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Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:58:46Z

Jl21: /* Método de Fourier */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
Se va a resolver a continuación el problema para k=1. Las gráficas para el resto de valores de k requeridos, se obtendrán cambiando ese término en el programa.
Los valores de k requeridos son, además de k=1, k=3.5,k=10 y k=20.
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} \qquad du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx \qquad v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Se puede observar de la ecuación actual que la constante de amortiguamiento que produce el medio ira reduciendo el movimiento hasta finalmente su detención. 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> .En el caso de que se obtuviera una gráfica comparativa de las diferentes constantes de amortiguamiento se podría observar con claridad que a medida que la constante va aumentando, el movimiento se va reduciendo hasta finalmente detenerse.:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
En este caso suponemos que el extremo derecho del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math>. El cable parte del reposo y estudiamos su comportamiento para <math>t∈[0,60]</math>
El sistema que tenemos que estudiar en este caso será:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
Tomaremos los siguientes valores para <math>F_0</math>: 
<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}-0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}</math> 
<math>L=10</math>

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, y con las condiciones de frontera modificadas calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,40]\\
u(0,t)=0\\
u_x(10,t)=bu(x,t)\\
u(x,0)=\begin{cases} \frac {2x}{5} & \text{ si } 0<x<5 \\ \frac {2(10-x)}{5} & \text{ si 5<x<10 } \end{cases}\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:46:15Z

Jl21: /* Cable sumergido en medio viscoso */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} \qquad du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx \qquad v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Se puede observar de la ecuación actual que la constante de amortiguamiento que produce el medio ira reduciendo el movimiento hasta finalmente su detención. 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> .En el caso de que se obtuviera una gráfica comparativa de las diferentes constantes de amortiguamiento se podría observar con claridad que a medida que la constante va aumentando, el movimiento se va reduciendo hasta finalmente detenerse.:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}+au_{t}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
En este caso suponemos que el extremo derecho del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math>. El cable parte del reposo y estudiamos su comportamiento para <math>t∈[0,60]</math>
El sistema que tenemos que estudiar en este caso será:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
Tomaremos los siguientes valores para <math>F_0</math>: 
<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}-0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}</math> 
<math>L=10</math>

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,40]\\
u(0,t)=0\\
u_x(10,t)=bu(x,t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:40:05Z

Jl21: /* Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} \qquad du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx \qquad v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Se puede observar de la ecuación actual que la constante de amortiguamiento que produce el medio ira reduciendo el movimiento hasta finalmente su detención. 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> .En el caso de que se obtuviera una gráfica comparativa de las diferentes constantes de amortiguamiento se podría observar con claridad que a medida que la constante va aumentando, el movimiento se va reduciendo hasta finalmente detenerse.

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
En este caso suponemos que el extremo derecho del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math>. El cable parte del reposo y estudiamos su comportamiento para <math>t∈[0,60]</math>
El sistema que tenemos que estudiar en este caso será:
<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
Tomaremos los siguientes valores para <math>F_0</math>: 
<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}-0.01</math> 
<math>F_0=\frac{1}{L}</math> 
<math>L=10</math>

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:22:06Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} \qquad du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx \qquad v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:20:45Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} \; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx \; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:18:33Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
'''Al ejecutar el programa expuesto inmediatamente encima, se produce un error en el comando "trapz" de la línea 73, el cual no hemos sabido subsanar, por lo que la gráfica resultado de la aplicación numérica del método de la energía no se la podemos ofrecer. En cualquier caso, a pesar de este inconveniente, podemos indicar que la energía es cero, tal como se demuestra a continuación de forma analítica'''

$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:10:53Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
$\underline{Resolución\; analítica}$: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:06:58Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
\underline{Resolución analítica}: 

Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T21:05:21Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)=0

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+[trapz(x,ux.^2)];

figure(5)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:56:03Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>E(0)=0 </math> => <math>E(t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Por tanto, la energía se mantiene constante siempre, aunque el paso de discretización cambie.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:51:11Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>E(t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>u(x,0)=0 </math> => <math>u(x,t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Como vemos, el valor de la energía para que se cumpla que <math>u(x,t)=0 </math>, es que la energía también lo sea. Esta energía tiende a mantenerse; aún así va a ir decreciendo su valor debido a condiciones adversas.
Sí el paso de discretización se reduce a la mitad, haremos un estudio mucho más profundo de la vibración de la onda y podremos apreciar su descenso a 0 , de una forma mucho más precisa.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:43:48Z

