Órbita lunar

2014-02-28T12:42:12Z

Javier Tordera:

{{ TrabajoED | Órbita lunar. Grupo 5-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Francisco Durán Muñoz, Javier Bosch Martínez, Manuel López Martín, Miguel García García, Emilio Valero Muñoz-Rojas, Javier Tordera Garrido }}
'''Rotación''' es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada ''eje de rotación'') o un punto permanece fijo. La posición estaría definida por las coordenadas (x,y), que dependen de una función. En nuestro caso conocemos las aceleraciones:

\[\left\{\begin{matrix}\ x''=-G \frac{mx}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & t\in [0,T]\\ y''=-G \frac{my}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\ , & \end{matrix}\right.\]

==Reducción de un sistema==

Consiste en reducir una ecuación de orden n, a n ecuaciones de orden 1. Como en este caso tenemos un sistema de 2 ecuaciones de orden 2, nos quedará un nuevo sistema formado por 4 ecuaciones de orden 1.
Realizando el siguiente cambio de variable:
 

<math>x1 = x \quad x2 = x'</math>

<math>y1 = y \quad y2 = y'</math>

 
Nos quedarán las siguientes fórmulas:
\[x1'=x2\]
\[y1'=y2\]

\[x2'=-G\frac{m\cdot x1}{(x1^{2}+y1^{2})^{3/2}}\]
\[y2'=-G\frac{m\cdot y1}{(x1^{2}+y1^{2})^{3/2}}\]
[[Archivo:Tierra.gif|400px|miniatura]]

==Método de Euler modificado==
El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto .El método de Euler modificado es utilizado para resolver ecuaciones diferenciales no lineales, se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:
\[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot \frac{[(f(x_{n},y_{n}+f(x_{n+1},y_{n+1})]}{2}\]
Donde
\[y_{n+1}= y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})\]
El programa quedaría:

{{matlab|codigo=
%trabajo apartado 2
clear all
t0=0;
tN=100;
h1=0.1;
h2=1;
N1=(tN-t0)/h1;
N2=(tN-t0)/h2;
t1=t0:h1:tN;
t2=t0:h2:tN;

%para h=0.1

x1=zeros(N1+1);
x1(1)=1;
x2=zeros(N1+1);
x2(1)=0;
y1=zeros(N1+1);
y1(1)=0;
y2=zeros(N1+1);
y2(1)=1;
Z=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+(ZZ(3)^2))^(3/2));ZZ(4);-((ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+...
(ZZ(3)^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+h1*k1;
k2=[Zp(2);-((Zp(1))/(((Zp(1))^2)+(Zp(3)^2))^(3/2));Zp(4);-((Zp(3))/(((Zp(1))^2)+(Zp(3)^2))^(3/2))];
Z(:,n+1)=ZZ+(h1*((k1+k2)/2));
x1(n+1)=Z(1,n+1);
x2(n+1)=Z(2,n+1);
y1(n+1)=Z(3,n+1);
y2(n+1)=Z(4,n+1);
end
figure(1)
clf
plot(x1,y1,'r')

%para h=1

xx1=zeros(N2+1);
xx1(1)=1;
xx2=zeros(N2+1);
xx2(1)=0;
yy1=zeros(N2+1);
yy1(1)=0;
yy2=zeros(N2+1);
yy2(1)=1;
Z1=zeros(4,N2+1);

for n=1:N2
ZZ1=[xx1(n);xx2(n);yy1(n);yy2(n)];
kk1=[ZZ1(2);-((ZZ1(1))/(((ZZ1(1))^2)+(ZZ1(3)^2))^(3/2));ZZ1(4);-((ZZ1(3))/(((ZZ1(1))^2)+...
(ZZ1(3)^2))^(3/2))];
Zp1=ZZ1+h2*kk1;
kk2=[Zp1(2);-((Zp1(1))/(((Zp1(1))^2)+(Zp1(3)^2))^(3/2));Zp1(4);...
-((Zp1(3))/(((Zp1(1))^2)+(Zp1(3)^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ1+(h2*((kk1+kk2)/2));
xx1(n+1)=Z1(1,n+1);
xx2(n+1)=Z1(2,n+1);
yy1(n+1)=Z1(3,n+1);
yy2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(2)
clf
plot(xx1,yy1,'g')
}}

