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Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:26:52Z

Javier Fabón: /* Puntos de velocidad nula y velocidad máxima */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable '''y''' (altura del punto). Sabiendo que '''s=vt''' y para tiempo igual a 1 segundo, '''s=v''', o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula y en el centro, al tener el máximo valor de '''y''', es máxima. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

'''¿Es razonable?'''

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2 </math>

Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:07:07Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

'''¿Es razonable?'''

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2 </math>

Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:06:32Z

Javier Fabón: /* Campo de temperatura */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

'''¿Es razonable?'''

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
<math>T(x,y)=(x-1)^2-y^2 </math>

Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
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[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:03:03Z

Javier Fabón: /* Rotacional */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

'''¿Es razonable?'''

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:02:04Z

Javier Fabón: /* Rotacional */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

¿Es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T19:01:28Z

Javier Fabón: /* Rotacional */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

'''(PROGRAMA Y GRÁFICA DEL ROTACIONAL AQUÍ)'''

¿Es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "''la paleta''":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en '''x''', es lógico coger una sección cualquiera "'''x'''". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:57:59Z

Javier Fabón: /* Rotacional */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}= (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{k}</math></big>

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:56:50Z

Javier Fabón: /* Rotacional */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

<big><math>|\nabla\times\vec u|= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ (y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} & 0 & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:51:57Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:51:22Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<center><math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math></center>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:50:23Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=\frac{p_1-p_2}{2μ}(\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3})+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:46:44Z

Javier Fabón: /* Puntos de velocidad nula y velocidad máxima */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math>

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:46:15Z

Javier Fabón: /* Puntos de velocidad nula y velocidad máxima */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad '''máxima''', se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
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[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:45:20Z

Javier Fabón: /* Puntos de velocidad nula y velocidad máxima */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es '''nula''' y en cuáles es '''máxima'''.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es '''nula'''

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Para hallar los puntos de velocidad máxima, se obtienen los extremos relativos de la función <math>g(y)=y-y^2</math>, que serán los mismos que los de la función dada.

<math>g'(y)=0 \longrightarrow 1-2y=0 \longrightarrow y=0.5</math>

<math>g''(y)=-2<0</math

La función presenta un máximo en '''y=0.5'''

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:34:18Z

Javier Fabón: /* Puntos de velocidad nula y velocidad máxima */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

A continuación, se investiga en qué puntos la velocidad es nula y en cuáles es máxima.
En primer lugar, se iguala la expresión de la velocidad al vector $\vec{0}$, para averiguar dónde es nula

<math>\vec{u}=y(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}=\vec{0}</math>

<math>
y(1-y)=0 \left \{ \begin{matrix} y=0
\\ y=1 \end{matrix}\right.

</math>

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:17:23Z

Javier Fabón: /* Condición de incompresibilidad */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:16:26Z

Javier Fabón: /* Condición de incompresibilidad */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math>

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

<math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}+\frac{\partial u_2}{\partial y} </math>

En el caso estudiado, <math>u_2(x,y)=0</math> y, por tanto, <math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{2μ})=0</math>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:08:27Z

Javier Fabón: /* Condición de incompresibilidad */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
La comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes pasa ahora por verificar que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:04:40Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en '''''x=1''''' y '''''x=2''''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:03:57Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en ''''x=1'''' y ''''x=2'''' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:03:23Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en ''x=1'' y ''x=2'' respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:02:11Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria '''(1)''' y la condición de incompresibilidad '''(2)''', que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> '''(1)''' </center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> '''(2)'''</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:01:16Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas '''cartesianas''' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprobado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T18:00:38Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Se comprueba si el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

Al trabajar en coordenadas ''cartesianas'' las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

Se comprueba si se cumple la igualdad
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

Queda comprabado.

