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Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-08T15:53:53Z

Javier10:

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recibe 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución general, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{-\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-08T15:53:09Z

Javier10:

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución general, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{-\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T16:40:00Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución general, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{-\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T16:35:08Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{-\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
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p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
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p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T16:32:57Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^-{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T15:07:22Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1);
xB(n+1)=x(2);
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T15:06:41Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales para t0
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;
%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T15:06:01Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
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% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;

%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

*De la gráfica se puede estimar la cantidad de contaminate inicial y sera XA(0) y XB(0).

Archivo:CID.jpg

2013-03-04T15:02:48Z

Javier10:

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T15:02:26Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;

%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Gráficamente la solución es:
[[Archivo:CID.jpg|marco|centro]]

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:56:42Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del contaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;

%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:55:59Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;

%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:55:42Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

{{matlab|codigo=
t0=100; tN=0;
x0=[1 2]'; %Valores iniciales (para t=0)
N=100; h=(tN-t0)/N; %Número y amplitud de subintervalos
A=[-3/100,0;3/100,-4.5/100]; %Matriz de coeficientes del primer sistema
x=x0;
xA(1)=x(1); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en A
xB(1)=x(2); %Iniciamos el vector cantidad de contaminante en B
for n=1:N
x=x+h*(A*x); %Aplicamos el método de Euler
xA(n+1)=x(1); %Guardamos la solución como segunda columna de xa
xB(n+1)=x(2); %Guardamos la solución como segunda columna de xb
end
x=t0:h:tN;

%Dibujo
plot(x,xA,'b',x,xB,'r')
}}

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:41:13Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.

'''CÓDIGO EN MATLAB'''

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:28:27Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>, con esto aplicando el método de Euler podemos estimar el contaminante inicial.
'''CÓDIGO EN MATLAB'''

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:25:19Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0 y otro tiempo inicial por ejmplo t0=100, conocemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T14:18:19Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

'''Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?'''
En este caso desconocemos el contaminante inicial,pero para el tiempo tN=0, sabemos los valores del comntaminante <math>(X_A,X_B)=(1,2)</math>

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T12:45:40Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+35)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-35)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-04T09:16:46Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
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p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
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p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el método de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden comparar los gráficos de ambos métodos o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T22:20:18Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaría a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta) y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>, quedando el sistema de la siguiente forma:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T22:19:06Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math>, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender también de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>=cte, tampoco sabemos la velocidad de C, pero si se tiene que mantener el volumen constante tendrá que recivir 4.5 <math> Hm^3 </math> de B (que es lo que suelta)y él mismo soltará 6 <math> Hm^3 </math>.

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T21:23:32Z

Javier10: /* CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Si no conocemos la cantidad de contaminante inicial pero sabemos tras unos dias se redujo el contaminante a sólo una tonelada en A y dos en B,¿Cuánto contaminante se estima que se vertió inicialmente?

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T21:19:09Z

Javier10:

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

=='''CONTAMINANTE INICIAL DESCONOCIDO'''==

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T21:10:57Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza será la diferencia de valores medidos en ambas graficas, es decir, t2-t1=23-18=5 dias y para la tercera parte es t4-t3=13-10=3 dias.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:59:29Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
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q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
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format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x (por cojer uno) del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:58:33Z

Javier10: Deshecha la revisión 931 de Javier10 (disc.)

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:57:16Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA */

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:52:58Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VolA=VolB=VolC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto <math>VolC(t)=100+(6-1.5)t</math>.
Con esto planteamos el sistema, pero ahora VolB va decayendo con el tiempo, pues pierde 6 <math> Hm^3/dia </math>, con esa interpretación <math> VolB(t)=100-6t </math> y por tanto pasaría a ser un sistema dependiente de t:

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
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end
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}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
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}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:47:24Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.
El sistema pasaria a depender de la velocidad en C, ahora como no conocemos el volumen de C consideramos VA=VB=VC= 100 <math> Hm^3 </math>, tampoco sabemos lo que desaloja C, con lo cual, si recibe 6 y desaloja 1.5, su volumen irá creciendo indefinidamente, en base a esto VC(t)=100+(6-1.5)t

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:41:11Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

:<math>
\left\{\begin{matrix} X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\ X'_B=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\ X'_C=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:40:20Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

:<math>
\left\{\begin{matrix}\X'_A=\frac{-3X_A}{100}\\\frac{\mathrm X'_B}=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\\frac{\mathrm X'_C}=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:39:48Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{X'_A}=\frac{-3X_A}{100}\\\frac{\mathrm X'_B}=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\\frac{\mathrm X'_C}=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:39:16Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

:<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm X'_A}=\frac{-3X_A}{100}\\\frac{\mathrm X'_B}=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\\frac{\mathrm X'_C}=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:38:17Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

<math>
\left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm X'_A}=\frac{-3X_A}{100}\\\frac{\mathrm X'_B}=\frac{3X_A}{100}-\frac{4.5X_B}{100}\\\frac{\mathrmX'_C}=\frac{4.5X_B}{100}-\frac{6X_C}{100}\\X_A(t_{0})=20, \quad X_B(t_{0})=0\end{matrix}\right.
</math>

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:31:34Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:31:06Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3/dia</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^37dia</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:30:05Z

Javier10:

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3/dia</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3/dia</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3/dia</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3/dia</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3/dia</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

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format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

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format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
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t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
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x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
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p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
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format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:28:07Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3/dia</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
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p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
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q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:27:24Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 <math>Hm^3</math> de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
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p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:26:46Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3</math> a B, reciviendo 1.5 <math>Hm^3</math> de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:26:08Z

Javier10:

Dos pantanos A y B con 100 <math>Hm^3</math> de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 <math>Hm^3</math> de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 <math>Hm^3</math>.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 <math>Hm^3</math> mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 <math>Hm^3</math>. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 <math>Hm^3</math> a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:23:10Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

:<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
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format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:22:49Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

<math> X_B(t)=(320/\sqrt{73})e^{-19t/400}sinh(\sqrt{73}/400)</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:21:09Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}t/400}\right ] </math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

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format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:20:33Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)=(10/\sqrt{73})e^{-19t/400}\left [ (\sqrt{73}+3)e^{\sqrt{73}t/400}+(\sqrt{73}-3)e^{\sqrt{73}/400}\right ] </math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
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format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T20:10:08Z

Javier10: /* SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>
*Las soluciones son:
:<math> X_A(t)= (10\over\sqrt{73}) </math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
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x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T19:58:59Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza, la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T19:57:44Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método númerico explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler y damos una aproximación a las soluciones generales obtenidas en los aparatados anteriores.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
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y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T19:55:59Z

Javier10: /* PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

*La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
q3=(3/100)*(x(n)+h*p2/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
q4=(3/100)*(x(n)+h*p3)-(4.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
q3=(4/100)*(x(n)+h*p2/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q2/2);
p4=(-4/100)*(x(n)+h*p3)+(1/100)*(y(n)+h*q3);
q4=(4/100)*(x(n)+h*p3)-(5.5/100)*(y(n)+h*q3);
x(n+1)=x(n)+(h/6)*(p1+2*p2+2*p3+p4);
y(n+1)=y(n)+(h/6)*(q1+2*q2+2*q3+q4);
end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.

Modelos de mezclas(Grupo 15)

2013-03-03T19:54:56Z

Javier10: /* RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA */

Dos pantanos A y B con 100 Hm3 de agua cada uno están unidos por una presa que deja pasar agua de A a B.
El pantano A recive 3 Hm3/dia de agua limpia provniente de rios y el B 1.5 Hm3/dia.
Para manatener estable la presa, de A a B se deja pasar una media de 3 Hm3/dia mientras que la presa al final de B desaloja 4.5 Hm3/dia. Se produce un vertido en el pantano A que deja 20 toneladas de un cierto contaminante.
Suponemos las siguientes hipotesis:
*El contaminante está disuelto de forma homogénea en el agua de los pantanos.
*Al entrar o salir agua en un pantano, está se mezcla con el agua del pantano de forma inmediata creando un mezcla homogénea.
*La variación de contaminante en un lago es la diferencia ente el contaminate que entra y el que sale del lago.