Jl21: /* Comparación de Métodos */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
W=W+dt*V+F;
V=V-dt*K*W+F;
U(n+1,:)=[0,W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

[[Archivo:eulerexp.png|50px|marco|centro|Método del Euler Explicito .]]
=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

% Ecuación de ondas con Euler modificado

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

clear all

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=0*xint;

U(1,:)=[0,u0,0];
W=[u0]';
V=[v0]';

for n=1:length(t)-1
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
W=W+(dt/2)*(k1(1,:)'+k2(1,:)')+F;
a=K*W;
k1=[V a]';
k2=[V a]';
V=V-(dt/2)*(k1(2,:)'+k2(2,:)')+F;
U(n+1,:)=[0, W',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

}}

[[Archivo:eulermod.png|50px|marco|centro|Método del Euler Modificado .]]

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

En la comparativa de los diferentes métodos para la obtención de solución por diferencias finitas, a partir de las gráficas, podremos valorar: 

• El método de Fourier lo consideraremos poco estable, ya que sólo va a ser fiable cuando consideremos un cuantioso número de términos. Vemos claramente en las gráficas como a partir de 10 términos , es cuando la gráfica se asemeja a los otros métodos. 

• En cuanto a los otros 3 métodos, el menos preciso es el método de Euler; que crea un término a partir del valor del siguiente ( <math>U_{n}</math> a partir de <math>U_{n+1}</math>). 

• Por la poca estabilidad de este método se introdujo el Euler modificado , también llamado Runge Kutta 2; que como su nombre indica va a tener orden 2 y va a ser fiable. 

• Por último , el método del trapecio, es un método implícito de orden 2, que va a ser el que más se aproxime a la solución que buscamos. ( mejor estabilidad que los otros dos métodos).
 

Conclusión : El mejor método será el de Fourier siempre que podamos tomar un gran número de términos, sino, el del trapecio será el de mayor estabilidad.

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>u(x,t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>u(x,0)=0 </math> => <math>u(x,t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math> 

Como vemos, el valor de la energía para que se cumpla que u(x,t)=0 , es que la energía también lo sea. Esta energía tiende a mantenerse; aún así va a ir decreciendo su valor debido a condiciones adversas.
Sí el paso de discretización se reduce a la mitad, haremos un estudio mucho más profundo de la vibración de la onda y podremos apreciar su descenso a 0 , de una forma mucho más precisa.

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:35:12Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

=== Comparación de Métodos===

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>u(x,t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : 
<math>u(x,0)=0 </math> => <math>u(x,t)=0</math> para todo <math> x </math> en [0,10] y <math> t\geq 0</math>

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:32:47Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Comparación de Métodos===

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>u(x,t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t\geq 0 </math> 
Y como : <math>u(x,0)=0 </math>=><math>u(x,t)=0</math> para todo<math> x </math>en [0,10] y <math> t\geq 0</math>

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:30:46Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Comparación de Métodos===

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>u(x,t)=cte</math> cualquiera que sea <math>t>=0 </math> 
Y como : <math>u(x,0)=0 </math> \:<math>u(x,t)=0</math> para todo<math> x </math>en [0,10] y <math> t>=0</math>

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:29:12Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Comparación de Métodos===

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

Entonces <math>u(x,t)=cte, cualquiera que sea t>=0 </math> 
Y como : <math>u(x,0)=0 </math> \Longrightarrow <math>u(x,t)=0 para todo x en [0,10] y t>=0</math>

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T20:21:37Z

Jl21: /* Energía del cable */

{{ TrabajoED | Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

== Modelización de problema==
El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma:
<math>
\rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t>0;
</math>
 
 
<math>\rho=\rho(x,t)</math> = densidad lineal de la cuerda. 
<math>Z=Z(x,t)</math> = tracción o tensión. 
<math>c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}</math> = celeridad. 
 
Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida::
<math>
u(0,t)=g_{1}(t)\\
u(L,t)=g_{2}(t)
</math>
 
 
<math>g_{1}(t)</math> y <math>g_{2}(t)</math> = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda. 
 
A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos::
<math>
u(x,0)=A(x)\\
u_{t}(x,0)=B(t)\\
</math>
 
 
<math>A(x)</math> = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial <math>x=x_{0}</math>. 
<math>B(t)</math> = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento<math>t=t_{0}</math>. 
 