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:57:38Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p= \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}=μ \Delta\vec{u}=\begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math></center>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:24:12Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 u_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_1}{\partial y^2} \\
\frac{\partial^2 u_2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u_2}{\partial y^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:21:35Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:20:42Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\nabla\ p)_1 \\
(\nabla\ p)_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
p_2-p_1 \\
0 \end{pmatrix}

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:14:47Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando:

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}</math>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:13:47Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando:

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

<math>\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial p}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{p_2-p_1}{μ} \\
0 \end{pmatrix}

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T17:10:05Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

Operando:

<math>((\nabla\vec{u})_{ij})= \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1}{\partial x} & \cfrac{\partial u_1}{\partial y} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \cfrac{\partial u_2}{\partial y} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & (1-2y)\frac{p_1-p_2}{2μ} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T16:48:11Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} \cdot u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora:

<center><math>((\nabla\vec{u})_{ij}) \cdot \begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}
(\nabla p)_1 \\
(\nabla p)_2 \end{pmatrix} = μ\cdot\begin{pmatrix}
(\Delta\vec{u})_1 \\
(\Delta\vec{u})_2 \end{pmatrix}</math> </center>

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T16:38:22Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:
<center><math>(\nabla\vec{u})_{ij} u_j+(\nabla p)_i= μ (\Delta\vec{u})_i </math> </center>

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T16:31:37Z

Javier Fabón: /* Ecuación estacionaria */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Esta expresión en lenguaje indicial será:

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T16:29:15Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>
y presión <math>\vec{p}(x,y)=p_1+(p_2-p_1)(x-1)</math>
donde $p_1$ y $p_2$ son la presión en x=1 y x=2 respectivamente

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Para poder operar analíticamente pasamos la expresión a lenguaje indicial:

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-10T16:25:56Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria(1) y la condición de incompresibilidad(2), que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> (1)</center> 
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math> (2)</center>

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}\vec{i}</math>

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Para poder operar analíticamente pasamos la expresión a lenguaje indicial:

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-09T22:54:17Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center> (Estacionaria)
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center> (Incompresibilidad)

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y\cdot(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}</math>

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Para poder operar analíticamente pasamos la expresión a lenguaje indicial:

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

.

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-09T22:50:45Z

Javier Fabón: /* Ecuaciones de Navier-Stokes */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Ecuaciones de Navier-Stokes ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente, salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas, y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener una solución aproximada.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center> (Estacionaria)
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center> (Incompresibilidad)

Siendo '''$\vec{u}$''' la velocidad del fluido y '''p''' la presión del mismo.

Sea un fluido con velocidad <math>\vec{u}(x,y)=u_1(x,y)\vec{i}+u_2(x,y)\vec{j}=y*(1-y)\frac{p_1-p_2}{2μ}</math>

=== Ecuación estacionaria ===
Veamos el fluido satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria
<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Para poder operar analíticamente pasamos la expresión a lenguaje indicial:

OBSERVACIÓN: Al trabajar en coordenadas cartesianas las componentes contravariantes y covariantes coinciden.
Ahora pasamos la expresión a matrices:

=== Condición de incompresibilidad ===
Continuemos la comprobación de las ecuaciones de Navier-Stokes viendo que se trata de un fluido incompresible, es decir, que ni se expande ni se contrae. Para ello debemos comprobar, como ya antes se ha mencionado:

La divergencia de '''$\vec{u}$''' se define como:

== Campo de presiones y campo de velocidades ==
Para el estudio de los campos de presiones y velocidades, consideramos el flujo del fluido a través de un canal con paredes rectas de dimensiones 1mx4m.

Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas. Empezamos definiendo un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1], simulando el canal.
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|sinmarco|centro|Mallado de puntos]]

=== Campo de presiones ===
Veamos el campo de presiones del fluido:

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]

El campo de presiones viene representado por una ecuación, la cual sólo depende de la variable x, lo que nos conduce a afirmar que para todo valor de y arbitrario, la presión depende de x exclusivamente. Esto explica y da sentido a nuestras gráficas ya que la zona de color rojo nos indica altas presiones al ser los valores de x próximos a cero, y alcanzar la función máximos valores para cualquier valor de y. A medida que aumentamos los valores de x la presión disminuye y alcanza ese tono azul.