=='''PRIMER SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Llamamos <math>X_A(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago A y <math>X_B(t)</math> a la cantidad de contaminante del lago B.
Definimos la variación de contaminante en un lago como:
:<math>X'_A(t)=velocidad(entrada)-velocidad(salida)</math>
Conocemos la velocidad de entrada y salida de volumen de agua de cada pantano, está multiplicada por la concentración de contaminante en el instante t nos da la velocidad de entrada y salida de contaminante. Definimos como concentración de contaminante, siendo vol(t) el volumen del lago en un instante t:
:<math>C(t)={X(t)\over vol(t)}</math>

Aplicando las hipotesis y sabiendo que el contaminante se traspasa de lago a lago y que el agua de los rios es agua limpia, nos quedan las siguiente ecuaciones:
\begin{array}{c} X'_A(t)=-{3\over 100}X_A \\ X'_B(t)={3\over 100}X_A-{4.5\over 100}X_B \end{array}

En forma matricial y considerando que <math>X_A(0)=20</math> nos queda el siguiente problema de Cauchy:

:<math>\begin{pmatrix} X'_A\\ X'_B\end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -3 & 0 \\
3 & -4.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix}</math>

:<math>\begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix}</math>

La solución general de este sistema es inmediata, por variables separadas se obtiene <math>X_A</math> y sustituyendo en la otra ecuación se obtiene <math>X_B</math> :
:<math> X_A(t)=20e^{-3t/100}</math>
:<math> X_B(t)=40(e^{^-3t/100}-e^{-4.5t/100})</math>

*Ahora,suponemos que hay un tercer pantano C unido a B por una segunda presa que suelta 6 Hm3/dia a B, reciviendo 1.5 Hm3/dia de agua limpia de rios.

=='''SEGUNDO SISTEMA DE ECUACIONES'''==

Supongamos que se activa un plan de limpieza que consiste en bombear 1 Hm3/dia de agua del pantano B al A ajustando las cantidades de agua que dejan pasar las presas para mantener estables los niveles de los pantanos.
El sistema de ecuaciones va a cambiar, ahora el pantano A recivirá agua contaminada de B y para que se mantenga estable, dejara pasar más agua a B reciviendo este más agua contaminada.
Los cambios se pueden ver en las siguientes ecuaciones:

:<math> X'_A(t)=-{4\over 100}X_A+{1\over 100}X_B </math>

:<math> X'_B(t)={4\over 100}X_A-{5.5\over 100}X_B </math>

En forma matricial tenemos el siguiente problema de Cauchy:
:<math> \begin{pmatrix} X'_A \\ X'_B \end{pmatrix}={1\over 100}\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 4 & -5.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_A \\ X_B \end{pmatrix} </math>

:<math> \begin{pmatrix} X_A(0) \\ X_B(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
Para solucionarlo es útil pasarlo a una ecuación diferencial de segundo orden, siendo esta de coeficientes constantes y homogenea, resolviendola sacando soluciones con el polinomio caracteristico, considerando que ambas forman un espacio vectorial de dimension 2 y sustituyendo las condiciones iniciales obtenemos la solución puntual, una vez obtenida sustituimos en el sistema inicial y sacamos la concentración del otro pantano.

:<math>
\begin{matrix}X''_A+{19\over 200}X'_A+{9\over 5000}X_A=0 \\ X_A(0)=20 \\ X'_A(0)=-{4\over 100}X_A(0)+{1\over 100}X_B(0)=-{4\over 5}\end{matrix}</math>

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE EULER'''==

El método de Euler es un método explicito de primer orden.Resolvemos los dos sistemas con MATLAB mediante el método de Euler.