En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud <math>L = 10m</math> sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma: 
[[Archivo:cuerdayo.jpg|50px|marco|centro|Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.]]
Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t>0\\
\begin{cases}
u(0,t)=0\\
u(10,t)=0\\
\end{cases}\\
\begin{cases}
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
\end{cases}\\
</math>
 
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos: 
<math>EDP</math>: Cuerda homogénea de densidad lineal <math>\rho=1</math> y tracción <math>Z=1</math>, por tanto tenemos también una celeridad de <math>c=1</math>, no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que <math>f(x,t)=0</math> y la cuerda ocupa un intervalo de <math>[0,10]m</math>. 
<math>CC</math>: Ambos extremos al estar empotrados están a cota <math>x=0</math>. 
<math>CI</math>: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, <math>u(x,0)=0</math> así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, <math>u_{t}(x,0)=0</math>.

== Desplazamiento vertical del cable==
=== Método del Trapecio===
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}
[[Archivo:trapeciomate.png|50px|marco|centro|Método del Trapecio .]]

=== Método de Euler Explícito ===
Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:
{{matlab|codigo=

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Método de Euler Modificado===
De la misma forma se realizará para el Euler modificado:
{{matlab|codigo=

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)
}}

=== Comparación de Métodos===

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

=== Método de Fourier===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=1;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=zeros(length(t),N+1);

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/L)*x);
c=trapz(x,(u0.*p))/trapz(x,p.*p);
fp=c.*cos(i*pi*t/L);
sol=sol+[fp]'*p;
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(4)
surf(xx,tt,sol)

}}
[[Archivo:1termino.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 1 término.]]

[[Archivo:3terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 3 términos.]]

[[Archivo:5terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 5 términos.]]

[[Archivo:10terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 10 términos.]]

[[Archivo:20terminos.png|50px|marco|centro|Método de Fourier con 20 términos.]]

== Energía del cable==
El método de las energías , también llamado de los multiplicadores ; se utiliza en este tipo de funciones para asegurar la unicidad de solución. Ésto , se demuestra partiendo de que el problema homogéneo asociado sólo admita la solución trivial, es decir, la nula; lo cual demostraremos , primero numéricamente y analíticamente a posteriori. La fórmula de la energía del cable::
<math>E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math>
Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

{{matlab|codigo=
% Calculamos la energía
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);

for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)
}}
Resolución analítica:
Tenemos que la energía total es igual a la suma de las energías potencial y cinética. 

<math>E(t)=E_{c}(t)+E_{p}(t)</math> 
<math>E(t)=\int^{10}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx</math> 

<math>E'(t)=\int^{10}_{0} (2u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2(u_{x}(x,t)u_{xt}(x,t)) dx</math> 
Resolución de la integración por partes: 

<math>
\begin{cases}
u=u_{x} ; du=u_{xx}dx\\
dv=u_{xt}dx ; v=u_{t}\\
\end{cases}\\
</math> 

<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(x,t)u_{t}(x,t)|^{10}_{0}-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
<math>E'(t)=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+2[u_{x}(10,t)u_{t}(10,t)-u_{x}(0,t)u_{t}(0,t)-\int^{10}_{0}u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]</math> 
Del enunciado del problema se tiene::
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(0,t+h)-u(0,t)}{h}}=0</math> :
<math>u_{t}=\lim_{x \to{0}}{\frac{u(10,t+h)-u(10,t)}{h}}=0</math> 
 

Resultando: 

 

<math>E'(t)=2[\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)u_{tt}(x,t)+u_{t}(x,t)u_{xx}(x,t) dx]=2\int^{10}_{0} u_{t}(x,t)\underbrace{[u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)]}_{0}dx=0</math>
 
Lo que nos indica que <math>E(t)=cte </math>

<math>E(t)=E(0)=\int^{10}_{0} \underbrace{[u_{t}^2(x,t)+u_{x}^2(x,t)]}_{0}dx</math> 

=== Cable sumergido en medio viscoso===
Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento::
<math> u_{tt}-u_{xx}+au_t=0</math>
 
<math>a</math> = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio. 
 
