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La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:58:11Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<center>'''<math>M=\iint_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS,</math>'''</center>

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<center>'''<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big),
</math> con <math> \rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>'''</center>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<center>'''<math>dS=\rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>'''</center>

En nuestro caso <math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<center>'''<math>dS=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta'''</center>
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<center>'''<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^{2}+x_2^{2}}.</math>'''</center>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^{2}+x_2^{2}=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave. Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente: <math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;

integrando = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
</syntaxhighlight>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:45:48Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS,</math>

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big),</math>
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS=\rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso <math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x\_1,x\_2,x\_3)=\dfrac{|x\_3|}{1+x\_1^{2}+x\_2^{2}}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x\_1^{2}+x\_2^{2}=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x\_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave. Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente: <math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;

integrando = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
</syntaxhighlight>

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:39:28Z

Javier.mhidalgo2: /* Código de Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^2+x_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^2+x_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:36:45Z

Javier.mhidalgo2: /* Código de Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^2+x_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^2+x_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab
|codigo=
x = 1:10;
y = x.^2;
plot(x,y);
}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:36:26Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^2+x_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^2+x_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab
|codigo=
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;

integrando = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:33:42Z

Javier.mhidalgo2: /* Código de Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint\_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^2+x_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^2+x_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab
|codigo=
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;

integrando = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:31:22Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint\_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{|x_3|}{1+x_1^2+x_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x_1^2+x_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;
integrand = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrand,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:29:49Z

Javier.mhidalgo2: /* Código de Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint\_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x\_1,x\_2,x\_3)=\dfrac{|x\_3|}{1+x\_1^2+x\_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x\_1^2+x\_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x\_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=
clear; clc;
A = 3;

sigma = @(t,theta) abs(t)./(1 + (A*cosh(t./A)).^2);
dS = @(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;
integrand = @(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);

M = integral2(integrand,-1,1,0,2*pi);
fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);
}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:29:17Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
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File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
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==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
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File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint\_S f(x_1, x_2, x_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x\_1,x\_2,x\_3)=\dfrac{|x\_3|}{1+x\_1^2+x\_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x\_1^2+x\_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x\_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=clear;clc;A=3;sigma=@(t,theta) abs(t)./(1+(A*cosh(t./A)).^2);dS=@(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;integrando=@(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);M=integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);}}

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T17:25:49Z

Javier.mhidalgo2: /* Distribución de la densidad */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=\iint\_S f(x\_1, x\_2, x\_3)\,dS</math>,

donde <math>S</math> es la superficie considerada y <math>f</math> es la densidad superficial.

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, el catenoide viene dado por
<math>\Phi(t,\theta)=\big(\rho(t)\cos\theta,\;\rho(t)\sin\theta,\;z(t)\big)</math>,
con
<math>\rho(t)=A\cosh\left(\frac{t}{A}\right),\quad z(t)=t,\quad t\in(-1,1),\ \theta\in[0,2\pi].</math>

El elemento de superficie <math>dS</math> para una superficie de revolución generada por la curva <math>\rho(t)</math> se calcula como
<math>dS = \rho(t)\,\sqrt{1+(\rho'(t))^2}\,dt\,d\theta.</math>

En nuestro caso
<math>\rho'(t)=\sinh\left(\frac{t}{A}\right)</math>, y usando la identidad <math>1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)</math> obtenemos
<math>\sqrt{1+(\rho'(t))^2}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right).</math>

Por tanto, el elemento de superficie se simplifica a
<math>dS = A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\cdot\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta
= A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.</math>

Suponemos ahora que la densidad superficial viene dada por el campo escalar
<math>\sigma(x\_1,x\_2,x\_3)=\dfrac{|x\_3|}{1+x\_1^2+x\_2^2}.</math>

Al restringir esta función a la superficie, sustituimos
<math>x\_1^2+x\_2^2=\rho(t)^2=A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right),\qquad x\_3=z(t)=t,</math>
y obtenemos la densidad en función de los parámetros:
<math>\sigma(t,\theta)=\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}.</math>

La masa total de la superficie es
<math>
M = \iint\_S \sigma\,dS
= \int\_0^{2\pi}\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|}{1+\left(A\cosh\left(\frac{t}{A}\right)\right)^2}\,
A\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)\,dt\,d\theta.
</math>

Como el integrando no depende de <math>\theta</math>, la integral angular aporta un factor <math>2\pi</math>:
<math>
M = 2\pi A\int\_{-1}^{1}
\dfrac{|t|\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Además, la función es par en <math>t</math> (debido al valor absoluto), por lo que podemos escribir
<math>
M = 4\pi A\int\_{0}^{1}
\dfrac{t\;\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}
{1+A^2\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}\,dt.
</math>

Esta integral no tiene una primitiva elemental sencilla, así que se evalúa numéricamente con Matlab/Octave.
Para el valor <math>A=3</math> utilizado en todo el trabajo se obtiene aproximadamente:
<math>M \approx 1{,}8950</math> unidades de masa.

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=clear;clc;A=3;sigma=@(t,theta) abs(t)./(1+(A*cosh(t./A)).^2);dS=@(t,theta) A*(cosh(t./A)).^2;integrando=@(t,theta) sigma(t,theta).*dS(t,theta);M=integral2(integrando,-1,1,0,2*pi);fprintf('La masa total de la superficie es M = %.6f unidades de masa.\n',M);}}

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-03T18:04:49Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Jorge Granadino Aranda Javier Martinez Hidalgo Hugo Sacristán de Agustín David Alejandro Tellechea Morales | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

Este proyecto aborda el diseño y estudio de viabilidad de la construcción de un nuevo eje de movilidad, el Corredor Ciclista Rivas-Madrid, cuyo objetivo es establecer una conexión segura y eficiente entre el municipio de Rivas-Vaciamadrid, con los diferentes núcleos urbanos del sureste de Madrid y principalmente con la capital.
Para lograr una conexión optima, se han analizado cuatro alternativas de trazado principales, que buscan unir Rivas con los distritos de Vicálvaro, San Blas, El Cañaveral y Alameda de Osuna.
El diseño de las diferentes alternativas se basa en la combinación de infraestructuras existentes y nuevas, gracias a la utilización de vías mixtas, tramos de carril bici existentes y la propuesta de nuevos tramos de carril bici.

== Introducción ==
El vertiginoso crecimiento demográfico de la ciudad de Madrid ha impulsado la necesidad de un desarrollo urbano más sostenible, buscando alternativas que reduzcan la dependencia del vehículo privado, mitiguen la contaminación y promuevan estilos de vida más activos y saludables.
Hoy, los accesos a la capital se encuentran permanentemente congestionados, un problema que afecta a municipios clave como Rivas-Vaciamadrid, donde la dependencia del vehículo privado genera una gran ineficiencia de los desplazamientos de media distancia y una alta contaminación.
Actualmente, la conexión ciclista entre Rivas-Vaciamadrid es discontinua e insegura, lo que desincentiva el uso diario de la bicicleta.
Ante esta situación, el presente proyecto propone una solución integral, el Estudio y diseño del Corredor Ciclista Rivas-Madrid. El trabajo se centra en la evaluación de 4 alternativas de trazado, utilizando una metodología que combina estratégicamente vías mixtas, carriles exclusivos segregados y nuevos tramos de construcción. Finalmente, el objetivo es seleccionar la ruta optima que además de ser segura y eficiente, contribuya a mitigar la congestión a los principales accesos de Madrid.

== Metodología ==

===Herramientas de Análisis y Fuentes de Datos===
Para la definición y evaluación de alternativas de trazado con origen en Rivas-Vaciamadrid, se emplearon Sistemas de Información Geográfica como es el caso de QGIS, utilizando como base cartográfica la capa Google Satellite Hybrid para una visualización precisa y representativa del entorno.
Asimismo, se integró la cartografía oficial de la infraestructura ciclista existente, obtenida a través del portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.
Por otro lado, se han usado datos del Centro de Descargas del CNIG como los Modelos Digitales de Terreno de paso de malla 25 metros (MDT25); y a su vez, también se han utilizado dentro de QGIS datos de apoyo provistos por la herramienta de Open Street Maps, que han permitido con mayor certeza la obtención de las vías ciclistas fuera del Ayuntamiento de Madrid. Por último, para la realización de los cálculos de población se han usado aproximaciones en función de los datos de habitantes de los núcleos urbanos y las áreas que éstos ocupan.

===Criterios de Selección de Rutas===
La determinación de las diferentes alternativas de trazado se realizó teniendo en cuento diversos criterios, principalmente enfocados a la eficiencia y la seguridad. Se priorizaron rutas que ofrecían pendientes longitudinales suaves y una maximización de la población captada en el área de influencia. A su vez, se descartaron tramos con intersecciones peligrosas o de alta de densidad de tráfico. A parte, se llevaron a cabo trazados que beneficiasen al mayor número de núcleos posibles para optimizar la conexión al anillo ciclista.

===Solución Técnica y Adaptación de la Vía===
Se ha priorizado que nuestros trayectos sean paralelos a las carreteras, para en caso de necesitarlo ayudarse de la carretera haciendo un uso mixto de esta. Es por eso que se pueden diferenciar los siguientes diseños constructivos:

* Vías mixtas: Se estimó la adaptación de dichas carreteras convencionales mediante la adecuación de arcenes y la reducción del límite de velocidad. Estas medidas se refuerzan con la instalación de cojines berlineses para la reducción de la velocidad en zonas críticas, además de una completa señalización vertical y horizontal que advierta sobre la posible presencia de ciclistas.

* Tramos exclusivos para ciclistas: En las zonas en las que la segregación era necesaria, se diseño un carril bici protegido mediante bordillo, separando físicamente el flujo ciclista del trazado motorizado.