'''PRIMER SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% PRIMER SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-3/100)*x(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(3/100)*x(n)-h*(4.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''
{{matlab|codigo=

clear all
format long
% SEGUNDO SISTEMA
t0=0; tN=6*100/4.5; % Extremos del intervalo temporal a estudiar
N=100; h=(tN-t0)/N; % Número y amplitud de subintervalos
t=t0:h:tN; % Valores de t
x0=20;y0=0; % Asignacion de valores iniciales x->XA y->XB
x(1)=x0;y(1)=y0; % Inicialización de los vectores
%Algoritmo
for n=1:N
x(n+1)=x(n)+h*(-4/100)*x(n)+h*(1/100)*y(n); %Aplicación del método de Euler
y(n+1)=y(n)+h*(4/100)*x(n)-h*(5.5/100)*y(n);
end
% Dibujo de gráficas
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:DIBUJO SISTEMA1 EULER.jpg|marco|centro]][[Archivo:DIBUJO SISTEMA2 EULER.jpg|marco|centro]]

Se observa que ambas soluciones son del tipo exponencial y se ve que para un tiempo grande la contaminación acaba desapareiendo. Tambien se observa que ambos pantanos llegan a tener la misma contaminación y que para el sistema 2, en el que se activa un plan de limpieza la grafica del pantano B se desplaza hacia la izquierda lo que indica que tardaría menos en desaparecer toda la contaminación.

*La diferencia de tiempo que tarda en desaparecer la mitad del contaminante inicial (20 toneladas) en el pantano A cuando se activa el sistema de limpieza se puede ver en la gráfica 2 y es '''20 dias''' y para la tercera parte es '''10 dias'''.

=='''RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA'''==

El método de Runge-Kutta es un método implicito de cuarto orden con lo que nos dára una mejor aproximación que el método de Euler al tener mayor orden, pero al ser implicito la programación será más difícl. Resolvemos los dos sistemas en MATLAB mediante el método de Runge-Kutta:

'''PRIMER SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-3/100)*x(n);
q1=(3/100)*x(n)-(4.5/100)*y(n);
p2=(-3/100)*(x(n)+h*p1/2);
q2=(3/100)*(x(n)+h*p1/2)-(4.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-3/100)*(x(n)+h*p2/2);
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p4=(-3/100)*(x(n)+h*p3);
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end
plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}

'''SEGUNDO SISTEMA'''

{{matlab|codigo=
clear all
format long
t0=0; tN=6*100/4.5;
N=100; h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
x0=20;y0=0;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for n=1:N
% Aplicación del método de Runge-Kutta
p1=(-4/100)*x(n)+(1/100)*y(n);
q1=(4/100)*x(n)-(5.5/100)*y(n);
p2=(-4/100)*(x(n)+h*p1/2)+(1/100)*(y(n)+h*q1/2);
q2=(4/100)*(x(n)+h*p1/2)-(5.5/100)*(y(n)+h*q1/2);
p3=(-4/100)*(x(n)+h*p2/2)+(1/100)*(y(n)+h*q2/2);
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plot(t,x,'b',t,y,'r')
}}
Gráficamente, las soluciones son:

[[Archivo:S1RK.jpg|marco|centro]][[Archivo:S2RK.jpg|marco|centro]]
*Para comparar el mètodo de Runge-Kutta con el de Euler, se pueden ver los graficos y comprarlos con las soluciones exacatas o bien como en nuestro caso, hemos cojido el 70 valor de la solucion x del Runge-Kutta y resulta que nos da el mismo valor que haciendolo con la solucion exacta(x=1,2658) y haciendo lo mismo con el de Euler nos da un valor diferente(x=1,1960) con lo que se verifica que el método de Runge-Kutta da una mejor aproximación de la solución.