Nosotros trabajaremos entonces para <math>a=0,1,4,10,100</math> obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

=== Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo ===
Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia <math>F_0</math> bajo la función <math>f(t)=sin(2*pi*F_0*t)</math>. Para lo que consideraremos<math>F_0=\frac{1}{L}+0.01</math>, que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo <math>t∈[0,60]</math>. 
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

<math>
\begin{cases}
u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\
u(0,t)=0\\
u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\
u(x,0)=0\\
u_{t}(x,0)=0\\
\end{cases}\\
</math>

{{matlab|codigo=
% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end

% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

% Calculamos la energía
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux'];
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)
}}

=== Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe===

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe <math>u_x(L,t)=bu(L,t)</math>. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para <math>b=2</math> y <math>b=-2</math>

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T19:51:16Z

Jl21: /* Energía del cable */

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T19:35:21Z

Jl21: /* Energía del cable */

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T19:09:05Z

Jl21: /* Energía del cable */

Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-19T19:08:44Z

Jl21: /* Energía del cable */

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-16T13:59:39Z

Jl21:

{{beta}}
{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}
== Apartado 2==
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)=0
% u_t(x,0)=v0(x)=0

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Posición inicial
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-16T13:59:17Z

Jl21:

{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}
== Apartado 2==
Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar.
Aproximar <math>u(x; t)</math> por el método de diferencias finitas con <math>Δx = 0.1</math>, y usar el método del trapecio tomando <math>Δx = Δt</math>.
Dibujar la solución en tiempo <math>t ɛ [0,40]</math>

{{matlab|codigo=
% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)=0
% u_t(x,0)=v0(x)=0

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Posición inicial
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end

% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)
}}

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-14T18:09:45Z

Jl21: /* Apartado 2 */

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-14T18:08:38Z

Jl21:

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-14T17:53:30Z

Jl21:

Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

2014-05-14T17:50:56Z

Jl21: Página creada con «{{ TrabajoED | Ecuación de ondas. Cable de una estructura civil. Grupo 16 | Ecuaciones Diferenciales|:Categoría:ED13/14|Curso 2...»

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:59:33Z

Jl21: /* Gráficas */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.
====Gráfica para 300 años====
[[Archivo:Eulm11.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm22.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm33.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm44.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.4;
B1=0.37;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.07;
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm0=max(Y(1,:))
d1m0=max(Y(2,:))
d2m0=max(Y(3,:))

pi0=min(Y(1,:))
d1i0=min(Y(2,:))
d2i0=min(Y(3,:))

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end

figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r')
plot(t,Z(2,:),'b')
plot(t,Z(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(Z(1,:))
d1m=max(Z(2,:))
d2m=max(Z(3,:))

pi=min(Z(1,:))
d1i=min(Z(2,:))
d2i=min(Z(3,:))
}}

===Gráficas===
[[Archivo:Rk411.jpg|468px]] 

Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo 

[[Archivo:Rk422.jpg|468px]] 

Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:59:09Z

Jl21: /* Gráficas */

Archivo:Rk422.jpg

2014-03-05T16:57:36Z

Jl21:

Archivo:Rk411.jpg

2014-03-05T16:57:23Z

Jl21:

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:51:53Z

Jl21: /* Código */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.
====Gráfica para 300 años====
[[Archivo:Eulm11.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm22.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm33.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm44.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.4;
B1=0.37;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.07;
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm0=max(Y(1,:))
d1m0=max(Y(2,:))
d2m0=max(Y(3,:))

pi0=min(Y(1,:))
d1i0=min(Y(2,:))
d2i0=min(Y(3,:))

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end

figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r')
plot(t,Z(2,:),'b')
plot(t,Z(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(Z(1,:))
d1m=max(Z(2,:))
d2m=max(Z(3,:))

pi=min(Z(1,:))
d1i=min(Z(2,:))
d2i=min(Z(3,:))
}}

===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:49:43Z

Jl21: /* Código */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.
====Gráfica para 300 años====
[[Archivo:Eulm11.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm22.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm33.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm44.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.4;
B1=0.37;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.07;
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth','1.4')
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth','1.4')
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth','1.4')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm0=max(Y(1,:))
d1m0=max(Y(2,:))
d2m0=max(Y(3,:))

pi0=min(Y(1,:))
d1i0=min(Y(2,:))
d2i0=min(Y(3,:))

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end

figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth','1.4')
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth','1.4')
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth','1.4')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(Z(1,:))
d1m=max(Z(2,:))
d2m=max(Z(3,:))

pi=min(Z(1,:))
d1i=min(Z(2,:))
d2i=min(Z(3,:))
}}

===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:48:28Z

Jl21: /* Código */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.
====Gráfica para 300 años====
[[Archivo:Eulm11.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm22.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm33.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm44.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.4;
B1=0.37;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.07;
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm0=max(Y(1,:))
d1m0=max(Y(2,:))
d2m0=max(Y(3,:))

pi0=min(Y(1,:))
d1i0=min(Y(2,:))
d2i0=min(Y(3,:))

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end

figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r')
plot(t,Z(2,:),'b')
plot(t,Z(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(Y(1,:))
d1m=max(Y(2,:))
d2m=max(Y(3,:))

pi=min(Y(1,:))
d1i=min(Y(2,:))
d2i=min(Y(3,:))% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.4;
B1=0.37;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.07;
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth','1.4')
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth','1.4')
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth','1.4')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm0=max(Y(1,:))
d1m0=max(Y(2,:))
d2m0=max(Y(3,:))

pi0=min(Y(1,:))
d1i0=min(Y(2,:))
d2i0=min(Y(3,:))

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end

figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth','1.4')
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth','1.4')
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth','1.4')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(Z(1,:))
d1m=max(Z(2,:))
d2m=max(Z(3,:))

pi=min(Z(1,:))
d1i=min(Z(2,:))
d2i=min(Z(3,:))
}}

===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:42:46Z

Jl21: /* Gráficas */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.
====Gráfica para 300 años====
[[Archivo:Eulm11.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm22.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm33.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm44.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores 

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4; A2=0.3; A3=0.4;
B1=0.37; B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28; C2=0.07;
%Condiciones iniciales
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end
figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end
figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off
}}
===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Archivo:Eulm44.jpg

2014-03-05T16:41:42Z

Jl21:

Archivo:Eulm33.jpg

2014-03-05T16:41:23Z

Jl21:

Archivo:Eulm22.jpg

2014-03-05T16:41:11Z

Jl21:

Archivo:Eulm11.jpg

2014-03-05T16:40:42Z

Jl21:

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:33:00Z

Jl21: /* Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráfica para 100 años====
[[Archivo:Eulm1.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Eulm2.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 1 

[[Archivo:Eulm3.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y predadores del tipo 2 
[[Archivo:Eulm4.jpg|border|500px]] 

Relación entre los dos tipos de predadores

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4; A2=0.3; A3=0.4;
B1=0.37; B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28; C2=0.07;
%Condiciones iniciales
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end
figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end
figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off
}}
===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Archivo:Eulm4.jpg

2014-03-05T16:30:45Z

Jl21:

Archivo:Eulm3.jpg

2014-03-05T16:30:34Z

Jl21:

Archivo:Eulm2.jpg

2014-03-05T16:30:22Z

Jl21:

Archivo:Eulm1.jpg

2014-03-05T16:30:10Z

Jl21:

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:20:25Z

Jl21: /* Resolución del modelo mediante el método de Euler */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede
====Gráficas correspondientes a <math>h=1 </math>====
[[Archivo:Uneul1.png|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:Uneul2.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:Uneul3.png|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 
===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4; A2=0.3; A3=0.4;
B1=0.37; B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28; C2=0.07;
%Condiciones iniciales
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end
figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end
figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off
}}
===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Archivo:Uneul3.png

2014-03-05T16:18:57Z

Jl21:

Archivo:Uneul2.png

2014-03-05T16:18:43Z

Jl21:

Archivo:Uneul1.png

2014-03-05T16:18:24Z

Jl21:

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:15:25Z

Jl21: /* Gráficas */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a <math>h=0.1 </math>====
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede

===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4; A2=0.3; A3=0.4;
B1=0.37; B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28; C2=0.07;
%Condiciones iniciales
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end
figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end
figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off
}}
===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.

Modelo predador-presa (Grupo 16B)

2014-03-05T16:14:47Z

Jl21: /* Gráficas */

{{beta}}
{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 16 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 
Begoña Bigeriego Alvarez 637 }}

==Interpretación==
Vito Volterra (1860-1940), físico y matemático italiano. Volterra destacó por desarrollar la solución a las ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre.
Alfred James Lotka (1880-1949), químico, demógrafo y matemático norteamericano. Trabajó con la misma ecuación logística que Volterra pero con el fin de describir una reacción química en la cual las concentraciones oscilan.
De esta forma se estableció el modelo conocido hoy como modelo de Lotka-Volterra y que sigue representando la base de los estudios teóricos acerca de la dinámica de poblaciones.

Según nuestro caso, se supone que cantidad de comida no es un aspecto limitante pues es suficiente para la alimentación de las presas y que éstas tienen una tasa de natalidad según Maltus y una mortalidad dependiente de los depredadores:

<math>
X_p'(t) = AX_p(t)
</math>:

<math>
X_p´(t)=-BX_d(t)X_p(t)
</math>

Así tenemos la tasa de crecimiento de la presa con relación a la presa:
<math>
X_p'(t) = AX_p(t)-BX_d(t)X_p(t)
</math>

De la misma forma, los depredadores dependerán del desarrollo y la existencia de las presas, por eso se desarrollarán de la forma:
<math>
F'(t)=-CF(t)+DR(t)F(t)
</math>

En términos de la dinámica de población nos encontramos con que tenemos que analizar la coexistencia entre las siguientes 3 especies:
* <math>x_1</math>: Presa
* <math>x_2</math>: Predador 1
* <math>x_3</math>: Predador 2
:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} x_1}{\mathrm{d} t}=A_1x_1-A_2x_1x_2-A_3x_1x_3, t>0\\\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d} t}=B_1x_2-B_2x_1x_2-Dx_2x_3\\\frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d} t}=-C_1x_3+C_2x_1x_3+Dx_2x_3\\ x_1(0)=p_{0},x_2(0)=d_{0},x_3(0)=e_{0}\end{matrix}\right.

</math>

 
 

<math>A_1 </math>= natalidad de la presa (<math>x_1</math>). 

<math>A_2</math> y <math>A_3</math> = mortalidad de la presa en función de la interacción con los predadores. 

<math>B_1</math> y <math>C_1</math> = tasa de mortalidad de los predadores. 

<math>B_2</math> y <math>C_2</math> = tasa de natalidad de los predadores dependiente de la interacción con la presa. 

<math>D </math> = descenso de población de predadores debido a su interacción. 

<math>x_1</math>crecerá en función de su tasa de natalidad, y decrecerá dependiendo de las muertes ocasionadas por ambos tipos de predadores. 

<math>x_2</math> y <math>x_3</math> por su parte crecerán debido a su natalidad, la cual dependerá de su alimentación (las presas <math>x_1</math>), y decrecerán tanto por su mortalidad natural como por la mortalidad provocada por el otro predador.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler modificado==
Resolvemos numéricamente a continuación mediante Euler Modificado para periodos de 100 y 300 años. Se introducirán las constantes dadas, y las condiciones iniciales, que para nuestro caso son de 3.5 millones de presas, 1 millón de depredadores tipo 1 y 1.2 millones de depredadores tipo 2. Con todo esto se obtienen las gráficas con las que se interpretará el problema.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=100;
A1=0.4;
A2=0.3;
A3=0.35;
B1=0.3;
B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=1.2;
Y0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h,y_n+h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+h*k1(1))-A2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-A3*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3));-B1*(YY(2)+h*k1(2))+B2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(2)+h*k1(2))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3));-C1*(YY(3)+h*k1(3))+C2*(YY(1)+h*k1(1))*(YY(3)+h*k1(3))-D*(YY(2)+h*k1(2))*(YY(3)+h*k1(3))];
YY=YY+(h/2)*(k1+k2);
Y(:,n+1)=YY;
end

figure (1)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r')
plot(t,Y(2,:),'b')
plot(t,Y(3,:),'g')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

figure (2)
plot(Y(1,:),Y(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (3)
plot(Y(1,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')

figure(4)
plot(Y(2,:),Y(3,:))
legend('Trayectoria primer tipo depredadores, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===

Al inicio de la modelización, en el momento en el coexistían las 2 especies de depredadores con la de presas se podía apreciar un período de inestabilidad que lleva a la especie de presas a ver su población reducir de forma muy acelerada. Una vez extinguida la segunda especie de depredadores se necesita poco tiempo para que las dos especies restantes, presa y depredador tipo 1 se estabilicen en el tiempo y puedan convivir sin problema.

Se nota claramente la diferencia para los dos tiempos de retorno calculados, 100 y 300 años. En el primer caso, 100 años no se puede observar una estabilidad afianzada en el tiempo, al contrario que sucede para 300 años, donde vemos que las especies de presas y depredador tipo 1 conviven, en ausencia de la especie de depredadores tipo 2, durante tiempo de forma estabilizada.

