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La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:56:01Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:55:40Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:55:06Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. Conociendo esto, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:49:37Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, substituaremos los valores obtenidos en la doble integral para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =1540,2174
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:47:59Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, substituaremos los valores obtenidos en la doble integral para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv
</math></center>
=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:47:39Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, substituaremos los valores obtenidos en la doble integral para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \squrt{1+(u+v)^2} du dv
</math></center>
=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:46:56Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, substituaremos los valores obtenidos en la doble integral para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \squrt{1+(u+v)^2 du dv
</math></center>
=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:46:37Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>
Finalmente, substituaremos los valores obtenidos en la doble integral para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (100-u^2 - v^2 -2uv) \cdot \squrt{1+(u+v)^2 du dv

=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:42:32Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
A continuacion se calculara la <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= 100-v^2 - u^2 -2uv
</math></center>

=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:39:25Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para luego meterlo en la matriz
<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>

=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:37:45Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>\left| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right | = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>

=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
Para n=100, el resultado de la integral es: 1540.2174.

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:35:31Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide22.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>\left| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right |
</math></center>

=1540,2174
Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(100*ones(n+1,1)-(uu).^2-(vv).^2-2*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:31:34Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide22.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>\left| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
\left| \phi '_u\times\phi '_v \right |
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:30:49Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide22.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
\| \phi '_u\times\phi '_v \right |
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:30:17Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide22.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
| \phi '_u\times\phi '_v \right |
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:29:25Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide22.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math> y despues <math>| \phi '_u\times\phi '_v \right |</math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

<center><math>
| \phi '_u\times\phi '_v \right |

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:18:42Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:18:21Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = cosv-vsinv-usinv \overline{i} + sinv+vcosv+ucosv \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:17:48Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}
 
\phi'_v = cosv-vsinv-usinv \overline{i} + sinv+vcosv+ucosv \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:14:28Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente codigo de matlab:

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:13:53Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}
</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T15:12:16Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide describe un fenómeno de transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, tiene la propiedad de que el radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida. En el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Encontramos diferentes aplicaciones en la ingeniería, principalmente el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es crucial, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta, lo que podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros. Sin una transición suave, los vehículos experimentan un aumento repentino en las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar la estabilidad.

Curvas de transición: Las curvas de transición en vías ferroviarias o carreteras suelen utilizar la clotoide para reducir el impacto de los cambios de dirección. Esto también mejora la seguridad y la experiencia de conducción, ya que las fuerzas centrípetas se ajustan gradualmente.

Optimización de trayectorias en vehículos: En algunos estudios de dinámica de vehículos, la clotoide se usa para modelar trayectorias que minimicen la variación en las fuerzas experimentadas por el vehículo.

==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide1.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Escalera''' ]]
[[Archivo:helicoide2.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Tornillo''' ]]
 
[[Archivo:helicoide3.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide4.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:42:33Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:40:44Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsenv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u =

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:34:17Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (senv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u =

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:32:18Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (senv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero calculamos las derivadas de <math>\phi_u </math> y <math>\phi_v </math>
<center><math>
\phi_u =

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:31:25Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (senv+ u\cdot senv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Para calcular esta matriz, primero hacemos las derivadas de <math>\phi_u </math> y <math>\phi_v </math>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:17:16Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice cónica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:10:35Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v)\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T14:09:45Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi_u)\cdot \left | \phi '_v\times\phi '(u,v) \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:12:57Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi (u,v))\cdot \left | \phi '(u,v)\times\phi '(u,v) \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:12:37Z

Javier Nievas:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi (u,v))\cdot \left | \\phi '(u,v)\times\\phi '(u,v) \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:10:13Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:09:45Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_S^{} fds = \iint_{D}^{}f(\bar{\phi(u,v)})\cdot\left |\bar{bar{phi'_u}\times\bar{phi'_v}\right|dudv </math></center>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:09:20Z

