4}{\rho^2}) & -2sin\theta(\rho+\frac{4}{\rho}) & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}(-2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z}+2sin\theta(1-\frac{4}{\rho^2})\vec{g_z})=0\]

Pero como, al fin y al cabo, el objeto si que se mueve si un fluido lo rodea, tendríamos que considerar la fuerza de la viscosidad, es decir, en un fluido perfecto e incompresible como el que tenemos la fuerza de rozamiento debido a la viscosidad es nula. Por ello si tomamos el fluido como un fluido mas sofisticado (<math>\mu>0</math>), esa fuerza sera diferente de 0.

== Ecuación de '''Navier-Stokes''' ==

Las '''ecuaciones de Navier-Stokes''' reciben su nombre de Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido.

\(\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} \)

=== Comprobación de la ecuación ===

A continuación, probamos que nuestro campo de presiones y velocidades satisfacen la ecuación y la condición de incompresibilidad (el agua ocupa siempre el mismo volumen).
Para ello usaremos la ecuación de Bernouilli (<math>\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p=cte</math>), haremos su gradiente y demostraremos que en efecto se cumple la ecuación:

<math>d(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p =\mu \nabla\vec{u}</math>, para <math>\mu=0</math>

Además se demuestra que la función gradiente es lineal, lo que significa que <math>\nabla(\vec{u}+p)=\nabla\vec{u}+\nabla p</math> y que <math>\frac{1}{2}\nabla(d \cdot |\vec{u}|^2)=\frac{1}{2}(\nabla d \cdot |\vec{u}|^2 + d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2))=\frac{1}{2}d \cdot \nabla(|\vec{u}|^2)=\frac{1}{2} d 2 \vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

 Ahora <math>\nabla(|\vec{u}|^2)=2\nabla\vec{u}\cdot\vec{u}=2(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}</math> .

<math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>, el término <math>\frac{1}{2}</math> sale fuera de la ecuación por tratarse de una constante, además <math>\nabla(cte)=0</math>.

 sabiendo todo esto, <math>\nabla(\frac{1}{2}d|\vec{u}|^2+p)=\nabla(cte)</math>; 
 <math>\frac{1}{2}d(\nabla(|\vec{u}|^2)+\nabla p=0</math>. 
 <math>d\cdot(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u}+\nabla p=0</math> 
por lo que quedaria totalmente demostrado.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2015-12-02T15:31:24Z

Jorge García Flores:

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.
==Puntos de la frontera==

Vamos a analizar los puntos de la frontera en los valores 2 y 6. Para ello primero sustituiremos los valores de <math>( \rho =2,\quad \rho =6 )</math> en el campo <math>\overline { u }</math> y después derivamos el campo <math>\overline { u }</math> y sacamos los puntos en los que se anula la derivada de <math>\overline { u }</math> para obtener los puntos en los que encontraremos máximos y mínimos. Para saber si los puntos son máximos o mínimos lo evaluaremos en la función, no en la derivada.

Campo <math>\bar { u }</math>::
<math>\overline { u } =2cos(\theta )(1-\frac { 4 }{ \rho ^{ 2 } } ){ \overline { g } }_{ \rho }-2sen(\theta )\left( \frac { { \rho }^{ 2 }+4 }{ { \rho }^{ 3 } } \right) { \overline { g } }_{ \theta }</math> 

Para <math>\rho =2</math> 
<math>\bar { u } =-2sen(\theta )</math> 
<math>{ \bar { u } }'=-2cos(\theta )=0 </math> 

Igualando a 0 obtenemos los valores 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Evaluando en u sabemos que es un Mínimo 
Análogamente se haría lo mismo en los otros valores de <math>\theta</math> para saber si son máximos o mínimos 
<math>\theta =3\frac { \pi }{ 2 } </math> Máximo 

Para el valor <math>\underline { \rho =6 }:</math> 
<math>\bar { u } ={ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }^{ 2 }-{ \left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }^{ 2 }</math> 

<math>{ \bar { u } }'=2{ \left( \frac { 16 }{ 9 } cos\theta \right) }{ \left( \frac { -16 }{ 9 } sen\theta \right) }-{ 2\left( \frac { 10 }{ 2z } sen\theta \right) }{ \left( \frac { 10 }{ 2z } cos\theta \right) }=0</math> 

Al igualar a 0 obtenemos los siguientes valores: 
<math>\theta =0 </math> maximo 
<math>\theta =\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = 3\frac { \pi }{ 2 } </math>Mínimo 
<math>\theta = { \pi } </math>Máximo 

A continuación vamos a obtener numericamente los máximos y los mínimos con MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la función velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos la velocidad maxima.
maximo=max(max(fu))
}}

Vamos a ver los puntos del fluido que tienen módulo de velocidad menor: 
{{matlab|codigo=
%Creamos el mallado.
u=linspace(2,6,100);
v=linspace(0,2*pi,100);
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos la parametrizacion y la funcion velocidad en ro=2.
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
fu=(2.*sin(V));
%Calculamos el minimo valor absoluto de esta.
minimo=min(min(abs(fu)))
}}

[[Archivo:LineasDeCorrienteYCurvasDeNivel.jpg|miniaturadeimagen|derecha]]
[[Archivo:CorrientePotencial|derecha]]
[[Archivo:Abd|sinmarco|izquierda|kdfdn]]
==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenida anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
La partícula, a medida que se aproxima al obstáculo, describe una línea de corriente en la que, según avanza, sigue el contorno del objeto rodeándolo para volver a su dirección original una vez superado.

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Es decir, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad mientras que, a su vez, la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión mientras su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y a la velocidad de éste. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, '''el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo''', en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T13:29:40Z

Jorge García Flores:

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T12:50:12Z

Jorge García Flores: /* Rotacional y Divergencia */

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T12:30:46Z

Jorge García Flores: /* Divergencia */

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T12:25:57Z

Jorge García Flores: /* Rotacional */

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T12:25:02Z

Jorge García Flores:

Comportamiento de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo circular

2015-12-02T12:20:52Z

Jorge García Flores: