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Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-07T15:07:28Z

Jgisbert02: /* Deformación por Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
 
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [π4,3π4].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:
 

{{matlab|codigo=

%paso de muestreo
h=0.1;

%condición de ρ
r=1:h:2;

%condición de θ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);

% mallado
[RR,TT]=meshgrid(r,tt);
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)

view(2)

%restricción de ejes
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')

}}

[[Archivo:placaparte1.png|centro]]

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>, su divergencia es:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\left [ \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \cdot \vec{0} \right )+ \left ( \frac{1}{2} \cdot e^{\rho -1} \cdot sin\left ( 2\theta -\frac{\pi }{2} \right ) \right )\right ]</math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \cdot e^{\rho-1} \cdot sin \left ( 2 \theta \right ) </math> </center>
 
Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 

Aplicando el campo de desplazamientos: <math>\nabla × \vec u(ρ,θ) = </math>
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor22.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,0,5]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
 
 
[[Archivo:javitenstang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 
=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:javideftang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
tangx = -sin(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
tangy = cos(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

Archivo:Javidefor22.jpg

2023-12-07T15:07:02Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-07T15:04:42Z

Jgisbert02: /* Deformación por Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
 
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [π4,3π4].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:
 

{{matlab|codigo=

%paso de muestreo
h=0.1;

%condición de ρ
r=1:h:2;

%condición de θ
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);

% mallado
[RR,TT]=meshgrid(r,tt);
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)

view(2)

%restricción de ejes
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación en 2D de la placa plana')

}}

[[Archivo:placaparte1.png|centro]]

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>, su divergencia es:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\left [ \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \cdot \vec{0} \right )+ \left ( \frac{1}{2} \cdot e^{\rho -1} \cdot sin\left ( 2\theta -\frac{\pi }{2} \right ) \right )\right ]</math></center>
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \cdot e^{\rho-1} \cdot sin \left ( 2 \theta \right ) </math> </center>
 
Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 

Aplicando el campo de desplazamientos: <math>\nabla × \vec u(ρ,θ) = </math>
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 

== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
 
 
[[Archivo:javitenstang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 
=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:javideftang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
tangx = -sin(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
tangy = cos(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:41:04Z

Jgisbert02: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>, su divergencia es:
cambiar
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=cambiar</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
 
 
[[Archivo:javitenstang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
 
=== Deformación por Tensión Tangencial===
 
[[Archivo:javideftang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
tangx = -sin(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
tangy = cos(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));

X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

Archivo:Javideftang.jpg

2023-12-05T19:40:23Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:38:40Z

Jgisbert02: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje \vec e_ρ */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>, su divergencia es:
cambiar
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=cambiar</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
 
 
[[Archivo:javitenstang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:37:56Z

Jgisbert02: /* Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje \vec e_ρ */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>, su divergencia es:
cambiar
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=cambiar</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>
 
 
 
 
[[Archivo:javitenstang|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}

Archivo:Javitenstang.jpg

2023-12-05T19:36:46Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:35:05Z

Jgisbert02:

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>, su divergencia es:
cambiar
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=cambiar</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
== Tensiones Tangenciales ==
 
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
La proyección no es el tensor:
::: <math> T = (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
 
 
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
 
::*|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = </math>

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:33:38Z

Jgisbert02: /* Deformación por Tensiones Normales */

{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
 
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==

== Curvas de nivel de la temperatura==

==Gradiente de la temperatura==

==Desplazamiento de la placa==
 
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
 
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|650px|derecha]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|350px|izquierda|]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT);
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2}) </math>, su divergencia es:
cambiar
 

Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:
<center><math>\nabla\cdot\vec u=cambiar</math></center>

Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
h= 0.2; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado y parametrización
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); %Función de divergencia
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
 
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.
 
Aplicando el campo de desplazamientos: AÑADIR
 
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1)))); %Modulo del rotacional de u
subplot(1,2,1); %Rotacional en 2D
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y') %Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT);
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
==Tensiones==
 
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
 
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>
 
 
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math> conocido como tensor de deformaciones.
 
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
 
 

===Tensor de Deformaciones===
 
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
: <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math>.
 
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>.
 
 

===Tensor de Tensiones===
 
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
 
 
== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

::: <math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
 

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
 
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
 
 
===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
 
 
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
 
 
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure

subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}
=== Deformación por Tensiones Normales===
 
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
 
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt));

X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor2|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))));

X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
 
 
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;

M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)));

X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z;

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

Archivo:Javidefor3.jpg

2023-12-05T19:29:43Z

Jgisbert02:

Archivo:Javidefor2.jpg

2023-12-05T19:29:28Z

Jgisbert02:

Archivo:Javidefor1.jpg

2023-12-05T19:29:09Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:27:30Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:26:14Z

Jgisbert02: /* Visualización de las tensiones normales */

Archivo:Javinormales2.jpg

2023-12-05T19:24:52Z

Jgisbert02:

Archivo:Javinormales1.jpg

2023-12-05T19:24:37Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:20:17Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T19:10:42Z

Jgisbert02: /* Rotacional */

Archivo:Javirotacional2.jpg

2023-12-05T19:09:41Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T18:41:13Z

Jgisbert02: /* Rotacional */

Archivo:Javirotacional.jpg

2023-12-05T18:39:58Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T18:36:33Z

Jgisbert02: /* Divergencia */

Archivo:Javidivergencia.jpg

2023-12-05T18:34:25Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:58:50Z

Jgisbert02: /* Divergencia */

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:50:37Z

Jgisbert02: /* Desplazamiento de la placa */

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:47:41Z

Jgisbert02: /* Desplazamiento de la placa */

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:44:34Z

Jgisbert02:

Archivo:Despjaviplaca2.jpg

2023-12-05T15:42:31Z

Jgisbert02:

Archivo:Despjaviplaca1.jpg

2023-12-05T15:42:08Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:39:19Z

Jgisbert02: /* Desplazamiento de la placa */

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:35:39Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:31:27Z

Jgisbert02:

Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44)

2023-12-05T15:26:36Z

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