Javier Nievas: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=100-x_1^2-x_2^2</math>, para calcular la masa, se usaremos la expresion
<center><math> Masa=\iint_S^{} fds = \iint_{D}^{}f(\bar{\phi(u,v)})\cdot\left |\bar{bar{phi'_u}\times\bar{phi'_v}\right|dudv </math>

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T11:01:20Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:58:18Z

Javier Nievas:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math></center>

==Masa de la superficie reglada.==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:57:28Z

Javier Nievas:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math>

==Masa de la superficie reglada.==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:56:35Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math>

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:56:03Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:55:49Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u\cdot cosv)\overline{i} + (senv+ u\cdot senv)\overline{j} + v\overline{k} </math}

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:52:52Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> ;

<center><math>\phi (u,v)= (cosv+u

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T10:51:00Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

3) Substituir todos los valores calculados a la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:32:25Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:29:50Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{e_{\rho}}= cosv \overline{i} + senv\overline{j} </math>

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:28:56Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{e_{\rho}}= cosv {vec{i}} + senv{vec{j}} </math>

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:28:12Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{e_{\rho}}= cosv vec{i} </math>

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide. GRUPO 26

2024-12-04T09:26:07Z

Javier Nievas: /* Superficie reglada */

{{ TrabajoED | La Clotoide. GRUPO 26 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Cristina Martín de Hijas, Iñigo Guitart Simal, Alba Sánchez Alberquilla }}

[[Categoría:TC23/24]]

==Introducción.==
Expresado de un modo matemático, las clotoides son curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.
 
Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.
 
En los últimos apartados, se estudiará una hélice circular, como su superficie reglada, para su mismo análisis en la ingeniería.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se obtiene mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:clotoidefinal.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definición parámetros
N=200;
h=(4-0)/N;
t=linspace(0,4,N);
% Almacenamiento resultados
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
% Funciones
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
% Integración método trapecio
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Gráfica
figure;
plot(x,y);
axis equal
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Dibujo clotoide');
shg
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para los cálculos, hacemos uso de las definiciones de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
 
[[Archivo:veloacelfinal.jpg|350px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores velocidad y aceleración
Vx = cos(t.^2/2);
Vy = sin(t.^2/2);
Ax = -t.*sin(t.^2/2);
Ay = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot(x,y)
quiver(x,y,Vx,Vy);
quiver(x,y,Ax,Ay);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('VELOCIDAD Y ACELERACIÓN');
axis equal;
hold off
shg
}}

==Longitud de la curva.==
 
La longitud de una curva se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<center><math> ℓ(γ) = \int_{0}^{t}|γ′(t)|dt </math></center>
 
En nuestro caso <math>\vec{{\gamma }'}</math> calculado en el apartado previo es:
<math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
Su módulo por tanto es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
De lo que deducimos que la longitud de la curva es:
 
<center><math>
ℓ(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos teóricamente las siguientes definiciones
<center>
<math>\bar{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\bar{i}+sin(\frac{t^2}{2})\bar{j}}{1}
</math></center>
 
 
<center>
<math>\bar{n}(t)=\frac{-y{}'(t)\bar{i}+\bar{x}{}'(t)\bar{j}}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=-sin(\frac{t^2}{2})\bar{i}+cos(\frac{t^2}{2})\bar{j}</math>
</center> 
A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:
[[Archivo:ap4final.jpg|420px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Vectores tangente y normal
tanx= cos(t.^2/2);
tany= sin(t.^2/2);
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
% Gráfica junto a la clotoide
figure;
plot(x,y);
hold on
quiver(x,y,tanx,tany)
quiver(x,y,nx,ny)
hold off
axis equal;
title('Vectores tangente y normal');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
shg
}}
==Curvatura.==
La fórmula de la función curvatura para cualquier
parametrización <math>\gamma(t)</math> es
<center>
<math>\bar{\kappa }(t)=\frac{\bar{x}'(t)\bar{y}''(t)-\bar{x}''(t)\bar{y}'(t)}{\left ( \bar{x}'(t)^2+\bar{y}'(t)^2 \right )^\frac{3}{2}}</math></center>
Con nuestros datos obtenemos:
<center>
<math>
\bar{\kappa }(t)=\frac{t}{\sqrt{1^3}}=t</math></center> 
Para representarla utilizamos este sencillo programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 4 segundos.
[[Archivo:ap5perf.jpg|380px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Definicón de parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definicón de la función
k=t;
% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg
}}