==Método Runge-Kutta==
Los métodos de Runge-Kutta son un conjuntos de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sabiendo que el método de Runge-Kutta consiste en:
<math>y_0\\y_{n+1} =y_n+h/6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\\k_1=f(t_n,y_n)\\k_2=f(t_n+1/2h,y_n+1/2k_1h)\\k_3=f(t_n+1/2h,y_n+1/2k_2h)\\k_4=f(t_n+h,y_n+k_3h)</math>
En nuestro caso, el programa queda de la siguiente manera:
{{matlab|codigo=
%apartado3 runge kuta
clear all
t0=0;
t1=100;
a1=1;a2=1.3;
b=0;c=0;
d1=1;d2=1.1;d3=1.4;
h=1;
N1=(t1-t0)/h;
x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
x1(1)=a1;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d1;
G=1;
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
-((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+((h/2)*k1);
k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
-((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
Zx=ZZ+((h/2)*k2);
k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
-((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
Zw=ZZ+(h*k3);
k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
x1(n+1)=Z1(1,n+1);
x2(n+1)=Z1(2,n+1);
y1(n+1)=Z1(3,n+1);
y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(1)
clf
plot(Z1(1,:),Z1(3,:),'r')

x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
x1(1)=a2;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d1;
G=1;
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
-((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+((h/2)*k1);
k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
-((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
Zx=ZZ+((h/2)*k2);
k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
-((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
Zw=ZZ+(h*k3);
k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
x1(n+1)=Z1(1,n+1);
x2(n+1)=Z1(2,n+1);
y1(n+1)=Z1(3,n+1);
y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(2)
clf
plot(x1,y1,'g')

x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
x1(1)=a2;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d2;
G=1;
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
-((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+((h/2)*k1);
k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
-((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
Zx=ZZ+((h/2)*k2);
k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
-((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
Zw=ZZ+(h*k3);
k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
x1(n+1)=Z1(1,n+1);
x2(n+1)=Z1(2,n+1);
y1(n+1)=Z1(3,n+1);
y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(3)
clf
plot(x1,y1,'c')

x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
x1(1)=a1;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d3;
G=1;
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
-((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+((h/2)*k1);
k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
-((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
Zx=ZZ+((h/2)*k2);
k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
-((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
Zw=ZZ+(h*k3);
k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
x1(n+1)=Z1(1,n+1);
x2(n+1)=Z1(2,n+1);
y1(n+1)=Z1(3,n+1);
y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(4)
clf
plot(x1,y1,'k')

x1=zeros(N1+1);
x2=zeros(N1+1);
y1=zeros(N1+1);
y2=zeros(N1+1);
Z1=zeros(4,N1+1);
for n=1:N1
x1(1)=a1;x2(1)=b;y1(1)=c;y2(1)=d1;
G=1.1;
ZZ=[x1(n);x2(n);y1(n);y2(n)];
k1=[ZZ(2);-((G*ZZ(1))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2));ZZ(4);...
-((G*ZZ(3))/(((ZZ(1))^2)+((ZZ(3))^2))^(3/2))];
Zp=ZZ+((h/2)*k1);
k2=[Zp(2);-((G*Zp(1))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2));Zp(4);...
-((G*Zp(3))/(((Zp(1))^2)+((Zp(3))^2))^(3/2))];
Zx=ZZ+((h/2)*k2);
k3=[Zx(2);-((G*Zx(1))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2));Zx(4);...
-((G*Zx(3))/(((Zx(1))^2)+((Zx(3))^2))^(3/2))];
Zw=ZZ+(h*k3);
k4=[Zw(2);-((G*Zw(1))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2));Zw(4)...
;-((G*Zw(3))/(((Zw(1))^2)+((Zw(3))^2))^(3/2))];
Z1(:,n+1)=ZZ+((h/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4));
x1(n+1)=Z1(1,n+1);
x2(n+1)=Z1(2,n+1);
y1(n+1)=Z1(3,n+1);
y2(n+1)=Z1(4,n+1);
end

figure(5)
clf
plot(x1,y1,'b')
}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Circuitos eléctricos RL (Resistencia-Inductancia)

2014-02-28T12:38:18Z

Javier Tordera:

{{ TrabajoED | Circuitos eléctricos RL. Grupo 10-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Alejandro Giménez Alves, Miguel Aparicio Martín Romo, Nuria Trapote García, Karlo André Palomino Paredes }}

==Circuito eléctrico RL==
El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

* En una resistencia R, la ley de Ohm establece:: <math>i(t) = \frac{v(t)}{R}</math>
donde 
<math> i(t) </math> = intesidad de corriente (<math>A</math>) 
<math> v(t) </math> = voltaje (<math>V</math>) 
<math> R </math> = coeficiente de resistencia (<math>Ω</math>)
* En un inductor L, la ley de Faraday establece:: <math>v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)=L\cdot i'(t)</math>
donde 
<math> L </math> = coeficiente de autoinducción (<math>H</math>)
 
Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:
# '''''Ley de corriente:''''' en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
# '''''Ley de tensiones:''''' en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.
 