== Resultados ==

===Selección de los trazados===
En primer lugar; una vez elegido el punto de partida, se procede a realizar los trazados de los carriles bici que mejor se adapten a los criterios, en nuestro caso se ha llegado a la conclusión de que lo mejor sería hacer tres recorridos diferentes:

* '''Alternativa 1''': Rivas-Vicálvaro, es un trayecto directo desde Rivas hacia el punto más cercano del anillo ciclista pasando por Vicálvaro, donde ya hay alguna vía mixta de la que aprovecharse.
* '''Alternativa 2''': Rivas-Estadio Metropolitano, este trayecto iniciará igual que el anterior pero no entrará en Vicálvaro sino que se desviará hacia el norte y en el corte con la M-201 tomará el camino hacia el oeste para acabar en la incorporación al anillo del Estadio Metropolitano.
* '''Alternativa 3''': Rivas-Alameda de Osuna, es el trayecto con mayor recorrido, seguirá el mismo recorrido que el anterior hasta el cruce con la M-201 que en este caso seguirá hacia el norte, finalizando el carril en Alameda de Osuna.
* '''Conexión Cañaveral''': este trayecto será una conexión que complementará a los dos últimos caminos, facilitando el trafico desde el Cañaveral; otro núcleo sin una conexión al anillo, pasando por Coslada y a su vez enlazándose con los anteriores trayectos en el punto de separación de los mismos.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Trazados.jpg|600px]]
|-
| align="center" | Figura 1:Trazados de las Alternativas
|}

===Zonas de Influencia y Análisis de accesibilidad===
Servirán para calcular la población a la que afectan estos carriles, se considera un buffer de diámetro 2,5km que a su vez será intersecado con los núcleos poblacionales. A continuación, se llevará a cabo el cálculo de las poblaciones proporcionales usando como base el área original de cada núcleo y su respectiva población, que permitirá usando una función de proporción calcular los datos de la población afectada.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Influencia1.jpg|Figura 2-A: Área de Influencia Alternativa 1.
Archivo:Influencia2.jpg|Figura 2-B: Área de Influencia Alternativa 2.
Archivo:Influencia3.jpg|Figura 2-C: Área de Influencia Alternativa 3.
Archivo:InfluenciaCanaveral.jpg|Figura 2-D: Área de Influencia Conexión Cañaveral.
</gallery>

Mientras que la zona de influencia mide la distancia física, las isócronas miden la accesibilidad temporal real. Utilizando el complemento OpenRouteService, se han calculado los polígonos de tiempo de viaje de 5, 10 y 15 minutos desde los puntos de acceso al carril.

* '''Efecto Barrera''': El mapa de isócronas evidencia como las infraestructuras ferroviarias y las autovías actúan como barreras impermeables, reduciendo el área de captación efectiva tanto de la alternativa 2 como de la alternativa 3.
* '''Cobertura Efectiva''': La alternativa de la conexión del Cañaveral ofrece la 'mancha' más homogénea, permitiendo que usuarios situados a grandes distancias accedan al carril en menos de 15 minutos gracias al entramado urbano favorable.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Isocronas1.jpg|Figura 3-A: Isócronas Alternativa 1.
Archivo:Isocronas2.jpg|Figura 3-B: Isócronas Alternativa 2.
Archivo:Isocronas3.jpg|Figura 3-C: Isócronas Alternativa 3.
Archivo:IsocronasCanaveral.jpg|Figura 3-D: Isócronas Conexión Cañaveral.
</gallery>

===Usos del suelo===
Se utilizará para conocer el terreno por el que discurrirán los trayectos y esto ayudará a comprender mejor la dificultad de construir los carriles bici. Es necesario entender qué actividades se desarrollan en el territorio para asegurar que el carril bici tendrá una demanda real. Este mapa permite identificar; zonas residenciales, zonas productivas y dotacionales y oportunidades paisajísticas y barreras territoriales. El trazado debe actuar como eje vertebrador de áreas densamente pobladas, conectándolas directamente con el municipio de Rivas-Vaciamadrid, garantizando una gran masa de usuarios potenciales. El mapa muestra una elevada presencia de suelo industrial y logístico lo que confirma que el carril tendrá un fuerte componente de movilidad laboral. Se observan zonas con suelos agrícolas y espacios verdes lo que hace que parte del carril discurra por zonas naturales aprovechando estas zonas periurbanas.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Usos del suelo_page-0001 (1).jpg|600px]]
|-
| align="center" | Figura 4: Usos del suelo
|}

===Intermodalidad y Transporte Público===
El objetivo del análisis de la intermodalidad es evaluar la capacidad del trazado ciclista propuesto para funcionar como una infraestructura que potencie los modos de transporte público, en este caso el transporte ferroviario, permitiendo extender el radio de captación de las estaciones ferroviarias mucho más allá de la distancia caminable convencional. En el mapa se pueden observar dos capas de análisis:

* '''Accesibilidad al Eje''': representa el área de servicio directa del carril bici. Los residentes en esta franja tienen acceso peatonal inmediato a la infraestructura ciclista.
* '''Potencial Ciclista de las Estaciones''': representan la distancia que un usuario medio puede recorrer cómodamente en bicicleta en 10-12 minutos para acceder a una estación.

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 1: Intermodalidad
! Estación !! Ciudad Lineal !! Coslada Central !! Estadio Metropolitano !! Puerta de Arganda !! Vicálvaro !! San Fernando
|-
| style="text-align:left;" | '''Distancia''' (m)
| 3.320 m
| 283 m
| 275 m
| 220 m
| 508 m
| 3355 m
|-
|}

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Intermodalidad_page-0001_(1).jpg|600px]]
|-
| align="center" | Figura 5: Intermodalidad
|}
===Generadores de Movilidad===
En este análisis se explica la utilidad cotidiana del trayecto identificando las zonas más transitadas diariamente como colegios, universidades, centros comerciales y polígonos dentro del área de influencia del trazado (1.5km que son aproximadamente entre 5-7 minutos). El objetivo es demostrar que el corredor ciclista no solo cumple una función recreativa, sino que conecta centros de producción y formación, captando flujos de movilidad que normalmente se realizan en vehículo privado. La intersección de la zona de influencia del carril con los puntos de interés permite concluir que:

* Al conectar universidades y polígonos, se garantiza un uso intensivo del carril de lunes a viernes, complementando el uso deportivo que pueda tener los fines de semana.
* Casi la totalidad de los grandes generadores de movilidad de la zona quedan cubiertos por el radio de 1.5 km.
* Acerca servicios básicos a los barrios residenciales adyacentes, mejorando la calidad de vida urbana y la autonomía de quienes no disponen de vehículo privado.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Zonas_de_ocio.png|600px]]
|-
| align="center" | Figura 6: Generadores de Movilidad
|}

===Intersecciones===
El análisis de intersecciones constituye un aspecto clave para evaluar la seguridad y la viabilidad técnica de cada una de las alternativas del corredor ciclista. A lo largo de los distintos trayectos se han identificado y clasificado los puntos donde la infraestructura ciclista entra en contacto con otras vías, distinguiendo entre intersecciones de riesgo medio; vinculadas principalmente a calles urbanas, e intersecciones de riesgo alto, asociadas a carreteras convencionales y enlaces de gran capacidad.
Con el objetivo de representar esta información de manera homogénea para todas las alternativas, se generaron mapas temáticos en QGIS en los que se simbolizaron:

* '''Intersecciones de riesgo medio''': Representadas mediante puntos azules, corresponden a cruces con calles urbanas de baja y media intensidad de tráfico. En estos puntos el ciclista comparte espacio con vehículos en entornos relativamente controlados, aunque requieren medidas de pacificación del tráfico y señalización.
* '''Intersecciones de riesgo alto''': Representadas mediante rombos rojos, incluyen cruces con carreteras, pasos sobre autovías o accesos a enlaces complejos. Estos puntos presentan una mayor exposición al tráfico motorizado rápido y requieren soluciones de segregación o rediseño geométrico para garantizar la seguridad.

Los resultados del conteo para cada trayecto se resumen en la siguiente tabla:

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 2: Intersecciones identificadas por trayecto
! Trayecto !! Intersecciones de riesgo medio !! Intersecciones de riesgo alto
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 1 (Rivas–Vicálvaro)'''
| 22
| 4
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 2 (Rivas–Estadio Metropolitano)'''
| 16
| 10
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 3 (Rivas–Alameda de Osuna)'''
| 15
| 2
|-
| style="text-align:left;" |'''Conexión Cañaveral'''
| 16
| 1
|}

Estos valores proceden directamente de los mapas temáticos elaborados en QGIS, donde cada intersección ha sido revisada manualmente y categorizada en función del tipo de vía y del flujo de tráfico observable.

<gallery mode="packed" heights="250px">
Archivo:Intersecciones 1.jpg|Figura 7-A: Intersecciones Trayecto 1.
Archivo:Intersecciones 2.jpg|Figura 7-B: Intersecciones Trayecto 2.
Archivo:Intersecciones 3.jpg|Figura 7-C: Intersecciones Trayecto 3.
Archivo:Intersecciones 4.jpg|Figura 7-D: Intersecciones Cañaveral.
</gallery>

'''Interpretación de los resultados'''
* '''Trayecto 1''', presenta un número relativamente alto de intersecciones urbanas, aunque con una carga moderada de tráfico, lo que facilita su adaptación mediante actuaciones para reducir la velocidad del tráfico y señalización.
* '''Trayecto 2''', concentra el mayor número de intersecciones de riesgo alto (10), especialmente en los accesos a la M-40 y M-203, lo que incrementa notablemente su complejidad constructiva y reduce su viabilidad.
* '''Trayecto 3 y la Conexión Cañaveral''', muestran un equilibrio favorable, con pocos cruces de alta peligrosidad y una proporción mayor de intersecciones urbanas.

En términos de seguridad, las alternativas con menor número de intersecciones de riesgo alto resultan más adecuadas para un corredor interurbano destinado a fomentar la movilidad ciclista cotidiana.
Este análisis refuerza la evaluación global de las alternativas y contribuye a determinar cuáles ofrecen mejores condiciones de seguridad para su implementación dentro del corredor ciclista Rivas-Madrid.

===Síntesis de Resultados===
Como conclusión al análisis espacial realizado, se presenta una matriz de evaluación que integra las variables físicas, funcionales y ambientales. Esta matriz permite visualizar las diferentes características de las alternativas, y finalmente servirá para llegar a una conclusión sobre el trazado más óptimo mediante la comparación de los distintos trayectos.