==Resolución del modelo mediante el método de Euler==
El metodo de Euler se realiza ahora para h=1 y h=0.1. En este caso, se mantendrán las condiciones iniciales, a excepción de la cantidad de depredadores tipo 2, que pasará a ser de 0.2 millones. A su vez las constantes de coexistencia que afectan a las especies también se verán alteradas. Se comprobará la estabilidad del sistema para un período de 300 años, para lo que se extraerán las gráficas convenientes.
===Código===
{{matlab|codigo=
t0=0;
tf=300;
A1=0.5;
A2=0.25;
A3=0.3;
B1=0.4;
B2=0.07;
D=0.05;
C1=0.38;
C2=0.045;
p0=3.5;
d0=1;
e0=0.2;
X0=[p0 d0 e0]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
X(:,1)=X0;
XX=X0;
% Iteraciones
for n=1:N
XX=XX+h*[A1*XX(1)-A2*XX(1)*XX(2)-A3*XX(1)*XX(3);-B1*XX(2)+B2*XX(1)*XX(2)-D*XX(2)*XX(3);-C1*XX(3)+C2*XX(1)*XX(3)-D*XX(2)*XX(3)];
X(:,1+n)=XX;
end

figure (5)
hold on
plot(t,X(1,:),'r')
plot(t,X(2,:),'b')
plot(t,X(3,:),'k')
legend('Presas', 'Primer tipo depredadores', 'Segundo tipo depredadores')
hold off

pm=max(X(1,:))
d1m=max(X(2,:))
d2m=max(X(3,:))

pi=min(X(1,:))
d1i=min(X(2,:))
d2i=min(X(3,:))

figure (6)
plot(X(1,:),X(2,:))
legend('Trayectoria presas, primer tipo depredadores','Location','best')

figure (7)
plot(X(1,:),X(3,:))
legend('Trayectoria presas, segundo tipo depredadores','Location','best')
}}

===Gráficas===
====Gráficas correspondientes a h=0.1
[[Archivo:RK2111.jpg|border|500px]] 

Evolución de las tres especies a lo largo del tiempo 

[[Archivo:RK222.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 1 

[[Archivo:RK233.jpg|border|500px]] 

Relación entre presas y depredadores del tipo 2 

La estabilidad en el sistema se alcanza una vez extinguida la segunda de las especies de depredadores. En la primera gráfica se observa como la población de la segunda especie se reduce al mínimo para la población de las otras dos se mantengan estables.

Por otro lado, la estabilidad entre la especie de presas y depredadores tipo 1 mantiene una estabilidad cíclica a lo largo del tiempo, dónde a medida que la población de uno disminuye la del otro ve su número de ejemplares aumentar y viceversa.

En cambio entre los depredadores tipo 2, los que se extinguen, y las presas se observa que la dependencia de los depredadores ante la falta de presas que comer les lleva de cabeza a la extinción como así finalmente sucede

===Interpretación===
A la hora de comparar la modelización del sistema bajo el método de Euler y método de Euler Modificado se puede apreciar las siguientes diferencias:
* El modelo de Euler modificado, con el que se está trabajando ahora aporta una idea mas aproximada del ecosistema ya que a la hora de la modelización es un método de 2º orden, orden mayor que el Euler, el cual nos da una idea menos precisa de la estabilidad del sistema.