==Circunferencia osculatriz.==
La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz. 
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea <math>P=\gamma (1)</math> , es decir <math>t=1s</math>, hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en <math>P</math> y dibujar la circunferencia junto a la curva. 
Su radio <math>R(t)</math> es igual a
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\left | \kappa (t) \right |}</math>
</center>
Su centro <math>Q(t)</math> viene dado por la fórmula <center><math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math></center>
 
 
Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados
<center><math>R(1)=1</math> </center> 
<center><math>Q(1) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1)=\int_{0}^{1}cos(\frac{t^2}{s})ds - sin(\frac{1}{2})\\\\

Q_y(1)=\int_{0}^{1}sin(\frac{t^2}{2})ds+cos(\frac{1}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante <math>t=1s</math>, primero definimos la curva de 0 a 1 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.
 
[[Archivo:grafica6buena.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Circunferencia osculatriz en el instante t=1s junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Curva de 0 a 1 segundos
t0=0;
tN=1;
N=100;
h=(tN-t0)/N;
t=linspace(t0,tN,N);
x=zeros(1,length(t));
y=zeros(1,length(t));
fx=inline('cos(s.^2/2)');
fy=inline('sin(s.^2/2)');
for N=1:length(x)
s=t(1:N);
x(N)=trapz(s,fx(s));
y(N)=trapz(s,fy(s));
end
% Punto de la clotoide para t=1
P=[x(100),y(100)];
% Vector normal calculado antes
n=[-sin(1/2),cos(1/2)];
% Aplicación de la fórmula para t=1
k=1;
R=1;
% Fórmula centro
Q=P+R*n;
% Conversión a polares
tt=linspace(0,2*pi,40);
% Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
xx=R*cos(tt)+Q(1);
% Q(2) es la coordenada en las ordenadas
yy=R*sin(tt)+Q(2);
% Gráfica osculatriz junto a la clotoide
figure;
hold on
plot(X,Y);
plot(P(1), P(2));
plot(xx,yy);
axis equal;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
hold off
shg
}}

==Propiedades para la ingeniería.==

En el ámbito de la ingeniería civil, en particular en el diseño de carreteras y ferrocarriles, las curvas de transición se usan para proporcionar giros suaves entre las secciones rectas y curvas, mejorando la seguridad y comodidad para conductores y pasajeros, así como minimizar el estrés en la infraestructura como rieles o pavimento y por supuesto en los propios vehículos.
 
 
Estas curvas ayudan a reducir las fuerzas laterales que experimentan los vehículos y trenes cuando cambian de dirección, lo que facilita su implementación, cálculo, y optimiza los costos de construcción y mantenimiento, al reducir la necesidad de realizar cambios bruscos en la dirección de una vía. Esto combinado con el peralte propicia un escenario muy favorable para evitar accidentes de descarrilamiento.
 
 
Otro uso muy común de la clotoide es en la construcción de montañas rusas. Antiguamente se hacían de forma circular erróneamente por lo que se ha modificado su trayectoria para así evitar daños a los usuarios debido a la aceleración o fuerzas <math>g</math> resultantes.

==Ejemplos en la ingeniería civil.==
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Pregunta10.2campos.jpg|'''Puente de Øresund, entre Dinamarca y Suecia'''
File:Pregunta10.3campos.jpg|'''Túnel de Laerdal, Noruega'''
File:Pregunta10.1campos.jpg|'''Carretera de Iroha-zaka, Japón'''
File:Canaldesuez112.jpg|'''Canal de Suez, Egipto'''
</gallery>

==Superficie reglada==
Consideramos la hélice en <math>R^3</math>, que se puede parametrizar en coordenadas cartesianas como
 
<center>
<math>
γ(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(cost,sint,t),t∈(0,4π)
</math>
</center>
 
Definimos la superficie reglada asociada a <math>\gamma</math> mediante segmentos de longitud <math>d</math> con vector director <math>\overline{w}(t)</math> como aquella parametrizada por
<center>
(1)
<math>\phi (u,v)=\gamma (v)+u\cdot \overline{w}(v) </math>
 
<math>v\in (a,b)</math>
 
<math>u\in (c,d)</math>
</center>
===Representación.===
Se pide dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud <math> 1</math> y vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math>.
 
Parametrizando la curva según <math>v</math>, queda la siguiente función
<center>
<math>
γ(v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(cosv,senv,v),v∈(0,4π)
</math>
</center>
 
A partir de la cual se conoce el vector posición <math>\vec{r}(v)=cosv\vec{i}+ senv\vec{j}+v\vec{k},v∈(0,4π)</math>. 
Se utiliza la siguiente Matriz de Cambio de Base para pasar el vector director <math>\vec{e_{\rho}} </math> de coordenadas cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
El vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> en coordenadas cartesianas es igual a
<center>
 
<math>\overline{w}(v)=cosv\overline{i}+senv\overline{j}</math>
</center>
 
Si aplicamos la definición (1) la parametrización de la hélice queda
<center>
<math>\phi (u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\overline{i}+(senv+u\cdot senv)\overline{j}+v\overline{k},</math> <math> v∈(0,4π), u∈(0,1)</math>
 
</center>
 
Para representarla hemos utilizado el siguiente programa en Matlab
[[Archivo:superficiereg.jpg|400px|thumb|dcha|Figura 11: Superficie Reglada]]
{{matlab|codigo=
%Definición de parámetros
v=(0:0.01:4.*pi);
u=(0:0.01:1);
%Matrices de superficie
[MU,MV]=meshgrid(u,v);
%Función de la superficie reglada
x=cos(MV)+MU.*cos(MV);
y=sin(MV)+MU.*sin(MV);
z=MV;
%Dibujo superficie
surf(x,y,z);
title('Superficie reglada');
shading flat;
shg
}}

===Aplicaciones en la Ingeniería civil.===
 
<gallery class="center" heights="500px" widths="500px">
File:Bernabeuhelic.jpg|'''Rampa petaonal, estadio Santiago Bernabeu'''
File:parkingcris.jpg|'''Rampa parking'''
File:escaleracaracol.jpg|'''Escalera de caracol'''
File:pilotehel.png|'''Pilotes helicoidales'''
</gallery>

==Masa de la superficie reglada.==
Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función
<center>
<math>f(x_1,x_2,x_3)=10-x_1^2-x_2^2</math>
</center>
Para calcular la masa utilizamos la expresión
<center>
(2)<math>Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\bar{r(u,v)})\cdot \left | \bar{r'_u}\times\bar{r'_v} \right |dudv</math>
</center>

 
 
Como hemos hallado en el apartado anterior
<center>
<math>
\phi (u,v)\begin{cases}
x=cosv+u\cdot cosv \\
y=senv+u\cdot senv\\
z=v
\end{cases}</math>
 
 

<math>

\vec{{r}}(u,v)=(cosv+u\cdot cosv)\vec{i}+(sinv+u\cdot sinv)\vec{j}+v\vec{k}</math>
 
 
<math>
\vec{{r}}_u=cosv \vec{i}+sinv\vec{j}
</math>
 
 
<math>\vec{{r}}_v=-(sinv+u\cdot sinv) \vec{i}+(cosv+u\cdot cosv)\vec{j}+\vec{k}</math>
 
 
</center>
<center>
<math>
\bar{r}'_u\times \bar{r}'_v=\begin{vmatrix}
i & j & k\\
cosv &senv &0 \\
-(senv+u\cdot senv)&cosv+u\cdot cosv & 1
\end{vmatrix}=senv\bar{i}-cosv\bar{j}+(1+u)\bar{k}</math>
</center>
 
 
El módulo del producto vectorial es igual a <center>
<math>\left | \bar{r}'_u \times \bar{r}'_v\right |=\sqrt{sen^{2}v+cos^{^{2}}v+(1+u)^{^{2}}}=\sqrt{1+(1+u^{2})}</math></center>
 
La función evaluada según el vector <math>\vec{{r}}(u,v)</math> nos da
<center>
<math>f(\vec{r}(u,v))=10-(cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9</math></center>
 
 
La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:
 
<center>
<math>
MASA=\int_{0}^{4\pi}\int_{0}^{1}(-u^{2}-2u+9)(\sqrt{1+(1+u)^2}) dudv= 145,84
</math>
</center>
 
{{matlab|codigo=
% Número de puntos
n1=100; n2=100;
% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n1; h2=(4*pi-0)/n2;
u=0:h1:1; v=0:h2:4*pi;
% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
% Cálculos
f=(-uu.^2-2.*uu+9).*(sqrt(1+(1+uu.^2)));
w1=ones(n1+1,1);
w1(1)=1/2; w1(n1+1)=1/2;
w2=ones(n2+1,1);
w2(1)=1/2; w2(n2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:21:52Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==

La Clotoide (Grupo 25)

2024-12-04T09:21:33Z

Javier Nievas: /* Superficie Reglada. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 25) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Silvia Tortuero Montero, Clara Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. }}

[[Categoría:TC24/25]]

==Introducción.==
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
Dada una función
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:hhhhhhhhhh.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:iiiiiiiii.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}
==Longitud de la curva.==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{5}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{5}1dt = 5-0 = 5
</math></center>
 
==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:jjjjjjjjj.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:5:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:kkkkkkkk.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,5,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (2) </math>, es decir, t=2, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(2)=\frac{1}{2}</math>
</center>
<center>
<math>Q(2) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(2)=\int_{0}^{2}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(2)}{2})\\\

Q_y(2)=\int_{0}^{2}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(2)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
%Calculamos las integrales de la curva para t=2
X1=integral(f1,0,2);
Y1=integral(f2,0,2);

%Definimos el centro de la circunferencia
Qx=X1-(sin(2))/2;
Qy=Y1+(cos(2))/2;
theta=linspace(0,2*pi,n);

%Calculamos el radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=2) como el radio es igual a 1/k(t):
R=1/2;

%Definimos la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(theta);
Cy=Qy+R.*sin(theta);

%Representamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(x,y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
hold off
}}
==Propiedades para la ingeniería.==
==Ejemplos en Ingeniería Civil.==
[[Archivo:clotoide11.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Curva circuito Silverstone''' ]]
[[Archivo:clotoide33.jpeg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Puente Vasco da Gama (Portugal)''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide66.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Viaducto de Brusio (Suiza)''' ]]
 

==Superficie Reglada.==
Se considera la helice conica representada por:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente;
 
1) Se parametriza la curva segun v;
 
<math><center> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsen(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas.
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sent &0 \\ sent & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sent\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 

<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> </center>

<center><math> \gamma (v)= (vcos(v),vsin(v),v)=> \gamma(v)_{cil} =(v,v,v) </math> </center>

<center><math> \bar{w}(v)=\bar{e}_p = (1,0,0) </math> </center>
Para pasar <math>\bar{e}_p </math> a cilindricas

==Masa de la superficie reglada:==