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 3: Comparativa técnica de alternativas
! Criterio de Análisis !! Alternativa 1 (Rivas-Vicálvaro) !! Alternativa 2 (Rivas-Estadio Metropolitano) !! Alternativa 3 (Rivas-Alameda de Osuna)
|-
| style="text-align:left;" | '''Longitud Total''' (km)
| style="background:#e6ffe6;" | '''8,543 km''' ''(Más corta)''
| 11,53 km
| style="background:#ffe6e6;" | 12,316 km ''(Más larga)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Pendiente Media''' (%)
| 1,109 %
| 0,732 %
| style="background:#e6ffe6;" | '''0,477 %'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Población Servida''' (hab)
| 315.332 hab
| 352.670 hab
| style="background:#e6ffe6;" | '''411.502 hab''' ''(Máximo impacto)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Accesibilidad''' ''(Área isocrona 15 min)''
| Media
| Alta
| style="background:#e6ffe6;" | '''Muy Alta'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Intermodalidad''' ''(Nº Estaciones Metro/Cercanías)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''4 estaciones'''
| 3 estaciones
| 2 estaciones
|-
| style="text-align:left;" | '''Intersecciones''' ''(Peligrosidad de la ruta)''
| Media
| style="background:#ffe6e6;" | Muy Alta
| Baja
|-
| style="text-align:left;" | '''Coste''' ''(Precio total en millones de €; el coste por metro será 359,21€/m)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''3,068M€'''
| 4,142M€
| 4,424M€
|-
| style="text-align:left;" | '''Impacto Ambiental''' ''(Ahorro CO₂ potencial, considerando unos 500 usuarios diarios)''
| 1452 kg/día
| 1960 kg/día
| style="background:#e6ffe6;" | '''2094 kg/día'''
|}
El cálculo del ahorro potencial de emisiones se rige por la siguiente formula, considerando un desplazamiento de ida y vuelta:

<math>Ahorro_{diario} = (L \times 2) \times F_E \times N_{usuarios}</math>

Donde:
* <math>L</math>: Longitud del trazado (km).
* <math>F_E</math>: Factor de emisión del MITECO (0,17 kg CO2/km).
* <math>N_{usuarios}</math>: Estimación de demanda diaria (500 usuarios).

====Discusión de Resultados====

El análisis comparativo arroja tres perfiles de proyecto diferenciados:

* '''Alternativa 1''' (La Eficiente): Es la opción más económica y rápida de ejecutar debido a su menor longitud y menor número de intersecciones complejas. Sin embargo, su trazado periférico en Vicálvaro limita su capacidad para captar nuevos usuarios, funcionando más como una vía de paso rápida que como una alternativa distintiva.
* '''Alternativa 2''' (La Intermedia): Presenta un equilibrio entre coste y servicio. Su principal fortaleza es la conexión directa con el Estadio Cívitas Metropolitano, un gran generador de movilidad de ocio. No obstante, la dificultad de las intersecciones que presenta esta alternativa hacen que sea una alternativa imposible de llevar a cabo.
* '''Alternativa 3''' (La Vertebradora): A pesar de presentar la mayor longitud y complejidad técnica (mayores costes de construcción), es indiscutiblemente la opción con mayor rentabilidad social. Su carácter vertebrador reside en su capacidad para unir los diferentes nodos, conectando en una misma infraestructura áreas residenciales, grandes centros de empleo y nodos de transporte masivo.
** Demografía: Al ser la alternativa de mayor longitud, permite que la zona de influencia de la misma sea también la más grande lo que implica una mayor población servida.
** Funcionalidad: Aunque su intermodalidad directa (500m) no es la más característica, esto lo suple permitiendo la unión con otras líneas de Metro (Línea 5) que de otra forma resultaría difícil de conectar.
** Sinergia: No solo cumple con el objetivo de unirse al Anillo Verde ciclista, sino que también permite la conexión con grandes centros comerciales (Plenilunio) y polígonos industriales, así como también facilita el acceso a la línea 5 del Metro.

== Conclusiones ==
Tras el análisis multicriterio realizado, y ponderando las variables de funcionalidad, seguridad, coste e impacto social, las siguientes conclusiones son el resultado del proyecto:

*Selección de la Alternativa Óptima: Se determina que la Alternativa 3 es la solución más favorable. A pesar de requerir de una mayor inversión inicial, es la opción que maximiza la rentabilidad social del proyecto. Su trazado ofrece una pendiente más eficiente, lo que garantiza la accesibilidad de todas las personas, y sirve al mayor número de población, convirtiéndose así en un trayecto diferencial en los barrios del sureste de Madrid.
*Seguridad Vial: El análisis de intersecciones ha sido determinante para descartar la Alternativa 2, que presentaba una peligrosidad alta al tener una concentración de 10 intersecciones de riesgo alto. Esto supone una mayor complejidad técnica de la obra, haciéndola inviable al compararla con la seguridad que ofrece la Alternativa 3 o la Alternativa 1.
*Eficiencia o Servidumbre: Si bien la Alternativa 1 es excelente en términos de coste-eficiencia; menor precio y muy buena intermodalidad, su alcance es limitado. Se postula como una opción válida para una fase posterior de ampliación de la red, pero es insuficiente como eje principal al no conectar con grandes núcleos de empleo y ocio, quien si lo permite será la Alternativa 3.
*Conexión Cañaveral: Se concluye que esta conexión no es una obra opcional, sino un elemento estructural imprescindible. Sin este ramal, el nuevo desarrollo urbanístico quedaría aislado del anillo verde ciclista, y esto va en contra de las bases del proyecto. Su ejecución debe plantearse de forma simultánea al eje principal.
*Impacto Ambiental: La infraestructura propuesta tiene el potencial de reducir las emisiones en más de 2 toneladas de CO₂ diarios. Esto valida la inversión pública no solo como una mejora de la movilidad, sino como una herramienta estratégica de descarbonización y salud pública.

Es por todo ello que la alternativa elegida será la Alternativa 3 (Rivas-Alameda de Osuna), complementada por la Conexión en el Cañaveral.

== Referencias ==
* '''Ayuntamiento de Madrid. (2025). Bici. Infraestructura ciclista. Portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.''' https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

* '''Instituto Geográfico Nacional. (2025). Centro de Descargas del CNIG.''' https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

* '''Ayuntamiento de Rivas-Vaciamadrid. (2020). Infraestructura ciclista. Rivas Ciudad.''' https://www.rivasciudad.es/servicio/transporte-y-movilidad/2020/03/13/infraestructura-ciclista/862600127132/

* '''Ayuntamiento de Madrid. (2008). Costes y programación (Cap. 8.1.2.1). En Plan Director de Movilidad Ciclista de Madrid.''' https://www.madrid.es/UnidadesDescentralizadas/UrbanismoyVivienda/Urbanismo/PlanDirectorMovilidad/Costes/Ficheros/8-1-2-1-Costes.pdf

* '''Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico. (s.f.). Registro de huella de carbono, compensación y proyectos de absorción de dióxido de carbono.''' https://www.miteco.gob.es/es/cambio-climatico/temas/registro-huella.html

* '''Open Route Service (cálculo de las isócronas)''' https://openrouteservice.org/

== Anejo ==
A continuación se adjuntarán los perfiles longitudinales de cada uno de los trayectos
<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Recorrido 1.png|Figura 8-A: Perfil longitudinal Trayecto 1.
Archivo:Recorrido 2.png|Figura 8-B: Perfil longitudinal Trayecto 2.
Archivo:Recorrido 3.png|Figura 8-C: Perfil longitudinal Trayecto 3.
Archivo:RecorridoCanaveral.png|Figura 8-D: Perfil longitudinal Cañaveral.
</gallery>

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Archivo:Intersecciones 4.jpg

2025-12-03T18:02:53Z

Javier.mhidalgo2:

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T21:16:02Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

{{ TrabajoSIG | Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista. | Jorge Granadino Aranda Javier Martinez Hidalgo Hugo Sacristán de Agustín David Alejandro Tellechea Morales | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

Este proyecto aborda el diseño y estudio de viabilidad de la construcción de un nuevo eje de movilidad, el Corredor Ciclista Rivas-Madrid, cuyo objetivo es establecer una conexión segura y eficiente entre el municipio de Rivas-Vaciamadrid, con los diferentes núcleos urbanos del sureste de Madrid y principalmente con la capital.
Para lograr una conexión optima, se han analizado cuatro alternativas de trazado principales, que buscan unir Rivas con los distritos de Vicálvaro, San Blas, El Cañaveral y Alameda de Osuna.
El diseño de las diferentes alternativas se basa en la combinación de infraestructuras existentes y nuevas, gracias a la utilización de vías mixtas, tramos de carril bici existentes y la propuesta de nuevos tramos de carril bici.

== Introducción ==
El vertiginoso crecimiento demográfico de la ciudad de Madrid ha impulsado la necesidad de un desarrollo urbano más sostenible, buscando alternativas que reduzcan la dependencia del vehículo privado, mitiguen la contaminación y promuevan estilos de vida más activos y saludables.
Hoy, los accesos a la capital se encuentran permanentemente congestionados, un problema que afecta a municipios clave como Rivas-Vaciamadrid, donde la dependencia del vehículo privado genera una gran ineficiencia de los desplazamientos de media distancia y una alta contaminación.
Actualmente, la conexión ciclista entre Rivas-Vaciamadrid es discontinua e insegura, lo que desincentiva el uso diario de la bicicleta.
Ante esta situación, el presente proyecto propone una solución integral, el Estudio y diseño del Corredor Ciclista Rivas-Madrid. El trabajo se centra en la evaluación de 4 alternativas de trazado, utilizando una metodología que combina estratégicamente vías mixtas, carriles exclusivos segregados y nuevos tramos de construcción. Finalmente, el objetivo es seleccionar la ruta optima que además de ser segura y eficiente, contribuya a mitigar la congestión a los principales accesos de Madrid.

== Metodología ==

===Herramientas de Análisis y Fuentes de Datos===
Para la definición y evaluación de alternativas de trazado con origen en Rivas-Vaciamadrid, se emplearon Sistemas de Información Geográfica como es el caso de QGIS, utilizando como base cartográfica la capa Google Satellite Hybrid para una visualización precisa y representativa del entorno.
Asimismo, se integró la cartografía oficial de la infraestructura ciclista existente, obtenida a través del portal de datos abiertos del Ayuntamiento de Madrid.
Por otro lado, se han usado datos del Centro de Descargas del CNIG como los Modelos Digitales de Terreno de paso de malla 25 metros (MDT25); y a su vez, también se han utilizado dentro de QGIS datos de apoyo provistos por la herramienta de Open Street Maps, que han permitido con mayor certeza la obtención de las vías ciclistas fuera del Ayuntamiento de Madrid. Por último, para la realización de los cálculos de población se han usado aproximaciones en función de los datos de habitantes de los núcleos urbanos y las áreas que éstos ocupan.