==Ley de Kirchoff en un circuito simple (malla 1)==

[[Archivo:cicuito1.jpg|200px|thumb|right|Circuito simple (malla 1)]]
 
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun ''' "la ley de tensiones de Kirchoff" ''' será la suma del voltaje que hay en la resistencia (intensidad por resistencia) y el que hay en la bobina (resistencia de la bobina por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo). En un circuito RL cerrado, aplicando las leyes de Kirchoff, nos da la siguiente ecuación diferencial::

<math> i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 </math>

===Método analítico===
En el instante t=0, el circuito está abierto, por lo que la intensidad que circula es nula (<math> i_0(t)=0 </math>). En el momento en el que t>0, el circuito adquiere una intensidad, que con las condiciones:
 
<math> V(t)=20V </math> 
<math> L=0.2 </math> 
<math>R=5Ω </math>

 

hará que la ecuacion diferencial sea: 
<math>L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i=V_0 \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} </math>
<math>i'(t)+\frac{R}{L}i(t)=\frac{V}{L} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} </math>
<math>i \cdot e^{\int{\frac{R}{L}dt}} = \int{e^{\frac{R \cdot t}{L}}dt} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} </math>
<math>i \cdot e^{\frac{R \cdot t}{L}} = \frac{V}{R}e^{\frac{R \cdot t}{L}}+C</math> 
 Obteniendo como solución de la ecuación diferencial::
<math>i(t) = \frac{V}{R} + C \cdot e^{\frac{-R \cdot t}{L}}</math>
 
En t=0, el circuito está cerrado. Con la condición inicial <math>i(0)=0 </math>, obtenemos el valor de la constante <math>C</math>:: <math>i(0)=0 \Rightarrow C= - \frac{V}{R}</math> 
Finalmente, la solución resulta::
<math> i(t)= \frac{V}{R} - \frac{V}{R} e^{(-\frac{R}{L})t} = 4-4e^{-25t} </math>

Con la gráfica:
{{matlab|codigo=
t=[0:0.0001:1];
i=4-4*exp(-25*t);
figure(1)
plot(t,i,'-b','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');
}}

[[Image:alex.png|center|thumb|1000px|Ecuación]]

Si observamos con detenimiento la gráfica, vemos que la variación de la intesidad sigue una ley exponencial que ha medida que pasa el tiempo, crece de manera muy rápida, debido a que en la malla empieza a circular una corriente de manera prácticamente instantánea una vez cerramos el circuito. 
Por otro lado, vemos que el intervalo de tiempo en el que la intensidad pasa de 0 a 4 amperios (se vuelve constante) es muy pequeño.

=== Método de Euler===

Este método se basa en un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, donde se aproxima el valor de la función a la tangente en cada punto. 

Con la gráfica:
{{matlab|codigo=
V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0;
tN=1;
h=0.0000001;
N=(tN-t0)/h;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[V/L+(-R/L)*ii];
i(n+1)=ii;
end
t=t0:h:tN;
figure(1)
plot(t,i,'-r','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');
}}
Como estamos usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente, el paso de discretización temporal ha de ser muy pequeño (para que sea estable). 
Cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto (ya que el error acumulado será menor). 
[[Image:alexx.png|center|thumb|1000px|Ecuación]]

===Método del trapecio===

Este método se basa en la integración numérica, es decir, es un método para calcular aproximadamente el valor de una integral definida. 
Se basa en aproximar en la valor de la integral de la función por el de la función lineal que pasa a través de los puntos de inicio y final de la función, aproximandolo al área de un trapecio. El método del trapecio es más exacto que el de Euler. 
Con la gráfica:
{{matlab|codigo=
V=20;
R=5;
L=0.2;
t0=0;
tN=1;
N=100000;
h=(tN-t0)/N;
t=t0:h:tN;
i=t*0;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
%% Aplicando el método del trapecio, cuya expresión es i_n+1=i_n+h/2*(f(t_n,i_n)+f(t_n+1,i_n+1).
%% Despejando el término i_n+1 resulta la expresion siguiente.
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*V/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
figure(1)
plot(t,i,'-y','linewidth',5)
xlabel('Tiempo en segundos');
ylabel('Intensidad en amperios');
}}

[[Image:miguel.png|center|thumb|1000px|Ecuación]]

Podemos observar que la intensidad se estabiliza a un valor constante en un período de tiempo muy corto (aproximadamente 0.2 segundos), casi de manera instantánea. 
Cuánto más aumentemos L, más tiempo tardará la intensidad en llegar a ser una constante.

==Ley de Kirchoff en un circuito complejo (malla 2)==

[[Archivo:nuria.png|200px|thumb|right|Circuito completo (malla 2)]]
 

Según las leyes de Kirchoff, el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:
 
* <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)</math>: corresponde al recorrido exterior del circuito.
* <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t) + R_3\cdot i_3(t)</math>: corresponde a la malla 1.
* <math>i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)</math>: es la correspondiente a la Ley de corriente de Kirchoff.
 
donde 
<math>i_1(t)</math> = intensidad de la malla 1 
<math>i_2(t)</math> = intensidad de la malla 2 
<math>i_3(t)</math> = intensidad de la intersección de mallas 

Sustituyendo la tercera ecuación enlas otras dos se obtiene el sistema en términos de <math>i_2(0)</math> e <math>i_3(0)</math> matricialmente::<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}</math> 

A partir de las condiciones iniciales <math>i_2(0)</math> = <math>i_3(0)</math> = 0 se puedeinterpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento inicial en elque se conecta el generador. 

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[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Circuitos eléctricos RL (Resistencia-Inductancia)

2014-02-28T12:37:35Z

2014-02-28T12:08:34Z

Javier Tordera: