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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A-17)

2013-12-09T18:32:17Z

Javier Sepulveda Verdugo:

{{beta}}

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos
(Grupo A-17)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==
Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

===Hipótesis básica===
[[Archivo:Pebbly_stream.jpg|300px|thumb|right|Agua fluyendo en paso de régimen laminar a turbulento]]

El estudio de la la mecánica de fluidos y las interacciones con el medio que lo limita se basa en la hipótesis del medio continuo: En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

===Aproximaciones al movimiento de un fluido===
A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange Lagrangiana] del movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Euler Euleriana] del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

===Ecuaciones de Navier-Stokes===
[[Archivo:Flow.gif|400px|thumb|right|Efecto de la viscosidad en el comportamiento de un fluido]]
Las tres ecuaciones fundamentales que rigen los fluidos son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuación de la cantidad de movimiento, y
* la ecuación de conservación de la energía.

Estas ecuaciones pueden darse en forma integral o en forma diferencial. Para llegar a su formulación diferencial, [http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier Navier] y [http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes Stokes] las unificaron aplicando ciertas consideraciones (principalmente la Ley de viscosidad de [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton], que establece una relación lineal entre los esfuerzos tangenciales y el gradiente de la velocidad).

De esta manera se obtiene la formulación diferencial, conocida como Ecuaciones de Navier-Stokes, muy útiles para la resolución de problemas de mecánica de fluidos:

<math>
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol{\mathsf{T}} + \mathbf{f}
</math>

En el caso de fluidos (<math>\mathsf{T}=\mu \nabla \vec v</math>) incompresibles (<math>\rho</math> constante), circulando en régimen estacionario (<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0</math>), y despreciando los efectos de la gravedad (<math>\rho=1 , \mathbf{f}=0</math>), la ecuación queda simplificada de la siguiente forma:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
donde <math>\vec u</math> representa el campo de velocidades del fluido, <math>p</math> el campo de presiones y <math>\mu</math> la viscosidad del fluido.

Dichas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica; por ello en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico computacional para determinar una solución aproximada.

==Estudio de un caso particular==
[[Archivo:A17meshapartado1.jpg|230px|miniaturadeimagen|izquierda]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % intervalo de c de 0 a 4

y=0:0.1:1; % intervalo de y de 0 a 1

[xx,yy]=meshgrid(x,y); % creamos la malla

figure(1)

mesh(xx,yy,0*xx) % dibujamos la malla

axis([0,4,-1,2]) % elegimos la region en la que dibujar

view(2) % visualizar la imagen desde un punto cenital
}}

En este artículo estudiaremos el caso particular de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

La velocidad del fluido viene dada por la expresión:
<math> \vec u (x,y) = y (1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu) \vec i</math>
y la presión por:
<math> p(x,y) = p_{1}+(p_{2}-p_{1})(x-1) </math>
siendo <math> p_{1}</math>la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math> p_{2}</math>la presión de los puntos en <math>x=2</math> y <math> \mu</math> el coeficiente de viscosidad del fluido.

Es fácil comprobar que la velocidad en las paredes <math>\vec u (y=0)</math> y <math>\vec u (y=1)</math> es nula, simplemente sustituyendo los valores de <math>y</math> en la ecuación del campo de velocidades.

===Estacionalidad===
Para saber si este campo de velocidades corresponde a un régimen estacionario, comprobaremos que verifica la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math> \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u</math>
Para ello desarrollaremos por separado ambos miembros de la igualdad, verificando que llegamos al mismo resultado. Así:
<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>

resultando <math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{y(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i \cdot \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j = 0
</math>
por ser el producto escalar de dos vectores ortogonales.
El primer miembro queda reducido entonces a:
<math>
\nabla p = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por otro lado, en el segundo miembro calculamos <math>Δ \vec u</math>:
<math>
Δ \vec u = \nabla \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial y^2 }= \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial x^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial x^2 } \vec j + \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial y^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial y^2 } \vec j = \frac { p_2-p_1}{\mu} \vec i
</math>
Multiplicando por la viscosidad, nos queda <math> \mu Δ \vec u =(p_2-p_1) \vec i </math> , verificándose la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

===Condición de incompresibilidad===
Todos los fluidos, al igual que los sólidos, son -desde el punto de vista estrictamente físico- [http://es.wikipedia.org/wiki/Compresibilidad compresibles] en cierto grado. No obstante, los líquidos son prácticamente incompresibles, a diferencia de los gases, que son altamente compresibles.

Para este análisis matemático, tomaremos el fluido como incompresible, es decir, su densidad se mantiene constante a lo largo del tiempo y del espacio. Para ello, la masa de fluido que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale. Esto equivale a decir que la divergencia del campo de velocidades de un fluido incompresible es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec u = 0
</math>

La demostración es trivial:

<math>
\nabla \cdot \vec u = \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x_1} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial x_2} = \frac{ \partial (y(1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu))}{ \partial x} = 0
</math>

==Análisis del campo==
A partir de ahora, supondremos los valores de <math>p_{1}=2</math>, <math>p_{2}=1</math> y <math>\mu=0</math>. Por lo tanto, los campos de velocidades y presiones nos quedan:
<math> \vec u(x,y)= \frac{y(1-y)}{2}\vec{i} </math>:
<math> \vec p(x,y)= 3-x</math>

===Mallado===

===Campo de velocidades===
El campo de velocidades de un fluido es la representación de la velocidad que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo vectorial. Es decir, es una distribución continua de la magnitud vectorial "velocidad" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de velocidades nos permite tener una ideal fiel de cuál es la velocidad de un punto del canal, según su posición dentro de la sección.

[[Archivo:Velocities.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,8); %Dividimos en 8 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,10); %Dividimos en 10 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
U=(Y.*(1-Y))/2; %Determinamos la componente horizontal (i) de los vectores del campo
V=0*U; %Determinamos la componente vertical (j) de los vectores del campo
quiver(X,Y,U,V) %Visualizamos el campo de velocidades del fluido
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('velocidades.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

El campo de velocidades nos indica gráficamente que el fluido va ganando velocidad a medida que se acerca al plano central del canal, por lo que en dicho plano la velocidad será máxima. Esto se debe a las propiedades de viscosidad explicadas en el primer apartado del artículo: el fluido, al desplazarse en un espacio confinado genera un rozamiento con las paredes hasta el punto que llegará a generarse una finísima capa de fluido que tendrá velocidad nula.

===Campo de presiones===
El campo de presiones de un fluido es la representación de la presión que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo escalar. Es decir, es una distribución continua de la magnitud escalar "presión" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de presiones nos permite tener una ideal fiel de cuál es la presión de un punto del canal, según su posición dentro del eje longitudinal.

[[Archivo:Pressures.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,400); %Dividimos en 400 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,100); %Dividimos en 100 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
Z=3-X; %Expresamos la función de la presión
h=pcolor(X,Y,Z); %Visualizamos el campo de velocidades del fluido mediante una gama de colores
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('presiones.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

===Lineas de corriente del campo===
[[Archivo:lineascorriente.png|300px|derecha|miniaturadeimagen| Líneas de corriente]]

Para hallar las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> tenemos que tener en cuenta que son tangentes en todo momento al propio campo <math>\vec{u}</math>. Nos vamos a ayudar para su cálculo de un campo <math>\vec{v}</math> que será ortogonal al campo y por lo tanto también a las líneas de corriente. En nuestro caso llevará dirección <math>\vec{j}</math>

<center><math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} =\frac{y(1-y)}{2}\vec{j}= \nabla \psi </math></center>

Sabemos que nuestro campo es adivergente (ver apartado 2.1), esto es:

<center><math>\nabla \cdot \vec u =0 </math></center>

de lo que deducimos que el campo tiene un potencial escalar <math>\psi</math>. Para calcularlo, usaremos la metodología explicada en clase.

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial y}=\frac{y(1-y)}{2} </math> ; <math>\psi =\int\frac{y(1-y)}{2}dy =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+ f(x) </math>

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial x}=0 </math> ; <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})) + f'(x)=0 \implies f'(x)=0 \implies f(x)=cte</math>:

<center><math>\psi =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}) + C</math></center>:

A continuación exponemos el código matlab para representar las lineas de corriente, que serán las del potencial escalar para <math>\psi = cte</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el vector x con valores entre 0 y 4 equidistantes 0.1
y=0:0.2:1; % creamos el vector y con valores entre 0 y 1 equidistantes 0.1
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % malla para las coordenadas
potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); % función del potencial escalar
contour(xx,yy,potencial) %Dibujamos las líneas de nivel en el plano XY
axis([0,4,-1,2]) % fijamos los ejes en [0,4]x[-1,2]
view(2) %para visualizar el campo en el plano XY
}}

===Rotacional===
[[Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg|200px|marco]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el intervalo de x de 0 a 4

y=0:0.1:1; % creamos el intervalo de 0 a 1

[xx,yy]=meshgrid(x,y); % creamos la malla

figure(1)

f=0.5-yy; % definiomos el campo escalar

surf(xx,yy,f) % dibujamos el campo

axis([0,4,-1,2]) % elegimos region en la que dibujar

view(2) % visualizar el campo
}}

==Campo de temperaturas==

campo de temperaturas
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Vector en x de la malla
y=0:0.1:1; %Vector en y de la malla
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Malla
figure(1)
ff=(xx-1).^2-yy.^2; %Campo de temperaturas
surf(xx,yy,ff) %Dibujo del campo
axis([0,4,-1,2]) %Ejes
view(2)
}}

gradiente de temperaturas
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Vector en x de la malla
y=0:0.1:1; %Vector en y de la malla
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Malla
figure(1)
fx=2.*xx-2; %Gradiente de temperaturas en i
fy=-2.*yy; %Gradiente de temperaturas en j
quiver(xx,yy,fx,fy) %Dibujo del gradiente
axis([0,4,-1,2]) %Ejes
view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A-17)

2013-12-09T18:22:30Z

Javier Sepulveda Verdugo:

{{beta}}

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos
(Grupo A-17)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==
Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

===Hipótesis básica===
[[Archivo:Pebbly_stream.jpg|300px|thumb|right|Agua fluyendo en paso de régimen laminar a turbulento]]

El estudio de la la mecánica de fluidos y las interacciones con el medio que lo limita se basa en la hipótesis del medio continuo: En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

===Aproximaciones al movimiento de un fluido===
A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange Lagrangiana] del movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Euler Euleriana] del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

===Ecuaciones de Navier-Stokes===
[[Archivo:Flow.gif|400px|thumb|right|Efecto de la viscosidad en el comportamiento de un fluido]]
Las tres ecuaciones fundamentales que rigen los fluidos son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuación de la cantidad de movimiento, y
* la ecuación de conservación de la energía.

Estas ecuaciones pueden darse en forma integral o en forma diferencial. Para llegar a su formulación diferencial, [http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier Navier] y [http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes Stokes] las unificaron aplicando ciertas consideraciones (principalmente la Ley de viscosidad de [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton], que establece una relación lineal entre los esfuerzos tangenciales y el gradiente de la velocidad).

De esta manera se obtiene la formulación diferencial, conocida como Ecuaciones de Navier-Stokes, muy útiles para la resolución de problemas de mecánica de fluidos:

<math>
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol{\mathsf{T}} + \mathbf{f}
</math>

En el caso de fluidos (<math>\mathsf{T}=\mu \nabla \vec v</math>) incompresibles (<math>\rho</math> constante), circulando en régimen estacionario (<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0</math>), y despreciando los efectos de la gravedad (<math>\rho=1 , \mathbf{f}=0</math>), la ecuación queda simplificada de la siguiente forma:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
donde <math>\vec u</math> representa el campo de velocidades del fluido, <math>p</math> el campo de presiones y <math>\mu</math> la viscosidad del fluido.

Dichas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica; por ello en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico computacional para determinar una solución aproximada.

==Estudio de un caso particular==
En este artículo estudiaremos el caso particular de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

La velocidad del fluido viene dada por la expresión:
<math> \vec u (x,y) = y (1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu) \vec i</math>
y la presión por:
<math> p(x,y) = p_{1}+(p_{2}-p_{1})(x-1) </math>
siendo <math> p_{1}</math>la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math> p_{2}</math>la presión de los puntos en <math>x=2</math> y <math> \mu</math> el coeficiente de viscosidad del fluido.

Es fácil comprobar que la velocidad en las paredes <math>\vec u (y=0)</math> y <math>\vec u (y=1)</math> es nula, simplemente sustituyendo los valores de <math>y</math> en la ecuación del campo de velocidades.

===Estacionalidad===
Para saber si este campo de velocidades corresponde a un régimen estacionario, comprobaremos que verifica la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math> \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u</math>
Para ello desarrollaremos por separado ambos miembros de la igualdad, verificando que llegamos al mismo resultado. Así:
<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>

resultando <math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{y(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i \cdot \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j = 0
</math>
por ser el producto escalar de dos vectores ortogonales.
El primer miembro queda reducido entonces a:
<math>
\nabla p = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por otro lado, en el segundo miembro calculamos <math>Δ \vec u</math>:
<math>
Δ \vec u = \nabla \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial y^2 }= \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial x^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial x^2 } \vec j + \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial y^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial y^2 } \vec j = \frac { p_2-p_1}{\mu} \vec i
</math>
Multiplicando por la viscosidad, nos queda <math> \mu Δ \vec u =(p_2-p_1) \vec i </math> , verificándose la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

===Condición de incompresibilidad===
Todos los fluidos, al igual que los sólidos, son -desde el punto de vista estrictamente físico- [http://es.wikipedia.org/wiki/Compresibilidad compresibles] en cierto grado. No obstante, los líquidos son prácticamente incompresibles, a diferencia de los gases, que son altamente compresibles.

Para este análisis matemático, tomaremos el fluido como incompresible, es decir, su densidad se mantiene constante a lo largo del tiempo y del espacio. Para ello, la masa de fluido que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale. Esto equivale a decir que la divergencia del campo de velocidades de un fluido incompresible es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec u = 0
</math>

La demostración es trivial:

<math>
\nabla \cdot \vec u = \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x_1} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial x_2} = \frac{ \partial (y(1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu))}{ \partial x} = 0
</math>

==Análisis del campo==
A partir de ahora, supondremos los valores de <math>p_{1}=2</math>, <math>p_{2}=1</math> y <math>\mu=0</math>. Por lo tanto, los campos de velocidades y presiones nos quedan:
<math> \vec u(x,y)= \frac{y(1-y)}{2}\vec{i} </math>:
<math> \vec p(x,y)= 3-x</math>

===Mallado===

===Campo de velocidades===
El campo de velocidades de un fluido es la representación de la velocidad que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo vectorial. Es decir, es una distribución continua de la magnitud vectorial "velocidad" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de velocidades nos permite tener una ideal fiel de cuál es la velocidad de un punto del canal, según su posición dentro de la sección.

[[Archivo:Velocities.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,8); %Dividimos en 8 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,10); %Dividimos en 10 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
U=(Y.*(1-Y))/2; %Determinamos la componente horizontal (i) de los vectores del campo
V=0*U; %Determinamos la componente vertical (j) de los vectores del campo
quiver(X,Y,U,V) %Visualizamos el campo de velocidades del fluido
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('velocidades.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

El campo de velocidades nos indica gráficamente que el fluido va ganando velocidad a medida que se acerca al plano central del canal, por lo que en dicho plano la velocidad será máxima. Esto se debe a las propiedades de viscosidad explicadas en el primer apartado del artículo: el fluido, al desplazarse en un espacio confinado genera un rozamiento con las paredes hasta el punto que llegará a generarse una finísima capa de fluido que tendrá velocidad nula.

===Campo de presiones===
El campo de presiones de un fluido es la representación de la presión que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo escalar. Es decir, es una distribución continua de la magnitud escalar "presión" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de presiones nos permite tener una ideal fiel de cuál es la presión de un punto del canal, según su posición dentro del eje longitudinal.

[[Archivo:Pressures.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,400); %Dividimos en 400 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,100); %Dividimos en 100 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
Z=3-X; %Expresamos la función de la presión
h=pcolor(X,Y,Z); %Visualizamos el campo de velocidades del fluido mediante una gama de colores
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('presiones.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

===Lineas de corriente del campo===
[[Archivo:lineascorriente.png|300px|derecha|miniaturadeimagen| Líneas de corriente]]

Para hallar las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> tenemos que tener en cuenta que son tangentes en todo momento al propio campo <math>\vec{u}</math>. Nos vamos a ayudar para su cálculo de un campo <math>\vec{v}</math> que será ortogonal al campo y por lo tanto también a las líneas de corriente. En nuestro caso llevará dirección <math>\vec{j}</math>

<center><math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} =\frac{y(1-y)}{2}\vec{j}= \nabla \psi </math></center>

Sabemos que nuestro campo es adivergente (ver apartado 2.1), esto es:

<center><math>\nabla \cdot \vec u =0 </math></center>

de lo que deducimos que el campo tiene un potencial escalar <math>\psi</math>. Para calcularlo, usaremos la metodología explicada en clase.

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial y}=\frac{y(1-y)}{2} </math> ; <math>\psi =\int\frac{y(1-y)}{2}dy =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+ f(x) </math>

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial x}=0 </math> ; <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})) + f'(x)=0 \implies f'(x)=0 \implies f(x)=cte</math>:

<center><math>\psi =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}) + C</math></center>:

A continuación exponemos el código matlab para representar las lineas de corriente, que serán las del potencial escalar para <math>\psi = cte</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el vector x con valores entre 0 y 4 equidistantes 0.1
y=0:0.2:1; % creamos el vector y con valores entre 0 y 1 equidistantes 0.1
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % malla para las coordenadas
potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); % función del potencial escalar
contour(xx,yy,potencial) %Dibujamos las líneas de nivel en el plano XY
axis([0,4,-1,2]) % fijamos los ejes en [0,4]x[-1,2]
view(2) %para visualizar el campo en el plano XY
}}

===Rotacional===
[[Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg|200px|marco]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el intervalo de x de 0 a 4

y=0:0.1:1; % creamos el intervalo de 0 a 1

[xx,yy]=meshgrid(x,y); % creamos la malla

figure(1)

f=0.5-yy; % definiomos el campo escalar

surf(xx,yy,f) % dibujamos el campo

axis([0,4,-1,2]) % elegimos region en la que dibujar

view(2) % visualizar el campo
}}

==Campo de temperaturas==

campo de temperaturas
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Vector en x de la malla
y=0:0.1:1; %Vector en y de la malla
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Malla
figure(1)
ff=(xx-1).^2-yy.^2; %Campo de temperaturas
surf(xx,yy,ff) %Dibujo del campo
axis([0,4,-1,2]) %Ejes
view(2)
}}

gradiente de temperaturas
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Vector en x de la malla
y=0:0.1:1; %Vector en y de la malla
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Malla
figure(1)
fx=2.*xx-2; %Gradiente de temperaturas en i
fy=-2.*yy; %Gradiente de temperaturas en j
quiver(xx,yy,fx,fy) %Dibujo del gradiente
axis([0,4,-1,2]) %Ejes
view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A-17)

2013-12-09T18:11:56Z

Javier Sepulveda Verdugo:

{{beta}}

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos
(Grupo A-17)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==
Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

===Hipótesis básica===
[[Archivo:Pebbly_stream.jpg|300px|thumb|right|Agua fluyendo en paso de régimen laminar a turbulento]]

El estudio de la la mecánica de fluidos y las interacciones con el medio que lo limita se basa en la hipótesis del medio continuo: En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

===Aproximaciones al movimiento de un fluido===
A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange Lagrangiana] del movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Euler Euleriana] del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

===Ecuaciones de Navier-Stokes===
[[Archivo:Flow.gif|400px|thumb|right|Efecto de la viscosidad en el comportamiento de un fluido]]
Las tres ecuaciones fundamentales que rigen los fluidos son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuación de la cantidad de movimiento, y
* la ecuación de conservación de la energía.

Estas ecuaciones pueden darse en forma integral o en forma diferencial. Para llegar a su formulación diferencial, [http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier Navier] y [http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes Stokes] las unificaron aplicando ciertas consideraciones (principalmente la Ley de viscosidad de [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton], que establece una relación lineal entre los esfuerzos tangenciales y el gradiente de la velocidad).

De esta manera se obtiene la formulación diferencial, conocida como Ecuaciones de Navier-Stokes, muy útiles para la resolución de problemas de mecánica de fluidos:

<math>
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol{\mathsf{T}} + \mathbf{f}
</math>

En el caso de fluidos (<math>\mathsf{T}=\mu \nabla \vec v</math>) incompresibles (<math>\rho</math> constante), circulando en régimen estacionario (<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0</math>), y despreciando los efectos de la gravedad (<math>\rho=1 , \mathbf{f}=0</math>), la ecuación queda simplificada de la siguiente forma:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
donde <math>\vec u</math> representa el campo de velocidades del fluido, <math>p</math> el campo de presiones y <math>\mu</math> la viscosidad del fluido.

Dichas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica; por ello en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico computacional para determinar una solución aproximada.

==Estudio de un caso particular==
En este artículo estudiaremos el caso particular de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

La velocidad del fluido viene dada por la expresión:
<math> \vec u (x,y) = y (1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu) \vec i</math>
y la presión por:
<math> p(x,y) = p_{1}+(p_{2}-p_{1})(x-1) </math>
siendo <math> p_{1}</math>la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math> p_{2}</math>la presión de los puntos en <math>x=2</math> y <math> \mu</math> el coeficiente de viscosidad del fluido.

Es fácil comprobar que la velocidad en las paredes <math>\vec u (y=0)</math> y <math>\vec u (y=1)</math> es nula, simplemente sustituyendo los valores de <math>y</math> en la ecuación del campo de velocidades.

===Estacionalidad===
Para saber si este campo de velocidades corresponde a un régimen estacionario, comprobaremos que verifica la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math> \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u</math>
Para ello desarrollaremos por separado ambos miembros de la igualdad, verificando que llegamos al mismo resultado. Así:
<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>

resultando <math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{y(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i \cdot \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j = 0
</math>
por ser el producto escalar de dos vectores ortogonales.
El primer miembro queda reducido entonces a:
<math>
\nabla p = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por otro lado, en el segundo miembro calculamos <math>Δ \vec u</math>:
<math>
Δ \vec u = \nabla \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial y^2 }= \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial x^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial x^2 } \vec j + \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial y^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial y^2 } \vec j = \frac { p_2-p_1}{\mu} \vec i
</math>
Multiplicando por la viscosidad, nos queda <math> \mu Δ \vec u =(p_2-p_1) \vec i </math> , verificándose la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

===Condición de incompresibilidad===
Todos los fluidos, al igual que los sólidos, son -desde el punto de vista estrictamente físico- [http://es.wikipedia.org/wiki/Compresibilidad compresibles] en cierto grado. No obstante, los líquidos son prácticamente incompresibles, a diferencia de los gases, que son altamente compresibles.

Para este análisis matemático, tomaremos el fluido como incompresible, es decir, su densidad se mantiene constante a lo largo del tiempo y del espacio. Para ello, la masa de fluido que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale. Esto equivale a decir que la divergencia del campo de velocidades de un fluido incompresible es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec u = 0
</math>

La demostración es trivial:

<math>
\nabla \cdot \vec u = \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x_1} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial x_2} = \frac{ \partial (y(1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu))}{ \partial x} = 0
</math>

==Análisis del campo==
A partir de ahora, supondremos los valores de <math>p_{1}=2</math>, <math>p_{2}=1</math> y <math>\mu=0</math>. Por lo tanto, los campos de velocidades y presiones nos quedan:
<math> \vec u(x,y)= \frac{y(1-y)}{2}\vec{i} </math>:
<math> \vec p(x,y)= 3-x</math>

===Mallado===

===Campo de velocidades===
El campo de velocidades de un fluido es la representación de la velocidad que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo vectorial. Es decir, es una distribución continua de la magnitud vectorial "velocidad" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de velocidades nos permite tener una ideal fiel de cuál es la velocidad de un punto del canal, según su posición dentro de la sección.

[[Archivo:Velocities.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,8); %Dividimos en 8 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,10); %Dividimos en 10 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
U=(Y.*(1-Y))/2; %Determinamos la componente horizontal (i) de los vectores del campo
V=0*U; %Determinamos la componente vertical (j) de los vectores del campo
quiver(X,Y,U,V) %Visualizamos el campo de velocidades del fluido
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('velocidades.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

El campo de velocidades nos indica gráficamente que el fluido va ganando velocidad a medida que se acerca al plano central del canal, por lo que en dicho plano la velocidad será máxima. Esto se debe a las propiedades de viscosidad explicadas en el primer apartado del artículo: el fluido, al desplazarse en un espacio confinado genera un rozamiento con las paredes hasta el punto que llegará a generarse una finísima capa de fluido que tendrá velocidad nula.

===Campo de presiones===
El campo de presiones de un fluido es la representación de la presión que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo escalar. Es decir, es una distribución continua de la magnitud escalar "presión" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de presiones nos permite tener una ideal fiel de cuál es la presión de un punto del canal, según su posición dentro del eje longitudinal.

[[Archivo:Pressures.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,400); %Dividimos en 400 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,100); %Dividimos en 100 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
Z=3-X; %Expresamos la función de la presión
h=pcolor(X,Y,Z); %Visualizamos el campo de velocidades del fluido mediante una gama de colores
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('presiones.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

===Lineas de corriente del campo===
[[Archivo:lineascorriente.png|300px|derecha|miniaturadeimagen| Líneas de corriente]]

Para hallar las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> tenemos que tener en cuenta que son tangentes en todo momento al propio campo <math>\vec{u}</math>. Nos vamos a ayudar para su cálculo de un campo <math>\vec{v}</math> que será ortogonal al campo y por lo tanto también a las líneas de corriente. En nuestro caso llevará dirección <math>\vec{j}</math>

<center><math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} =\frac{y(1-y)}{2}\vec{j}= \nabla \psi </math></center>

Sabemos que nuestro campo es adivergente (ver apartado 2.1), esto es:

<center><math>\nabla \cdot \vec u =0 </math></center>

de lo que deducimos que el campo tiene un potencial escalar <math>\psi</math>. Para calcularlo, usaremos la metodología explicada en clase.

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial y}=\frac{y(1-y)}{2} </math> ; <math>\psi =\int\frac{y(1-y)}{2}dy =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+ f(x) </math>

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial x}=0 </math> ; <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})) + f'(x)=0 \implies f'(x)=0 \implies f(x)=cte</math>:

<center><math>\psi =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}) + C</math></center>:

A continuación exponemos el código matlab para representar las lineas de corriente, que serán las del potencial escalar para <math>\psi = cte</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el vector x con valores entre 0 y 4 equidistantes 0.1
y=0:0.2:1; % creamos el vector y con valores entre 0 y 1 equidistantes 0.1
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % malla para las coordenadas
potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); % función del potencial escalar
contour(xx,yy,potencial) %Dibujamos las líneas de nivel en el plano XY
axis([0,4,-1,2]) % fijamos los ejes en [0,4]x[-1,2]
view(2) %para visualizar el campo en el plano XY
}}

===Rotacional===
[[Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg|300px|marco|izquierda]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el intervalo de x de 0 a 4

y=0:0.1:1; % creamos el intervalo de 0 a 1

[xx,yy]=meshgrid(x,y); % creamos la malla

figure(1)

f=0.5-yy; % definiomos el campo escalar

surf(xx,yy,f) % dibujamos el campo

axis([0,4,-1,2]) % elegimos region en la que dibujar

view(2) % visualizar el campo
}}

==Campo de temperaturas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A-17)

2013-12-09T18:09:38Z

Javier Sepulveda Verdugo:

{{beta}}

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos
(Grupo A-17)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==
Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

===Hipótesis básica===
[[Archivo:Pebbly_stream.jpg|300px|thumb|right|Agua fluyendo en paso de régimen laminar a turbulento]]

El estudio de la la mecánica de fluidos y las interacciones con el medio que lo limita se basa en la hipótesis del medio continuo: En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

===Aproximaciones al movimiento de un fluido===
A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange Lagrangiana] del movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Euler Euleriana] del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

===Ecuaciones de Navier-Stokes===
[[Archivo:Flow.gif|400px|thumb|right|Efecto de la viscosidad en el comportamiento de un fluido]]
Las tres ecuaciones fundamentales que rigen los fluidos son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuación de la cantidad de movimiento, y
* la ecuación de conservación de la energía.

Estas ecuaciones pueden darse en forma integral o en forma diferencial. Para llegar a su formulación diferencial, [http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier Navier] y [http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes Stokes] las unificaron aplicando ciertas consideraciones (principalmente la Ley de viscosidad de [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton], que establece una relación lineal entre los esfuerzos tangenciales y el gradiente de la velocidad).

De esta manera se obtiene la formulación diferencial, conocida como Ecuaciones de Navier-Stokes, muy útiles para la resolución de problemas de mecánica de fluidos:

<math>
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol{\mathsf{T}} + \mathbf{f}
</math>

En el caso de fluidos (<math>\mathsf{T}=\mu \nabla \vec v</math>) incompresibles (<math>\rho</math> constante), circulando en régimen estacionario (<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0</math>), y despreciando los efectos de la gravedad (<math>\rho=1 , \mathbf{f}=0</math>), la ecuación queda simplificada de la siguiente forma:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
donde <math>\vec u</math> representa el campo de velocidades del fluido, <math>p</math> el campo de presiones y <math>\mu</math> la viscosidad del fluido.

Dichas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica; por ello en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico computacional para determinar una solución aproximada.

==Estudio de un caso particular==
En este artículo estudiaremos el caso particular de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

La velocidad del fluido viene dada por la expresión:
<math> \vec u (x,y) = y (1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu) \vec i</math>
y la presión por:
<math> p(x,y) = p_{1}+(p_{2}-p_{1})(x-1) </math>
siendo <math> p_{1}</math>la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math> p_{2}</math>la presión de los puntos en <math>x=2</math> y <math> \mu</math> el coeficiente de viscosidad del fluido.

Es fácil comprobar que la velocidad en las paredes <math>\vec u (y=0)</math> y <math>\vec u (y=1)</math> es nula, simplemente sustituyendo los valores de <math>y</math> en la ecuación del campo de velocidades.

===Estacionalidad===
Para saber si este campo de velocidades corresponde a un régimen estacionario, comprobaremos que verifica la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math> \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u</math>
Para ello desarrollaremos por separado ambos miembros de la igualdad, verificando que llegamos al mismo resultado. Así:
<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>

resultando <math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{y(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i \cdot \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j = 0
</math>
por ser el producto escalar de dos vectores ortogonales.
El primer miembro queda reducido entonces a:
<math>
\nabla p = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por otro lado, en el segundo miembro calculamos <math>Δ \vec u</math>:
<math>
Δ \vec u = \nabla \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial y^2 }= \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial x^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial x^2 } \vec j + \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial y^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial y^2 } \vec j = \frac { p_2-p_1}{\mu} \vec i
</math>
Multiplicando por la viscosidad, nos queda <math> \mu Δ \vec u =(p_2-p_1) \vec i </math> , verificándose la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

===Condición de incompresibilidad===
Todos los fluidos, al igual que los sólidos, son -desde el punto de vista estrictamente físico- [http://es.wikipedia.org/wiki/Compresibilidad compresibles] en cierto grado. No obstante, los líquidos son prácticamente incompresibles, a diferencia de los gases, que son altamente compresibles.

Para este análisis matemático, tomaremos el fluido como incompresible, es decir, su densidad se mantiene constante a lo largo del tiempo y del espacio. Para ello, la masa de fluido que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale. Esto equivale a decir que la divergencia del campo de velocidades de un fluido incompresible es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec u = 0
</math>

La demostración es trivial:

<math>
\nabla \cdot \vec u = \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x_1} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial x_2} = \frac{ \partial (y(1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu))}{ \partial x} = 0
</math>

==Análisis del campo==
A partir de ahora, supondremos los valores de <math>p_{1}=2</math>, <math>p_{2}=1</math> y <math>\mu=0</math>. Por lo tanto, los campos de velocidades y presiones nos quedan:
<math> \vec u(x,y)= \frac{y(1-y)}{2}\vec{i} </math>:
<math> \vec p(x,y)= 3-x</math>

===Mallado===

===Campo de velocidades===
El campo de velocidades de un fluido es la representación de la velocidad que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo vectorial. Es decir, es una distribución continua de la magnitud vectorial "velocidad" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de velocidades nos permite tener una ideal fiel de cuál es la velocidad de un punto del canal, según su posición dentro de la sección.

[[Archivo:Velocities.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,8); %Dividimos en 8 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,10); %Dividimos en 10 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
U=(Y.*(1-Y))/2; %Determinamos la componente horizontal (i) de los vectores del campo
V=0*U; %Determinamos la componente vertical (j) de los vectores del campo
quiver(X,Y,U,V) %Visualizamos el campo de velocidades del fluido
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('velocidades.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

El campo de velocidades nos indica gráficamente que el fluido va ganando velocidad a medida que se acerca al plano central del canal, por lo que en dicho plano la velocidad será máxima. Esto se debe a las propiedades de viscosidad explicadas en el primer apartado del artículo: el fluido, al desplazarse en un espacio confinado genera un rozamiento con las paredes hasta el punto que llegará a generarse una finísima capa de fluido que tendrá velocidad nula.

===Campo de presiones===
El campo de presiones de un fluido es la representación de la presión que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo escalar. Es decir, es una distribución continua de la magnitud escalar "presión" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de presiones nos permite tener una ideal fiel de cuál es la presión de un punto del canal, según su posición dentro del eje longitudinal.

[[Archivo:Pressures.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,400); %Dividimos en 400 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,100); %Dividimos en 100 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
Z=3-X; %Expresamos la función de la presión
h=pcolor(X,Y,Z); %Visualizamos el campo de velocidades del fluido mediante una gama de colores
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('presiones.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

===Lineas de corriente del campo===
[[Archivo:lineascorriente.png|300px|derecha|miniaturadeimagen| Líneas de corriente]]

Para hallar las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> tenemos que tener en cuenta que son tangentes en todo momento al propio campo <math>\vec{u}</math>. Nos vamos a ayudar para su cálculo de un campo <math>\vec{v}</math> que será ortogonal al campo y por lo tanto también a las líneas de corriente. En nuestro caso llevará dirección <math>\vec{j}</math>

<center><math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} =\frac{y(1-y)}{2}\vec{j}= \nabla \psi </math></center>

Sabemos que nuestro campo es adivergente (ver apartado 2.1), esto es:

<center><math>\nabla \cdot \vec u =0 </math></center>

de lo que deducimos que el campo tiene un potencial escalar <math>\psi</math>. Para calcularlo, usaremos la metodología explicada en clase.

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial y}=\frac{y(1-y)}{2} </math> ; <math>\psi =\int\frac{y(1-y)}{2}dy =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+ f(x) </math>

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial x}=0 </math> ; <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})) + f'(x)=0 \implies f'(x)=0 \implies f(x)=cte</math>:

<center><math>\psi =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}) + C</math></center>:

A continuación exponemos el código matlab para representar las lineas de corriente, que serán las del potencial escalar para <math>\psi = cte</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el vector x con valores entre 0 y 4 equidistantes 0.1
y=0:0.2:1; % creamos el vector y con valores entre 0 y 1 equidistantes 0.1
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % malla para las coordenadas
potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); % función del potencial escalar
contour(xx,yy,potencial) %Dibujamos las líneas de nivel en el plano XY
axis([0,4,-1,2]) % fijamos los ejes en [0,4]x[-1,2]
view(2) %para visualizar el campo en el plano XY
}}

===Rotacional===
[[Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg|300px|marco|izquierda]]

==Campo de temperaturas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (Grupo A-17)

2013-12-09T18:06:33Z

Javier Sepulveda Verdugo:

{{beta}}

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos
(Grupo A-17)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

==Introducción==
Se denomina fluido a un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas moléculas hay una fuerza de atracción débil. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). El término, por tanto, engloba a los líquidos y a los gases.

===Hipótesis básica===
[[Archivo:Pebbly_stream.jpg|300px|thumb|right|Agua fluyendo en paso de régimen laminar a turbulento]]

El estudio de la la mecánica de fluidos y las interacciones con el medio que lo limita se basa en la hipótesis del medio continuo: En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

===Aproximaciones al movimiento de un fluido===
A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista:

Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Lagrange Lagrangiana] del movimiento.

Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes sin importar qué partícula fluida ocupa ese volumen diferencial en ese instante. Esta es la descripción [http://es.wikipedia.org/wiki/Euler Euleriana] del movimiento, que resulta más útil por lo que será la usada en este estudio.

===Ecuaciones de Navier-Stokes===
[[Archivo:Flow.gif|400px|thumb|right|Efecto de la viscosidad en el comportamiento de un fluido]]
Las tres ecuaciones fundamentales que rigen los fluidos son:
* la ecuación de continuidad
* la ecuación de la cantidad de movimiento, y
* la ecuación de conservación de la energía.

Estas ecuaciones pueden darse en forma integral o en forma diferencial. Para llegar a su formulación diferencial, [http://es.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier Navier] y [http://es.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes Stokes] las unificaron aplicando ciertas consideraciones (principalmente la Ley de viscosidad de [http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Newton], que establece una relación lineal entre los esfuerzos tangenciales y el gradiente de la velocidad).

De esta manera se obtiene la formulación diferencial, conocida como Ecuaciones de Navier-Stokes, muy útiles para la resolución de problemas de mecánica de fluidos:

<math>
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot\boldsymbol{\mathsf{T}} + \mathbf{f}
</math>

En el caso de fluidos (<math>\mathsf{T}=\mu \nabla \vec v</math>) incompresibles (<math>\rho</math> constante), circulando en régimen estacionario (<math>\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0</math>), y despreciando los efectos de la gravedad (<math>\rho=1 , \mathbf{f}=0</math>), la ecuación queda simplificada de la siguiente forma:

<math>
\vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u,
</math>
donde <math>\vec u</math> representa el campo de velocidades del fluido, <math>p</math> el campo de presiones y <math>\mu</math> la viscosidad del fluido.

Dichas ecuaciones son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, no es posible hallar una solución analítica; por ello en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico computacional para determinar una solución aproximada.

==Estudio de un caso particular==
En este artículo estudiaremos el caso particular de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas.

La velocidad del fluido viene dada por la expresión:
<math> \vec u (x,y) = y (1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu) \vec i</math>
y la presión por:
<math> p(x,y) = p_{1}+(p_{2}-p_{1})(x-1) </math>
siendo <math> p_{1}</math>la presión en los puntos <math>x=1</math>, <math> p_{2}</math>la presión de los puntos en <math>x=2</math> y <math> \mu</math> el coeficiente de viscosidad del fluido.

Es fácil comprobar que la velocidad en las paredes <math>\vec u (y=0)</math> y <math>\vec u (y=1)</math> es nula, simplemente sustituyendo los valores de <math>y</math> en la ecuación del campo de velocidades.

===Estacionalidad===
Para saber si este campo de velocidades corresponde a un régimen estacionario, comprobaremos que verifica la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math> \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu Δ \vec u</math>
Para ello desarrollaremos por separado ambos miembros de la igualdad, verificando que llegamos al mismo resultado. Así:
<math>
\nabla \vec u = \frac{ \partial u_{i}}{ \partial x^{j} } = \begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} \\\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} \end{bmatrix} = \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j </math>

resultando <math>
\vec u \cdot \nabla \vec u = \frac{y(1-y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec i \cdot \frac{(1-2y)(p_{1}-p_{2})}{(2\mu)}\vec j = 0
</math>
por ser el producto escalar de dos vectores ortogonales.
El primer miembro queda reducido entonces a:
<math>
\nabla p = \frac{ \partial p }{ \partial x } \vec i + \frac{ \partial p }{ \partial y} \vec j = (p_{2}-p_{1}) \vec i
</math>
Por otro lado, en el segundo miembro calculamos <math>Δ \vec u</math>:
<math>
Δ \vec u = \nabla \nabla \vec u = \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2 \vec u }{ \partial y^2 }= \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial x^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial x^2 } \vec j + \frac{ \partial^2 u_1 }{ \partial y^2 } \vec i + \frac{ \partial^2 u_2 }{ \partial y^2 } \vec j = \frac { p_2-p_1}{\mu} \vec i
</math>
Multiplicando por la viscosidad, nos queda <math> \mu Δ \vec u =(p_2-p_1) \vec i </math> , verificándose la ecuación estacionaria de Navier-Stokes.

===Condición de incompresibilidad===
Todos los fluidos, al igual que los sólidos, son -desde el punto de vista estrictamente físico- [http://es.wikipedia.org/wiki/Compresibilidad compresibles] en cierto grado. No obstante, los líquidos son prácticamente incompresibles, a diferencia de los gases, que son altamente compresibles.

Para este análisis matemático, tomaremos el fluido como incompresible, es decir, su densidad se mantiene constante a lo largo del tiempo y del espacio. Para ello, la masa de fluido que entra al volumen de control debe ser igual a la que sale. Esto equivale a decir que la divergencia del campo de velocidades de un fluido incompresible es nula:

<math>
\nabla \cdot \vec u = 0
</math>

La demostración es trivial:

<math>
\nabla \cdot \vec u = \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x_1} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial x_2} = \frac{ \partial (y(1-y)(p_{1}-p_{2})/(2\mu))}{ \partial x} = 0
</math>

==Análisis del campo==
A partir de ahora, supondremos los valores de <math>p_{1}=2</math>, <math>p_{2}=1</math> y <math>\mu=0</math>. Por lo tanto, los campos de velocidades y presiones nos quedan:
<math> \vec u(x,y)= \frac{y(1-y)}{2}\vec{i} </math>:
<math> \vec p(x,y)= 3-x</math>

===Mallado===

===Campo de velocidades===
El campo de velocidades de un fluido es la representación de la velocidad que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo vectorial. Es decir, es una distribución continua de la magnitud vectorial "velocidad" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de velocidades nos permite tener una ideal fiel de cuál es la velocidad de un punto del canal, según su posición dentro de la sección.

[[Archivo:Velocities.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,8); %Dividimos en 8 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,10); %Dividimos en 10 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
U=(Y.*(1-Y))/2; %Determinamos la componente horizontal (i) de los vectores del campo
V=0*U; %Determinamos la componente vertical (j) de los vectores del campo
quiver(X,Y,U,V) %Visualizamos el campo de velocidades del fluido
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('velocidades.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

El campo de velocidades nos indica gráficamente que el fluido va ganando velocidad a medida que se acerca al plano central del canal, por lo que en dicho plano la velocidad será máxima. Esto se debe a las propiedades de viscosidad explicadas en el primer apartado del artículo: el fluido, al desplazarse en un espacio confinado genera un rozamiento con las paredes hasta el punto que llegará a generarse una finísima capa de fluido que tendrá velocidad nula.

===Campo de presiones===
El campo de presiones de un fluido es la representación de la presión que tiene cada punto de ese fluido mediante un campo escalar. Es decir, es una distribución continua de la magnitud escalar "presión" a lo largo del dominio de definición [0,4]x[0,1]. Este campo de presiones nos permite tener una ideal fiel de cuál es la presión de un punto del canal, según su posición dentro del eje longitudinal.

[[Archivo:Pressures.png]]

{{Matlab|codigo=
x=linspace(0,4,400); %Dividimos en 400 partes iguales el dominio de definición de x (perfil longitudinal)
y=linspace(0,1,100); %Dividimos en 100 partes iguales el dominio de definición de y (perfil transversal)
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos la matriz que tiene por filas las coordenadas x y por columnas las coordenadas y
Z=3-X; %Expresamos la función de la presión
h=pcolor(X,Y,Z); %Visualizamos el campo de velocidades del fluido mediante una gama de colores
axis([0,4,-1,2]) %Restringimos el gráfico mostrado al intervalo que se nos solicita
print('presiones.png') %Obtenemos una imagen del gráfico mostrado en formato .png
}}

===Lineas de corriente del campo===
[[Archivo:lineascorriente.png|300px|derecha|miniaturadeimagen| Líneas de corriente]]

Para hallar las lineas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> tenemos que tener en cuenta que son tangentes en todo momento al propio campo <math>\vec{u}</math>. Nos vamos a ayudar para su cálculo de un campo <math>\vec{v}</math> que será ortogonal al campo y por lo tanto también a las líneas de corriente. En nuestro caso llevará dirección <math>\vec{j}</math>

<center><math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} =\frac{y(1-y)}{2}\vec{j}= \nabla \psi </math></center>

Sabemos que nuestro campo es adivergente (ver apartado 2.1), esto es:

<center><math>\nabla \cdot \vec u =0 </math></center>

de lo que deducimos que el campo tiene un potencial escalar <math>\psi</math>. Para calcularlo, usaremos la metodología explicada en clase.

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial y}=\frac{y(1-y)}{2} </math> ; <math>\psi =\int\frac{y(1-y)}{2}dy =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+ f(x) </math>

<math>\frac{ \partial \psi}{\partial x}=0 </math> ; <math>\frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})) + f'(x)=0 \implies f'(x)=0 \implies f(x)=cte</math>:

<center><math>\psi =\frac{1}{2}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}) + C</math></center>:

A continuación exponemos el código matlab para representar las lineas de corriente, que serán las del potencial escalar para <math>\psi = cte</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; % creamos el vector x con valores entre 0 y 4 equidistantes 0.1
y=0:0.2:1; % creamos el vector y con valores entre 0 y 1 equidistantes 0.1
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % malla para las coordenadas
potencial= (1/2).* ((yy.^2/2)-(yy.^3/3) ); % función del potencial escalar
contour(xx,yy,potencial) %Dibujamos las líneas de nivel en el plano XY
axis([0,4,-1,2]) % fijamos los ejes en [0,4]x[-1,2]
view(2) %para visualizar el campo en el plano XY
}}

===Rotacional===
[[Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg|marco|izquierda]]

==Campo de temperaturas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:A17cpoescalarapartado6.jpg

2013-12-09T17:43:48Z

Javier Sepulveda Verdugo: Campo escalar del apartado numero 6 ejercicio 6.

Campo escalar del apartado numero 6 ejercicio 6.

Archivo:A17meshapartado1.jpg

2013-12-09T17:43:10Z

Javier Sepulveda Verdugo: Malla del apartado 1 del trabajo numero 6.

Malla del apartado 1 del trabajo numero 6.