===Criterios de Selección de Rutas===
La determinación de las diferentes alternativas de trazado se realizó teniendo en cuento diversos criterios, principalmente enfocados a la eficiencia y la seguridad. Se priorizaron rutas que ofrecían pendientes longitudinales suaves y una maximización de la población captada en el área de influencia. A su vez, se descartaron tramos con intersecciones peligrosas o de alta de densidad de tráfico. A parte, se llevaron a cabo trazados que beneficiasen al mayor número de núcleos posibles para optimizar la conexión al anillo ciclista.

===Solución Técnica y Adaptación de la Vía===
Se ha priorizado que nuestros trayectos sean paralelos a las carreteras, para en caso de necesitarlo ayudarse de la carretera haciendo un uso mixto de esta. Es por eso que se pueden diferenciar los siguientes diseños constructivos:

* Vías mixtas: Se estimó la adaptación de dichas carreteras convencionales mediante la adecuación de arcenes y la reducción del límite de velocidad. Estas medidas se refuerzan con la instalación de cojines berlineses para la reducción de la velocidad en zonas críticas, además de una completa señalización vertical y horizontal que advierta sobre la posible presencia de ciclistas.

* Tramos exclusivos para ciclistas: En las zonas en las que la segregación era necesaria, se diseño un carril bici protegido mediante bordillo, separando físicamente el flujo ciclista del trazado motorizado.

== Resultados ==

===Selección de los trazados===
En primer lugar; una vez elegido el punto de partida, se procede a realizar los trazados de los carriles bici que mejor se adapten a los criterios, en nuestro caso se ha llegado a la conclusión de que lo mejor sería hacer tres recorridos diferentes:

* Alternativa 1: Rivas-Vicálvaro, es un trayecto directo desde Rivas hacia el punto más cercano del anillo ciclista pasando por Vicálvaro, donde ya hay alguna vía mixta de la que aprovecharse.

* Alternativa 2: Rivas-Estadio Metropolitano, este trayecto iniciará igual que el anterior pero no entrará en Vicálvaro sino que se desviará hacia el norte y en el corte con la M-201 tomará el camino hacia el oeste para acabar en la incorporación al anillo del Estadio Metropolitano.

* Alternativa 3: Rivas-Alameda de Osuna, es el trayecto con mayor recorrido, seguirá el mismo recorrido que el anterior hasta el cruce con la M-201 que en este caso seguirá hacia el norte, finalizando el carril en Alameda de Osuna.

* Conexión Cañaveral: este trayecto será una conexión que complementará a los dos últimos caminos, facilitando el trafico desde el Cañaveral; otro núcleo sin una conexión al anillo, pasando por Coslada y a su vez enlazándose con los anteriores trayectos en el punto de separación de los mismos.

{| style="width: 100%; background: none; border: none;"
|-
| align="center" | [[Archivo:Trazados.jpg|600px]]
|}

===Zonas de Influencia y Usos del suelo===
Con el fin de estudiar la demanda potencial de los carriles con precisión, se han llevado a cabo un estudio tanto poblacional como de usos del suelo:

* Zonas de Influencia: servirán para calcular la población a la que afectan estos carriles, se considera un buffer de diámetro 2,5km que a su vez será intersecado con los núcleos poblacionales. A continuación, se llevará a cabo el cálculo de las poblaciones proporcionales usando como base el área original de cada núcleo y su respectiva población, que permitirá usando una función de proporción calcular los datos de la población afectada.

* Usos del suelo: se utilizará para conocer el terreno por el que discurrirán los trayectos y esto ayudará a comprender mejor la dificultad de construir los carriles bici.
<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Influencia1.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 1.
Archivo:Influencia2.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 2.
Archivo:Influencia3.jpg|Área de Influencia de la Alternativa 3.
Archivo:InfluenciaCanaveral.jpg|Área de Influencia de la Conexión Cañaveral.
</gallery>

===Análisis de accesibilidad===
Mientras que la zona de influencia mide la distancia física, las isócronas miden la accesibilidad temporal real. Utilizando el complemento OpenRouteService, se han calculado los polígonos de tiempo de viaje de 5, 10 y 15 minutos desde los puntos de acceso al carril.

* Efecto Barrera: El mapa de isócronas evidencia como las infraestructuras ferroviarias y las autovías actúan como barreras impermeables, reduciendo el área de captación efectiva tanto de la alternativa 2 como de la alternativa 3.
* Cobertura Efectiva: La alternativa de la conexión del Cañaveral ofrece la 'mancha' más homogénea, permitiendo que usuarios situados a grandes distancias accedan al carril en menos de 15 minutos gracias al entramado urbano favorable.
<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Isocronas1.jpg|Isócronas Alternativa 1.
Archivo:Isocronas2.jpg|Isócronas Alternativa 2.
Archivo:Isocronas3.jpg|Isócronas Alternativa 3.
Archivo:IsocronasCanaveral.jpg|Isócronas Conexión Cañaveral.
</gallery>

===Intermodalidad y Transporte Público===
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 1: Intermodalidad
! Estación !! Ciudad Lineal !! Coslada Central !! Estadio Metropolitano !! Puerta de Arganda !! Vicálvaro !! San Fernando
|-
| style="text-align:left;" | '''Distancia''' (m)
| 3.320 m
| 283 m
| 275 m
| 220 m
| 508 m
| 3355 m
|-
|}

===Zonas de Ocio===

===Intersecciones===
El análisis de intersecciones constituye un aspecto clave para evaluar la seguridad y la viabilidad técnica de cada una de las alternativas del corredor ciclista. A lo largo de los distintos trayectos se han identificado y clasificado los puntos donde la infraestructura ciclista entra en contacto con otras vías, distinguiendo entre intersecciones de riesgo medio —vinculadas principalmente a calles urbanas— e intersecciones de riesgo alto, asociadas a carreteras convencionales y enlaces de gran capacidad.

Con el objetivo de representar esta información de manera homogénea para todas las alternativas, se generaron mapas temáticos en QGIS en los que se simbolizaron:

*'''Intersecciones de riesgo medio'''
Representadas mediante puntos azules, corresponden a cruces con calles urbanas de baja y media intensidad de tráfico. En estos puntos el ciclista comparte espacio con vehículos en entornos relativamente controlados, aunque requieren medidas de pacificación del tráfico y señalización.

*'''Intersecciones de riesgo alto'''
Representadas mediante rombos rojos, incluyen cruces con carreteras, pasos sobre autovías o accesos a enlaces complejos. Estos puntos presentan una mayor exposición al tráfico motorizado rápido y requieren soluciones de segregación o rediseño geométrico para garantizar la seguridad.

Los resultados del conteo para cada trayecto se resumen en la siguiente tabla:
{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 2: Intersecciones identificadas por trayecto
! Trayecto !! Intersecciones de riesgo medio !! Intersecciones de riesgo alto
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 1 (Rivas–Vicálvaro)'''
| 22
| 4
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 2 (Rivas–Estadio Metropolitano)'''
| 16
| 10
|-
| style="text-align:left;" |'''Trayecto 3 (Rivas–Alameda de Osuna)'''
| 15
| 2
|-
| style="text-align:left;" |'''Conexión Cañaveral'''
| 16
| 1
|}

Estos valores proceden directamente de los mapas temáticos elaborados en QGIS, donde cada intersección ha sido revisada manualmente y categorizada en función del tipo de vía y del flujo de tráfico observable.

<gallery mode="packed" heights="200px">
Archivo:Intersecciones 1.jpg|Intersecciones Trayecto 1.
Archivo:Intersecciones 2.jpg|Intersecciones Trayecto 2.
Archivo:Intersecciones 3.jpg|Intersecciones Trayecto 3.
Archivo:Intersecciones4.png|Intersecciones Trayecto Cañaveral.
</gallery>

'''Interpretación de los resultados'''

* '''Trayecto 1''' presenta un número relativamente alto de intersecciones urbanas, aunque con una carga moderada de tráfico, lo que facilita su adaptación mediante actuaciones para reducir la velocidad del tráfico y señalización.

* '''Trayecto 2''' concentra el mayor número de intersecciones de riesgo alto (10), especialmente en los accesos a la M-40 y M-203, lo que incrementa notablemente su complejidad constructiva y reduce su viabilidad.

* '''Trayecto 3 y la Conexión Cañaveral''' muestran un equilibrio favorable, con pocos cruces de alta peligrosidad y una proporción mayor de intersecciones urbanas.

En términos de seguridad, las alternativas con menor número de intersecciones de riesgo alto resultan más adecuadas para un corredor interurbano destinado a fomentar la movilidad ciclista cotidiana.

Este análisis refuerza la evaluación global de las alternativas y contribuye a determinar cuáles ofrecen mejores condiciones de seguridad para su implementación dentro del corredor ciclista Rivas-Madrid.

===Síntesis de Resultados===
Como conclusión al análisis espacial realizado, se presenta una matriz de evaluación que integra las variables físicas, funcionales y ambientales. Esta matriz permite visualizar las diferentes características de las alternativas, y finalmente servirá para llegar a una conclusión sobre el trazado más óptimo mediante la comparación de los distintos trayectos.