==Resolución del modelo mediante el método de Runge-Kutta de cuarto orden==
El Runge Kutta de 4º orden se trabajará pensando en un período horizonte de hasta 500 años, discretizaremos con h=0.1 y nuevamente las constantes inherentes a cada especie se verán modificadas, teniendo que trabajar para dos situaciones diferentes:
*3.5 millones de presas; 0.001 millones de depredadores tipo 1; 0.0002 millones de depredadores tipo 2
*3.5 millones de presas; 0.00001 millones de depredadores tipo 1; 0.2 millones de depredadores tipo 2
===Código===
{{matlab|codigo=
% Datos del problema con los primeros valores iniciales
t0=0;
tf=500;
A1=0.4; A2=0.3; A3=0.4;
B1=0.37; B2=0.05;
D=0.1;
C1=0.28; C2=0.07;
%Condiciones iniciales
p01=3.5;
d01=0.001;
e01=0.0002;
Y0=[p01 d01 e01]';
% Datos discretización
h=0.1;
N=(tf-t0)/h;
% Vectores de tiempo y soluciones app
t=t0:h:tf;
% Inicialización
Y(:,1)=Y0;
YY=Y0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*YY(1)-A2*YY(1)*YY(2)-A3*YY(1)*YY(3);-B1*YY(2)+B2*YY(1)*YY(2)-D*YY(2)*YY(3);-C1*YY(3)+C2*YY(1)*YY(3)-D*YY(2)*YY(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(YY(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(2)+(h/2)*k1(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k1(1))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k1(2))*(YY(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(YY(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(YY(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(2)+(h/2)*k2(2))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(YY(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(YY(1)+(h/2)*k2(1))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))-D*(YY(2)+(h/2)*k2(2))*(YY(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(YY(1)+h*k3(1))-A2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-A3*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3));-B1*(YY(2)+h*k3(2))+B2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(2)+h*k3(2))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3));-C1*(YY(3)+h*k3(3))+C2*(YY(1)+h*k3(1))*(YY(3)+h*k3(3))-D*(YY(2)+h*k3(2))*(YY(3)+h*k3(3))];
YY=YY+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Y(:,n+1)=YY;
end
figure (8)
hold on
plot(t,Y(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Y(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off

% Datos del problema con los segundos valores iniciales
p02=3.5;
d02=0.00001;
e02=0.2;
Z0=[p02 d02 e02]';
% Inicialización
Z(:,1)=Z0;
ZZ=Z0;
for n=1:N
% Calculamos k1=f(t_n,y_n)
k1=[A1*ZZ(1)-A2*ZZ(1)*ZZ(2)-A3*ZZ(1)*ZZ(3);-B1*ZZ(2)+B2*ZZ(1)*ZZ(2)-D*ZZ(2)*ZZ(3);-C1*ZZ(3)+C2*ZZ(1)*ZZ(3)-D*ZZ(2)*ZZ(3)];
% Calculamos k2=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k1)
k2=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k1(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k1(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k1(3))];
% Calculamos k3=f(t_n+h/2,y_n+(1/2)*h*k2)
k3=[A1*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))-A2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-A3*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-B1*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))+B2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3));-C1*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))+C2*(ZZ(1)+(h/2)*k2(1))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))-D*(ZZ(2)+(h/2)*k2(2))*(ZZ(3)+(h/2)*k2(3))];
% Calculamos k4=f(t_n+h,y_n+h*k3)
k4=[A1*(ZZ(1)+h*k3(1))-A2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-A3*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3));-B1*(ZZ(2)+h*k3(2))+B2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(2)+h*k3(2))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3));-C1*(ZZ(3)+h*k3(3))+C2*(ZZ(1)+h*k3(1))*(ZZ(3)+h*k3(3))-D*(ZZ(2)+h*k3(2))*(ZZ(3)+h*k3(3))];
ZZ=ZZ+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
Z(:,n+1)=ZZ;
end
figure (9)
hold on
plot(t,Z(1,:),'r','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(2,:),'b','LineWidth',1.4)
plot(t,Z(3,:),'g','LineWidth',1.4)
hold off
}}
===Gráficas===
[[Archivo:RK411.jpg|border|468px|thumb|left|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,0002</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Archivo:RK422.jpg|border|468px|thumb|right|Resultado del modelo con valores iniciales <math> p_0 =3.5</math> millones de presas <math> d_0=0,00001</math> millones de predadores de un tipo <math>e_0=0,2</math>millones de predadores de otro tipo]]
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Bajo la modelización mediante Runge Kutta se aprecia con mayor precisión la estabilidad del ecosistema con las dos especies finales. Para este método se ha planteado dos situaciones diferentes que evalúan de diferente forma el ecosistema.

Primero, para el caso en el que se observan un gran descenso en la cantidad unidades de ambos depredadores manteniendo alta la población de presas

Después, con las presas en el mismo número de individuos y una especie de depredadores reducida a una milésima parte y la otra aumentada mil veces la cantidad anterior llega a apreciarse como la estabilidad del ecosistema es alcanzada de forma mas rápida sin que la especie de menor número interfiera en la dominante.

===Interpretación===
Llevando a comparar este método de Runge Kutta 4º orden con el método de Euler se puede llegar a las conclusiones siguientes:
*Como Euler Modificado es un método de segundo orden y Runge-Kutta, con el que trabajamos, de 4º orden, Euler Modificado es mas inestable, y aporta ideas menos precisas en cuanto a la estabilidad del ecosistema.