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La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T23:55:23Z

Jlsv: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:ClotoidePoster36.jpg|600px||izquierda||705px| ]]

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T23:49:08Z

Jlsv: /* Póster y enlace. */

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T23:47:51Z

Jlsv: /* Póster y enlace. */

Archivo:ClotoidePoster36.jpg

2025-12-06T23:47:10Z

Jlsv:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:56:57Z

Jlsv: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:Poster36.jpg|600px||izquierda||705px| ]]

Archivo:Poster36.jpg

2025-12-06T20:56:01Z

Jlsv:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:44:23Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:40:34Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:39:46Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:34:03Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f

<math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:33:07Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center>
<math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:31:55Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>
<center>
Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center>
<math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:31:23Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>
<center>
Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f

<math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:30:26Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center>
<math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:29:07Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>

para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:26:11Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior está descrita por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:24:15Z

Jlsv: /* Estructuras Civiles y la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

Archivo:Kescalera.png

2025-12-06T20:22:37Z

Jlsv:

Archivo:Kbabel.jpg

2025-12-06T20:20:21Z

Jlsv:

Archivo:Babel.JPG

2025-12-06T20:18:39Z

Jlsv:

Archivo:Escalera.jpg

2025-12-06T20:17:58Z

Jlsv:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:16:48Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:05:20Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:04:21Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
 
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:03:07Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]
 
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:01:41Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]
 
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:01:18Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]
 
<center> <math>
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:00:40Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]
 
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T20:00:09Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]
 
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:57:44Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:56:42Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:56:21Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math><center>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:56:06Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> <center>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:55:38Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:55:07Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:51:24Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:helice.jpg|505px|right|'''Figura 6. Helice cónica''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

Archivo:Helice.jpg

2025-12-06T19:50:19Z

Jlsv:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:48:37Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:lice.jpg|505px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

Archivo:Helice.JPG

2025-12-06T19:46:36Z

Jlsv:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:45:19Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Helice.jpg|505px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:43:33Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:35:06Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T19:32:03Z

Jlsv: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
n este apartado se va a dibujar la superficie reglada asociada a la parametrización de una curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director eρ. Esta superficie se conoce habitualmente como helicoide cónico
 
*La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>

Porque el vector director eρ en cartesianas es <math> cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j </math> y ρ controla la magnitud de los segmentos en la dirección de eρ.

[[File:Graficaej9.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''Dibujo de la superficie''' ]]

{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('winter');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada de la Hélice Cónica');
grid on;
}}

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-05T15:40:57Z

Jlsv: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T14:04:20Z

Jlsv: /* Estructuras Civiles y la clotoide. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T14:04:07Z

Jlsv: /* Estructuras Civiles y la clotoide. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD''| ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T14:03:46Z

Jlsv: /* Estructuras Civiles y la clotoide. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px||''Diseño en CAD''| ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T14:02:58Z

Jlsv: /* Estructuras Civiles y la clotoide. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px||Diseño en CAD| ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T14:01:26Z

Jlsv: /* Ejemplos en Ingeniería Civil. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-04T13:59:53Z

Jlsv: /* Ejemplos en Ingeniería Civil. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Ejemplos en Ingeniería Civil.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}