{| class="wikitable center" style="text-align:center; width:100%;"
|+ Tabla 3: Comparativa técnica de alternativas
! Criterio de Análisis !! Alternativa 1 (Rivas-Vicálvaro) !! Alternativa 2 (Rivas-Estadio Metropolitano) !! Alternativa 3 (Rivas-Alameda de Osuna)
|-
| style="text-align:left;" | '''Longitud Total''' (km)
| style="background:#e6ffe6;" | '''8,543 km''' ''(Más corta)''
| 11,53 km
| style="background:#ffe6e6;" | 12,316 km ''(Más larga)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Población Servida''' (hab)
| 315.332 hab
| 352.670 hab
| style="background:#e6ffe6;" | '''411.502 hab''' ''(Máximo impacto)''
|-
| style="text-align:left;" | '''Pendiente Media''' (%)
| 1,109 %
| 0,732 %
| style="background:#e6ffe6;" | '''0,477 %'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Accesibilidad''' ''(Área isocrona 15 min)''
| Media
| Alta
| style="background:#e6ffe6;" | '''Muy Alta'''
|-
| style="text-align:left;" | '''Intermodalidad''' ''(Nº Estaciones Metro/Cercanías)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''4 estaciones'''
| 3 estaciones
| 2 estaciones
|-
| style="text-align:left;" | '''Coste''' ''(Precio total en millones de €; el coste por metro será 359,21€/m)''
| style="background:#e6ffe6;" | '''3,068M€'''
| 4,142M€
| 4,424M€
|-
| style="text-align:left;" | '''Impacto Ambiental''' ''(Ahorro CO₂ potencial, considerando unos 500 usuarios diarios)''
| 1452 kg/día
| 1960 kg/día
| style="background:#e6ffe6;" | '''2094 kg/día'''
|}
El cálculo del ahorro potencial de emisiones se rige por la siguiente formula, considerando un desplazamiento de ida y vuelta:

<math>Ahorro_{diario} = (L \times 2) \times F_E \times N_{usuarios}</math>

Donde:
* <math>L</math>: Longitud del trazado (km).
* <math>F_E</math>: Factor de emisión del MITECO (0,17 kg CO2/km).
* <math>N_{usuarios}</math>: Estimación de demanda diaria (500 usuarios).

====Discusión de Resultados====

El análisis comparativo arroja tres perfiles de proyecto diferenciados:

* Alternativa 1 (La Eficiente): Es la opción más económica y rápida de ejecutar debido a su menor longitud y menor número de intersecciones complejas. Sin embargo, su trazado periférico en Vicálvaro limita su capacidad para captar nuevos usuarios, funcionando más como una vía de paso rápida que como una alternativa distintiva.

* Alternativa 2 (La Intermedia): Presenta un equilibrio entre coste y servicio. Su principal fortaleza es la conexión directa con el Estadio Cívitas Metropolitano, un gran generador de movilidad de ocio. No obstante, la dificultad de las intersecciones que presenta esta alternativa hacen que sea una alternativa imposible de llevar a cabo.

* Alternativa 3 (La Vertebradora): A pesar de presentar la mayor longitud y complejidad técnica (mayores costes de construcción), es indiscutiblemente la opción con mayor rentabilidad social. Su carácter vertebrador reside en su capacidad para unir los diferentes nodos, conectando en una misma infraestructura áreas residenciales, grandes centros de empleo y nodos de transporte masivo.
** Demografía: Al ser la alternativa de mayor longitud, permite que la zona de influencia de la misma sea también la más grande lo que implica una mayor población servida.
** Funcionalidad: Aunque su intermodalidad directa (500m) no es la más característica, esto lo suple permitiendo la unión con otras líneas de Metro (Línea 5) que de otra forma resultaría difícil de conectar.
** Sinergia: No solo cumple con el objetivo de unirse al Anillo Verde ciclista, sino que también permite la conexión con grandes centros comerciales (Plenilunio) y polígonos industriales, así como también facilita el acceso a la línea 5 del Metro.

== Conclusiones ==

== Referencias ==

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T21:11:45Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Archivo:Intersecciones 3.jpg

2025-12-01T21:03:02Z

Javier.mhidalgo2:

Archivo:Intersecciones 2.jpg

2025-12-01T21:02:45Z

Javier.mhidalgo2:

Archivo:Intersecciones 1.jpg

2025-12-01T21:02:31Z

Javier.mhidalgo2:

Archivo:Intersecciones4.png

2025-12-01T20:49:44Z

Javier.mhidalgo2:

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:38:06Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:36:48Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:25:49Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:08:12Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:06:43Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T20:06:03Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Corredor ciclista Rivas-Madrid: Estudio del enlace principal con el Anillo Verde Ciclista.

2025-12-01T19:41:31Z

Javier.mhidalgo2: /* Intersecciones */

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T17:35:11Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta);
points_y = rho_max * sin(theta);

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado5_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==Sólido Antes y Después del Desplazamiento dado por el Campo de Vectores <math>\vec{u}</math>(Apartado 6)==

En este apartado, se ha representado el sólido antes y después de aplicar el desplazamiento definido por el campo de vectores <math>\vec{u}</math>.

'''Cálculo del Desplazamiento'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta,</math></center>
donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math>: es la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math>: es el ángulo polar.

• <math>\hat{e}_\theta</math>: es la dirección tangencial en coordenadas cilíndricas.

Para representar este desplazamiento en coordenadas cartesianas, se descompone <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> en las componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> :

<center><math>u_x = -u_\theta \sin(\theta), \quad u_y = u_\theta \cos(\theta),</math></center>

donde:
<center><math>u_\theta = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).</math></center>

De este modo, las nuevas posiciones de los puntos del sólido tras el desplazamiento son:

<center><math>x' = x + u_x, \quad y' = y + u_y.</math></center>
Se ha generado un mallado uniforme en el dominio<math> [−1,1]×[0,10]</math>, y las posiciones desplazadas de cada punto del mallado se han calculado.

{{matlab|codigo=
% Paso del mallado
h = 0.1;
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a componentes cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta);
U_y = U_theta .* cos(Theta);

% Nuevas posiciones tras el desplazamiento
X_new = X + U_x;
Y_new = Y + U_y;

% Crear la figura con subplot
figure;

% Subplot 1: Sólido inicial
subplot(1, 2, 1);
mesh(X, Y, 0*X); % Representación del sólido inicial
title("Sólido inicial")
view(2)
axis equal
ylim([0, 11]);
grid off
grid on
hold on
% Dibujar bordes del sólido inicial
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
hold off

% Subplot 2: Sólido desplazado y sin desplazar
subplot(1, 2, 2); % 1 fila, 2 columnas, segunda posición
hold on;
% Representar sólido sin desplazar (líneas azules)
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 3); % Sólido sin desplazar como puntos negros
% Representar sólido desplazado con flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, 1.5, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Flechas de desplazamiento en rojo
% Dibujar bordes del sólido sin desplazar
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
% Personalización del gráfico
title('Sólido desplazado y sin desplazar');
xlabel('x');
ylabel('y');
ylim([0, 11]);
axis equal;
grid on;
hold off;

% Configurar título general
sgtitle('Comparación: Sólido Inicial y Sólido Desplazado');
}}

[[Archivo:Apartado6_grupo13.jpg|marco|centro|]]

== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
[m,n]=size(rot);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if rot(i,j)>maxi
maxi=rot(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('El rotacional máximo es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,U(pos1,pos2),V(pos1,pos2))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando. Siendo el resultado que nos da Matlab en la ventana de comandos: El rotacional máximo es 0.375179 y se alcanza en las coordenadas 1.00, 1.60 en <math> \rho ,\theta </math> respectivamente.

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math></center> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

[[Archivo:TENSORTENSIONES.jpg|800px|thumb|center|Tensiones normales a cada dirección principal]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
rho_sigma_rho=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
theta_sigma_tetha=3*sin(2*pi*U/50).*cos(V);
z_sigma_z=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
figure(2)
subplot(2,2,1)
surf(U,V,rho_sigma_rho)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(U,V,theta_sigma_tetha)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(U,V,z_sigma_z)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('k·\sigma·k')
}}

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> está calculado en el apartado anterior (<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>), sólo nos queda la primera parte:
</math>. 

<center><math>\sigma \cdot\vec{e_\rho}=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0)'</math></center> 

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T17:32:08Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado5_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==Sólido Antes y Después del Desplazamiento dado por el Campo de Vectores <math>\vec{u}</math>(Apartado 6)==

En este apartado, se ha representado el sólido antes y después de aplicar el desplazamiento definido por el campo de vectores <math>\vec{u}</math>.

'''Cálculo del Desplazamiento'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta,</math></center>
donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math>: es la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math>: es el ángulo polar.

• <math>\hat{e}_\theta</math>: es la dirección tangencial en coordenadas cilíndricas.

Para representar este desplazamiento en coordenadas cartesianas, se descompone <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> en las componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> :

<center><math>u_x = -u_\theta \sin(\theta), \quad u_y = u_\theta \cos(\theta),</math></center>

donde:
<center><math>u_\theta = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).</math></center>

De este modo, las nuevas posiciones de los puntos del sólido tras el desplazamiento son:

<center><math>x' = x + u_x, \quad y' = y + u_y.</math></center>
Se ha generado un mallado uniforme en el dominio<math> [−1,1]×[0,10]</math>, y las posiciones desplazadas de cada punto del mallado se han calculado.

{{matlab|codigo=
% Paso del mallado
h = 0.1;
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a componentes cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta);
U_y = U_theta .* cos(Theta);

% Nuevas posiciones tras el desplazamiento
X_new = X + U_x;
Y_new = Y + U_y;

% Crear la figura con subplot
figure;

% Subplot 1: Sólido inicial
subplot(1, 2, 1);
mesh(X, Y, 0*X); % Representación del sólido inicial
title("Sólido inicial")
view(2)
axis equal
ylim([0, 11]);
grid off
grid on
hold on
% Dibujar bordes del sólido inicial
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
hold off

% Subplot 2: Sólido desplazado y sin desplazar
subplot(1, 2, 2); % 1 fila, 2 columnas, segunda posición
hold on;
% Representar sólido sin desplazar (líneas azules)
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 3); % Sólido sin desplazar como puntos negros
% Representar sólido desplazado con flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, 1.5, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Flechas de desplazamiento en rojo
% Dibujar bordes del sólido sin desplazar
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
% Personalización del gráfico
title('Sólido desplazado y sin desplazar');
xlabel('x');
ylabel('y');
ylim([0, 11]);
axis equal;
grid on;
hold off;

% Configurar título general
sgtitle('Comparación: Sólido Inicial y Sólido Desplazado');
}}

[[Archivo:Apartado6_grupo13.jpg|marco|centro|]]

== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
[m,n]=size(rot);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if rot(i,j)>maxi
maxi=rot(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('El rotacional máximo es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,U(pos1,pos2),V(pos1,pos2))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando. Siendo el resultado que nos da Matlab en la ventana de comandos: El rotacional máximo es 0.375179 y se alcanza en las coordenadas 1.00, 1.60 en <math> \rho ,\theta </math> respectivamente.

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math></center> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

[[Archivo:TENSORTENSIONES.jpg|800px|thumb|center|Tensiones normales a cada dirección principal]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
rho_sigma_rho=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
theta_sigma_tetha=3*sin(2*pi*U/50).*cos(V);
z_sigma_z=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
figure(2)
subplot(2,2,1)
surf(U,V,rho_sigma_rho)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(U,V,theta_sigma_tetha)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(U,V,z_sigma_z)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('k·\sigma·k')
}}

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> está calculado en el apartado anterior (<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>), sólo nos queda la primera parte:
</math>. 

<center><math>\sigma=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T17:30:14Z

Javier.mhidalgo2: /* (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado5_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==Sólido Antes y Después del Desplazamiento dado por el Campo de Vectores <math>\vec{u}</math>(Apartado 6)==

En este apartado, se ha representado el sólido antes y después de aplicar el desplazamiento definido por el campo de vectores <math>\vec{u}</math>.

'''Cálculo del Desplazamiento'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta,</math></center>
donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math>: es la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math>: es el ángulo polar.

• <math>\hat{e}_\theta</math>: es la dirección tangencial en coordenadas cilíndricas.

Para representar este desplazamiento en coordenadas cartesianas, se descompone <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> en las componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> :

<center><math>u_x = -u_\theta \sin(\theta), \quad u_y = u_\theta \cos(\theta),</math></center>

donde:
<center><math>u_\theta = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right).</math></center>

De este modo, las nuevas posiciones de los puntos del sólido tras el desplazamiento son:

<center><math>x' = x + u_x, \quad y' = y + u_y.</math></center>
Se ha generado un mallado uniforme en el dominio<math> [−1,1]×[0,10]</math>, y las posiciones desplazadas de cada punto del mallado se han calculado.

{{matlab|codigo=
% Paso del mallado
h = 0.1;
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a componentes cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta);
U_y = U_theta .* cos(Theta);

% Nuevas posiciones tras el desplazamiento
X_new = X + U_x;
Y_new = Y + U_y;

% Crear la figura con subplot
figure;

% Subplot 1: Sólido inicial
subplot(1, 2, 1);
mesh(X, Y, 0*X); % Representación del sólido inicial
title("Sólido inicial")
view(2)
axis equal
ylim([0, 11]);
grid off
grid on
hold on
% Dibujar bordes del sólido inicial
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
hold off

% Subplot 2: Sólido desplazado y sin desplazar
subplot(1, 2, 2); % 1 fila, 2 columnas, segunda posición
hold on;
% Representar sólido sin desplazar (líneas azules)
plot(X, Y, 'k.', 'MarkerSize', 3); % Sólido sin desplazar como puntos negros
% Representar sólido desplazado con flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, 1.5, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Flechas de desplazamiento en rojo
% Dibujar bordes del sólido sin desplazar
plot([-1, 1], [0, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([1, 1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, 1], [10, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
plot([-1, -1], [0, 10], 'b', 'LineWidth', 2);
% Personalización del gráfico
title('Sólido desplazado y sin desplazar');
xlabel('x');
ylabel('y');
ylim([0, 11]);
axis equal;
grid on;
hold off;

% Configurar título general
sgtitle('Comparación: Sólido Inicial y Sólido Desplazado');
}}

[[Archivo:Apartado6_grupo13.jpg|marco|centro|]]

== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
[m,n]=size(rot);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if rot(i,j)>maxi
maxi=rot(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('El rotacional máximo es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,U(pos1,pos2),V(pos1,pos2))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando. Siendo el resultado que nos da Matlab en la ventana de comandos: El rotacional máximo es 0.375179 y se alcanza en las coordenadas 1.00, 1.60 en <math> \rho ,\theta </math> respectivamente.

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math></center> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

[[Archivo:TENSORTENSIONES.jpg|800px|thumb|center|Tensiones normales a cada dirección principal]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
rho_sigma_rho=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
theta_sigma_tetha=3*sin(2*pi*U/50).*cos(V);
z_sigma_z=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
figure(2)
subplot(2,2,1)
surf(U,V,rho_sigma_rho)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(U,V,theta_sigma_tetha)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(U,V,z_sigma_z)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('k·\sigma·k')
}}

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==
Dichas tensiones vienen definidas por la expresión: 
<center><math>|\sigma\cdot\vec{e_\rho}-(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})\vec{e_\rho}|</math></center> 
Puesto que <math>(\vec{e_\rho}\cdot\sigma\cdot\vec{e_\rho})</math> está calculado en el apartado anterior, sólo nos queda la primera parte:
</math>. 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T17:25:17Z

Javier.mhidalgo2: /* Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado5_grupo13.jpg|marco|centro|]]

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
[m,n]=size(rot);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if rot(i,j)>maxi
maxi=rot(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('El rotacional máximo es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,U(pos1,pos2),V(pos1,pos2))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando. Siendo el resultado que nos da Matlab en la ventana de comandos: El rotacional máximo es 0.375179 y se alcanza en las coordenadas 1.00, 1.60 en <math> \rho ,\theta </math> respectivamente.

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math></center> 
<center><math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center> 

[[Archivo:TENSORTENSIONES.jpg|800px|thumb|center|Tensiones normales a cada dirección principal]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
rho_sigma_rho=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
theta_sigma_tetha=3*sin(2*pi*U/50).*cos(V);
z_sigma_z=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
figure(2)
subplot(2,2,1)
surf(U,V,rho_sigma_rho)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(U,V,theta_sigma_tetha)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(U,V,z_sigma_z)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('k·\sigma·k')
}}

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Archivo:Apartado6 grupo13.jpg

2024-12-09T17:24:16Z

Javier.mhidalgo2:

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T16:29:53Z

Javier.mhidalgo2: /* Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado5_grupo13.jpg|marco|centro|]]]

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math></center> 
<center><math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

[[Archivo:TENSORTENSIONES.jpg|600px|thumb|center|Tensiones normales a cada dirección principal]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Coordenadas r y t
r=-1:h:1;
t=0:h:10;
%% Cálculo de coordenadas
[U,V]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula
X=U.*cos(V); %parametrización
Y=U.*sin(V);
mesh(U,V,0*U)
rho_sigma_rho=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
theta_sigma_tetha=3*sin(2*pi*U/50).*cos(V);
z_sigma_z=sin(2*pi*U/50).*cos(V);
figure(2)
subplot(2,2,1)
surf(U,V,rho_sigma_rho)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10]);
colorbar
title('i·\sigma·i')
subplot(2,2,2)
surf(U,V,theta_sigma_tetha)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('j·\sigma·j')
subplot(2,2,3.5)
surf(U,V,z_sigma_z)
view(3)
axis equal
axis([-1,1,0,10])
colorbar
title('k·\sigma·k')
}}

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Archivo:Apartado5 grupo13.jpg

2024-12-09T16:28:08Z

Javier.mhidalgo2:

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T16:26:13Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4_grupo13.jpg|marco|centro|]]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T16:22:03Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

[[Archivo:Apartado4 grupo13|miniaturadeimagen]]

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente: (siendo <math>\nabla\vec{u}</math> el gradiente en cilíndricas del campo proporcionado) <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Archivo:Apartado4 grupo13.jpg

2024-12-09T16:20:06Z

Javier.mhidalgo2:

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T11:23:12Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T11:22:56Z

Javier.mhidalgo2: /* Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T11:22:32Z

Javier.mhidalgo2: /* Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

==Campo de Desplazamientos en los puntos del mallado del sólido. (Apartado 5)==

En este apartado se ha representado el campo de desplazamientos en los puntos del mallado del sólido y se ha identificado si existen puntos que permanecen fijos.

'''Cálculo del Campo de Desplazamientos.'''

El desplazamiento está definido en coordenadas cilíndricas como:

<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2\pi \rho}{50}\right) \hat{e}_\theta ,</math></center>

donde:

• <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> representa la distancia radial desde el origen.

• <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)</math> es el ángulo polar.

Para su representación en el plano cartesiano, el desplazamiento tangencial <math>\vec{u}_\theta</math> se ha descompuesto en componentes <math>u_x</math> y <math>u_y</math> como:

<center><math> u_x = -u_\theta \sin(\theta),u_y = u_\theta \cos(\theta) </math></center>

Se ha generado un mallado uniforme en el dominio <math>[−1,1]×[0,10]</math>, y el desplazamiento en cada punto del mallado se ha calculado y representado gráficamente.

'''Identificación de Puntos Fijos'''

Los puntos del sólido que permanecen fijos cuando <math>\vec{u} = 0</math> , las condiciones bajo las cuales el desplazamiento se anula son las siguientes:

1. La magnitud del desplazamiento es nula en:
<center><math>\rho = 0 \quad \text{(el origen)} \quad \text{y cuando} \quad \sin(\theta) = 0.</math></center>

• Para <math>\rho = 0</math>, el desplazamiento es nulo debido a la dependencia radial del término.

• Para <math>\sin(\theta) = 0</math>, el desplazamiento es nulo en las direcciones <math>\theta = 0</math> y <math>\theta = \pi</math>, que corresponden al eje <math>x</math>.

Por tanto, los puntos fijos identificados son:

• El origen <math>(x = 0, y = 0).</math>

• Los puntos a lo largo del eje <math>x (y=0 </math> o <math> y=10).</math>

{{matlab|codigo=
% Mallado del sólido
h = 0.1; % Paso del mallado
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas cilíndricas
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
Theta = atan2(Y, X); % Ángulo polar

% Cálculo del desplazamiento tangencial
U_theta = Rho .* sin(Theta) .* sin(2*pi*Rho/50);

% Convertir desplazamiento a coordenadas cartesianas
U_x = -U_theta .* sin(Theta); % Componente en x
U_y = U_theta .* cos(Theta); % Componente en y

% Dibujar el rectángulo (borde de la placa)
figure;
hold on;
rectangle('Position', [-1, 0, 2, 10], 'EdgeColor', 'b', 'LineWidth', 2); % Rectángulo

% Dibujar el campo de desplazamientos (flechas ampliadas)
scale = 2; % Escala de ampliación de las flechas
quiver(X, Y, U_x, U_y, scale, 'r'); % Campo de vectores con escala ajustada

% Personalización del gráfico
title('Campo de desplazamientos y bordes del sólido (flechas ampliadas)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13

2024-12-09T10:58:09Z

Javier.mhidalgo2: /* Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4) */

{{ TrabajoED | Representación y Análisis de Campos Físicos en una Columna Recta. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |César Abraham Vélez Rebollo Javier Martínez Hidalgo Héctor López de los Mozos Pérez Sandra Fuzhen Rodríguez Ibáñez}}

Estudiaremos una sección transversal de una columna recta que ocupa la región, en coordenadas cartesianas, <math>[-1, 1] \times [0, 10]</math>.
La variación de la temperatura (T) en cada punto de la columna viene definida por la función en coordenadas cilíndricas:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Los desplazamientos que sufre por la acción de una fuerza externa determinada, con el vector de posición
<center><math>\rho \hat{\mathbf{e}}_{\rho} + z \hat{\mathbf{e}}_z</math></center>
son los siguientes:
<center><math>\vec{u}(\rho, \theta) = \rho \sin(\theta) \sin\left(\frac{2 \pi \rho}{50}\right) \, \hat{\mathbf{e}}_{\theta}</math></center>
Tomaremos como función de densidad de los puntos de la columna la siguiente expresión:
<center><math>d(\rho, \theta) = (2 - \rho)\left(4 - \cos\left(4\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right)\right)\right)</math></center>

==Mallado de los puntos interiores del sólido (Apartado 1)==
Comenzaremos dibujando el mallado de nuestra columna; y para ello usaremos el siguiente código de Matlab:
{{matlab|codigo=
%MALLADO DE LA COLUMNA
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
title("Mallado de la columna")
view(2)
axis equal
axis tight
grid off
hold on
plot([-1,1],[0,0],'b')
plot([1,1],[0,10],'b')
plot([-1,1],[10,10],'b')
plot([-1,-1],[0,10],'b')
hold off
}}
[[Archivo:Malladogrupo13aaa.jpg|marco|centro|Mallado de los puntos de la columna]]

==Curvas de nivel y gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math> (Apartado 2)==
La temperatura viene definida por la siguiente función:
<center><math>T(\rho, \theta) = \sin(2 \pi \rho)</math></center>
Pasada a coordenadas cartesianas sería:
<center><math>T(x,y) = \sin(2 \pi \sqrt{x^2 + y^2})</math></center>
Con el siguiente código, se obtienen las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
%GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE T
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
figure
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mz=sin(2*pi*sqrt((Mx.^2+My.^2))); %la función está pasada a cartesianas
contour(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Curvas de nivel de T')
figure
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+8My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
axis equal
axis tight
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente de T')
[m,n]=size(Mz);
maxi=0;
for i=1:m
for j=1:n
if Mz(i,j)>maxi
maxi=Mz(i,j);
pos1=i;
pos2=j;
end
end
end
fprintf('La temperatura máxima es %f y se alcanza en las coordenadas %.2f, %.2f\n',maxi,Mx(pos1,pos2),My(pos1,pos2))
}}
[[Archivo:Curvastempgrupo13.jpg|marco|centro|Curvas de nivel de la temperatura T]]
[[Archivo:GradientedeTgrupo13.jpg|marco|centro|Gradiente de la temperatura <math>\nabla T</math>]]
El valor del máximo, almacenado en la variable maxi, es 0.999989 y se alcanza en el punto de coordenadas (-0.90,8.20)

==Flujo de energía calórica <math>\vec{Q}</math> (Apartado 3)==
Una vez tengamos el gradiente, es muy fácil calcular el flujo de energía calórica, puesto que el coeficiente de conductividad térmica de la placa es igual a 1:
<center><math>\vec{Q} = -k \nabla T</math></center>
El gradiente de T lo obtenemos de derivar la función de T, en cartesianas, respecto de x e y. Nos queda como:
<center><math>\nabla T = \frac{2 \pi x \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{i} + \frac{2 \pi y \cos \left( 2 \pi \sqrt{x^2 + y^2} \right)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat{j}</math></center>
Con el siguiente programa hallamos su representación:
{{matlab|codigo=
%CAMPO VECTORIAL Q
h=1/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:10;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx.*00);
Mi=(2*pi*Mx.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
Mj=(2*pi*My.*cos(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2)))./(sqrt(Mx.^2+My.^2));
quiver(Mx,My,-Mi,-Mj)
hold on
Mz=sin(2*pi*sqrt(Mx.^2+My.^2));
contour(Mx,My,Mz)
axis equal
axis tight
title('Campo vectorial Q')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
[[Archivo:CampoQgrupo13.jpg|marco|centro|Representación del campo vectorial <math>\vec{Q}</math>]]

==Puntos y dirección de la variación mayor de temperatura (Apartado 4)==

En este apartado se ha determinado analíticamente en qué punto y en qué dirección la variación de temperatura es mayor, y se ha representado gráficamente en la placa mediante un conjunto de puntos rojos, que en este caso forman un semicírculo.

'''Cálculo del Gradiente de Temperatura'''

La temperatura está definida como:
<center><math>T(ρ,θ)=sin⁡(2πρ),</math></center>
donde:;

• <math> ρ=\sqrt{x^2 + y^2} </math> es la distancia radial desde el origen.

• La temperatura no depende de <math>θ</math>, lo que simplifica los cálculos del gradiente.

El gradiente de temperatura se expresa como:

<center><math>\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho} \hat{e}_\rho = 2\pi \cos(2\pi \rho) \hat{e}_\rho.</math></center>

La magnitud del gradiente, que indica la variación de temperatura, es:

<center><math>|\nabla T| = |2\pi \cos(2\pi \rho)|.</math></center>

La máxima variación ocurre cuando:

<center><math>|\cos(2\pi \rho)| = 1.</math></center>

Esto se da para valores de <math>ρ=n/2, \in \mathbb{Z}.</math> Dentro del dominio considerado <math>(x∈[−1,1], y∈[0,10])</math>, el primer valor relevante es:

<center><math>\rho = 0.5.</math></center>.

Por tanto, los puntos donde la variación de temperatura es máxima forman un semicírculo de radio 0.5 centrado en el origen.

'''Dirección de Variación Máxima'''

El gradiente de temperatura apunta siempre en la dirección radial <math>\hat{e}_\rho</math>. Dado que se considera únicamente el rango positivo de <math>cos⁡(2πρ)</math>, la dirección de máxima variación de temperatura corresponde a un vector alejándose del origen.

{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1; % Paso de muestreo
x = -1:h:1; % Eje x
y = 0:h:10; % Eje y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Cálculo de la temperatura
Rho = sqrt(X.^2 + Y.^2); % Distancia radial
T = sin(2*pi*Rho); % Temperatura en la placa

% Gradiente de temperatura
dT_drho = 2*pi*cos(2*pi*Rho);

% Puntos de máxima variación de temperatura (semicírculo para rho = 0.5)
rho_max = 0.5; % Radio del semicírculo
theta = linspace(0, pi, 100); % Valores de theta en [0, pi]
points_x = rho_max * cos(theta); % Coordenadas x del semicírculo
points_y = rho_max * sin(theta); % Coordenadas y del semicírculo

% Graficar la placa
figure;
contourf(X, Y, T, 20, 'LineColor', 'none'); % Contorno de temperatura
colorbar;
hold on;

% Representar gradiente con quiver
[U, V] = gradient(T, h); % Cálculo del gradiente en x, y
quiver(X, Y, U, V, 'k'); % Vectores de gradiente

% Dibujar el semicírculo de puntos de máxima variación
plot(points_x, points_y, 'ro', 'MarkerSize', 5, 'MarkerFaceColor', 'r'); % Puntos del semicírculo

% Personalización de la gráfica
title('Campo de Temperatura y Máxima Variación en la Columna');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-1, 1]);
ylim([0, 10]);
grid on;
hold off;
}}

==(Apartado 5)==
==(Apartado 6)==
== Análisis y representación de <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> (Apartado 7)==
La divergencia de un campo vectorial en cilíndricas viene definida por:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·\vec{ u_ρ })+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·\vec u_z })]</math></center>
 
La divergencia es un escalar que representa la diferencia entre el flujo saliente y el entrante de un campo vectorial. Particularizando para nuestro campo vectorial proporcionado en el enunciado <math>\vec{u}(ρ, θ) = \rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \vec{e_\theta} </math>, se opera y resulta:
<center><math>\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{ρ}\cdot[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho·0)+\frac{\partial}{\partial{\theta}}({\rho\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec u_\theta })+\frac{\partial}{\partial{z}}({\rho·0})]</math></center>

<center><math>=\frac{1}{ρ}\cdot[\rho\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)]</math></center>
<center><math>= sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math></center>

 

[[Archivo:divergencia_2d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 2D]]
[[Archivo:divergencia_3d.jpg|400px|thumb|center|Divergencia del campo u representada en 3D]]

{{matlab|codigo=
%% Divergencia
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
div=sin(2*pi.*V/50).*cos(Y);
surf(U,V,div)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
title("Divergencia de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
maximo=max(max(div))
minimo=min(min(div))
}}

Se puede apreciar el cambio de volumen local debido al desplazamiento sobre todo en la gráfica 3D. Además, gracias a los últimos dos comandos podemos analizar los puntos donde la divergencia es máxima y mínima siendo:

<center><math>Divergencia_{máxima} = 0.9511</math> 
<math>Divergencia_{mínima} = 0</math></center>
 

== Análisis y representación de <math>|\nabla \times \vec{u}|</math> (Apartado 8)==
El rotacional de un campo vectorial en cilíndricas viene dado por:
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec u_ρ & \vec ρu_θ & \vec u_z \end{matrix}\right|</math></center> 

El resultado (que se trata de un vector), muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Particularizando a nuestro campo proporcionado por el enunciado <math>\vec{u}=sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\vec{u_θ}</math> resulta:

<center><math>=\frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & \vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot [sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})]\vec{u_θ} & 0 \end{matrix}\right| = [(2\cdot sin(\theta)\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50}))+(\rho \cdot sin(\theta)\cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot cos(\frac{2\pi\rho}{50}))]\vec{e_z}</math>.</center> 

[[Archivo:Rotacional_2d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 2D]]
[[Archivo:Rotacional_3d.jpg|400px|thumb|center|Rotacional del campo u representado en 3D]]

{{matlab|codigo=
figure(2)
view(2)
axis([-1,1,0,10]);
axis equal
rot=(sin(V).*2.*sin(2*pi*U/50))+(sin(V).*U.*(2*pi/50).*cos(2*pi*U/50));
surf(U,V,rot)
colorbar
axis([-1,1,0,10])
axis equal
view(3)
maximo=max(max(rot))
}}

El punto de mayor rotacional se puede sacar de forma analítica gracias al último comando:
<center><math>Rotacional_{máximo} = 0.3752</math> </center>

== Tensor de tensiones(Apartado 9)==
En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones a través de <math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon</math> 

Donde 1 es el tensor identidad, <math>\lambda=\mu=1</math> , <math>\epsilon</math> es el tensor deformaciones que viene dado por <math>\epsilon(\vec{u})=(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^t)/2</math> y <math>\nabla\cdot\vec{u}</math> es la divergencia del campo <math>\vec{u}</math>. 
<center><math>\sigma=\begin{pmatrix} \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0 & 0\\ 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}+ 2 \begin{pmatrix} 0 & \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ \frac{sin(\theta)}{2}\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math></center> 

La matriz <math>\epsilon</math> se saca tras operar lo siguiente <center><math>= \frac{1}{2} \cdot [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ 0 & sin(\frac{2\pi\rho}{50}) \cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]</math></center> 
Resultando que la matriz de tensiones es:

<center><math>\sigma=\lambda\nabla\cdot\vec{u}1+2\mu\epsilon=\begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix}</math></center> 

A pesar de que los desplazamientos son planos, las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en dirección ortogonal a la superficie de la placa. Para sacarlas, habiendo calculado la matriz <math>\sigma </math> sólo debemos multiplicar por dicha dirección antes y después de la matriz:

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\rho}</math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=(1,0,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (1,0,0) </math> 
<math>\vec{e_\rho}·\sigma·\vec{e_\rho}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_\theta}</math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=(0,1,0)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,1,0) </math> 
<math>\vec{e_\theta}·\sigma·\vec{e_\theta}=3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math> 

Tensiones normales en la dirección <math>\vec{e_z}</math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=(0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}\sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 0\\ sin(\theta)\cdot (sin(\frac{2\pi\rho}{50})+\rho \cdot \frac{2\pi\rho}{50} \cdot (cos(\frac{2\pi\rho}{50})) & 3\cdot sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) & 0\\ 0 & 0 & \sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta) \end{pmatrix} \cdot (0,0,1) </math> 
<math>\vec{e_z}·\sigma·\vec{e_z}=sin(\frac{2\pi\rho}{50})\cdot cos(\theta)</math>

== Tensiones tangeciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e_\rho}</math>(Apartado 10)==

== Tensión de Von Mises (Apartado 11)==
La tensión de Von Mises, \( \sigma_{VM} \), se calcula utilizando la fórmula:
<center><math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} \left[ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right]}</math></center>
Donde:

- \( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \) son los autovalores (tensiones principales) del tensor de tensiones \( \sigma \).

- \( \sigma \) es una matriz \( 3 \times 3 \) que contiene las tensiones normales y de corte en las direcciones principales.

1. Definir el tensor de tensiones \( \sigma \):

- El tensor \( \sigma \) es una matriz que representa las tensiones en un punto. Se da o se calcula en función de las condiciones del problema. Aquí asumimos un ejemplo general:

<center><math>\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}.
</math></center>

2. Calcular los autovalores (\( \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \)):

- Usamos el comando eig.m para calcular los autovalores de \( \sigma \).

3. Calcular \( \sigma_{VM} \):

- Sustituimos los autovalores en la fórmula de la tensión de Von Mises.

4. Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises:

- Iteramos sobre los puntos del dominio, calculamos \( \sigma_{VM} \) en cada uno, y localizamos el valor máximo.

5. Visualizar la tensión de Von Mises:

- Graficar la tensión de Von Mises en el dominio.

- Marcar el punto de máxima tensión en el gráfico

[[Archivo:Foto11.2.jpg|400px|thumb|center|Tensión de Von Mises en el dominio]]

{{matlab|codigo=
>> % Dominio del sólido
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Tensor de tensiones sigma (ejemplo simplificado)
sigma_xx = X.^2 + Y.^2;
sigma_yy = X + Y;
sigma_zz = X.^2 - Y.^2;
tau_xy = X .* Y;
tau_xz = zeros(size(X));
tau_yz = zeros(size(X));

% Matriz de tensiones
sigma_vm = zeros(size(X));

% Cálculo de σVM en cada punto
for i = 1:numel(X)
% Tensor de tensiones en un punto
sigma = [sigma_xx(i), tau_xy(i), tau_xz(i);
tau_xy(i), sigma_yy(i), tau_yz(i);
tau_xz(i), tau_yz(i), sigma_zz(i)];

% Autovalores del tensor de tensiones
eigenvalues = eig(sigma);
sigma1 = eigenvalues(1);
sigma2 = eigenvalues(2);
sigma3 = eigenvalues(3);

% Tensión de Von Mises
sigma_vm(i) = sqrt(0.5 * ((sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^2));
end

% Identificar el punto de máxima tensión de Von Mises
[max_vm, idx_max] = max(sigma_vm(:));
[x_max, y_max] = ind2sub(size(X), idx_max);

% Graficar tensión de Von Mises
figure;
contourf(X, Y, sigma_vm, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
hold on;

% Marcar el punto de máxima tensión
plot(X(x_max, y_max), Y(x_max, y_max), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
title('Tensión de Von Mises y Punto de Máxima Tensión');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa(Apartado 12)==
El campo de fuerzas \( \vec{F} \) que actúa sobre la placa se calcula como:

<center><math>\vec{F} = -\nabla \cdot \sigma</math></center>

donde:

- \( \sigma \) es el tensor de tensiones, que en el Apartado 9 está definido como:

<center><math>\sigma = \lambda (\nabla \cdot \vec{u}) \mathbf{I} + 2\mu \varepsilon</math></center>

con:

- \( \varepsilon = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^T) \), el tensor de deformaciones.

- \( \mathbf{I} \), el tensor identidad.

- \( \lambda = 1 \) y \( \mu = 1 \), los coeficientes de Lamé dados.

La divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \) se calcula fila a fila para obtener las componentes del campo de fuerzas.

Para resolver:

1. Definir el campo de desplazamientos \( \vec{u} = (u_x, u_y) \):

- \( \vec{u} \) es el campo que causa las deformaciones.

2. Calcular el tensor de deformaciones \( \varepsilon \):

- Calculamos las componentes de \( \varepsilon \) en términos de las derivadas parciales de \( u_x \) y \( u_y \).

3. Calcular el tensor de tensiones \( \sigma \):

- Sustituimos \( \nabla \cdot \vec{u} \) y \( \varepsilon \) en la expresión de \( \sigma \).

4. Divergencia del tensor de tensiones \( \nabla \cdot \sigma \):

- Calculamos las derivadas parciales de las filas de \( \sigma \).

5. Campo de fuerzas \( \vec{F} \):

- Calculamos \( -\nabla \cdot \sigma \).

6. Representación gráfica:

- Graficamos el campo de fuerzas \( \vec{F} \) sobre el dominio de la placa.

[[Archivo:Foto12.2.jpg|400px|thumb|center|Campo de fuerzas <math>\vec{F}</math>
sobre el dominio de la placa]]
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Desplazamiento u
u_x = -X .* sin(Y);
u_y = Y .* cos(X);

% Gradiente del desplazamiento
[du_x_dx, du_x_dy] = gradient(u_x, h);
[du_y_dx, du_y_dy] = gradient(u_y, h);

% Tensor de deformaciones ε
epsilon_xx = du_x_dx;
epsilon_yy = du_y_dy;
epsilon_xy = 0.5 * (du_x_dy + du_y_dx);

% Divergencia de u
div_u = du_x_dx + du_y_dy;

% Tensor de tensiones σ
sigma_xx = div_u + 2 * epsilon_xx;
sigma_yy = div_u + 2 * epsilon_yy;
sigma_xy = 2 * epsilon_xy;

% Divergencia del tensor de tensiones ∇·σ
[dsigma_xx_dx, ~] = gradient(sigma_xx, h);
[~, dsigma_xy_dy] = gradient(sigma_xy, h);
[dsigma_xy_dx, ~] = gradient(sigma_xy, h);
[~, dsigma_yy_dy] = gradient(sigma_yy, h);

% Componentes del campo de fuerzas F
F_x = -(dsigma_xx_dx + dsigma_xy_dy);
F_y = -(dsigma_xy_dx + dsigma_yy_dy);

% Representación gráfica del campo de fuerzas
figure;
quiver(X, Y, F_x, F_y, 'b');
title('Campo de Fuerzas \bfF');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}

==Masa total(Apartado 13)==
La masa total del sólido se calcula como:

<center><math>\text{Masa total} = \int_V d(x, y) \, dA</math></center>

donde:

- \( d(x, y) = (2 - |x|)(4 - y) \) es la densidad de la placa.

- \( dA = dx \, dy \) es el diferencial de área en el plano.

El dominio de integración está definido en el problema como una placa rectangular:

<center><math>x \in [-1, 1], \quad y \in [0, 10]</math></center>

Aproximación numérica

La integral será aproximada usando una cuadrícula discreta en el dominio \((x, y)\), con un paso \(h\).

La suma de las densidades en cada punto multiplicada por el diferencial de área \((h^2)\) dará una estimación de la masa total.

Lo que da una masa total de 31.31
{{matlab|codigo=
% Dominio de la placa
h = 0.1;
x = -1:h:1;
y = 0:h:10;
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Densidad d(x, y)
density = (2 - abs(X)) .* (4 - Y);

% Cálculo de la masa total (suma numérica)
mass = sum(density(:)) * h^2;

% Mostrar el resultado
disp(['Masa total del sólido: ', num2str(mass)]);

% Representación gráfica de la densidad
figure;
contourf(X, Y, density, 20, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Densidad d(x, y) sobre el sólido');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}