Para obtener la gráfica en 2D simplemente proyectamos.

=== Campo de velocidades ===

{{matlab|codigo=
%visualización del campo de velocidades
x=0:0.5:4; %Mallado en x
y=0:0.1:1; %Mallado en y
[xx,yy]=meshgrid (x,y);
ux=1/2.*(yy-yy.^2);
uy=0.*xx
figure(1)
quiver(xx,yy,ux,uy)
}}

[[Archivo:Imagencampodevelocidades.jpg|200px|sinmarco|centro|Campo de velocidades]]

==== Puntos de velocidad nula y velocidad máxima ====

Corroboramos lo visto analíticamente mediante la siguiente gráfica:

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:velocidadampliada.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]
[[Archivo:seccionvelocidad.jpg|400px|sinmarco|centro|Sólido antes y después de desplazarse]]

En la primera gráfica representamos el sólido antes de desplazarse en dicho mallado de puntos, y proyectado según los ejes.
Para representar el desplazamiento longitudinal, usamos el campo de velocidades del fluido, el cual depende de la variable y (altura del punto). Sabiendo que s=vt y para tiempo igual a 1 segundo, s=v, o lo que es lo mismo, el valor del desplazamiento coincide con el de la velocidad. Por lo tanto, sumamos al punto su velocidad y vemos el desplazamiento que experimenta. De esta forma, en las paredes del canal, no hay desplazamiento por tanto la velocidad es nula, y en el centro es máxima, al tener el máximo valor de y. Esto es lo que queda representado en la segunda gráfica.
La tercera gráfica muestra todo lo anterior pero en una sección x.

==== Líneas de corriente ====

Vamos a dibujar ahora las líneas de corriente del campo de velocidades $\vec{u}$, es decir, las líneas de corriente son tangentes a $\vec{u}$en cada punto.
De forma general, siendo $\vec{u}$ un campo cualquiera que tenga Ψ como potencial escalar, las superficies equipotenciales (superficies con el mismo potencial) se caracterizan por ser ortogonales al campo en cada punto.
En el caso tratado, al trabajar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja (en nuestro caso el plano XOY)
Para definir las líneas de corriente $\vec{u}$ (tangentes al campo $\vec{u}$ en cada punto) vamos a definir un campo $\vec{v}$ ortogonal al mismo en cada punto y definir éstas como las líneas equipotenciales de $\vec{v}$.

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: [0,4]x[0,1]\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Existe
<math>\exists[0,4]x[0,1]: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> tal que
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

Su representación gráfica en matlab es:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:4;
y=0:0.2:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % Mallado en [0,4]x[0,1] con equidistancia 0.1
p=(1/2).*((yy.^2/2)-(yy.^3/3)); % Potencial escalar
contour(xx,yy,p) %Líneas de nivel
axis([0,4,-1,2]) % Ejes en [0,4]x[-1,2]
}}

[[Archivo:potencial1.jpg|400px|sinmarco|centro|Potencial del campo de velocidades]]

==== Rotacional ====

(Explicación analítica)

¿es razonable?

Entendamos el rotacional como un vector perpendicular al plano de curvatura del campo que caracteriza el efecto de giro o rotación del fluido. Para entender esto podemos verlo con el ejemplo práctico de "la paleta":

Para ver la rotación en un punto, cogemos una sección a la que pertenezca el punto y dibujamos su campo de velocidades. Como éste es constante en x, es lógico coger una sección cualquiera "x". (ver figura adjunta). Nos imaginamos al lado del campo de velocidades una "paleta" que tiene como eje de giro el punto en cuestión. El campo de velocidades "empujará" la paleta de una forma u otra en función de dónde se encuentre dicho eje. Veamos algunos ejemplos:
(EJEMPLO EN MEDIO, EN LA MITAD SUPERIOR Y EN EXTREMO)
Si el eje está en medio, el campo por arriba y por abajo son iguales, pero empujan en sentido contrario por tanto, el rotacional será nulo.

Si el eje está en el medio de la parte superior, girará en sentido antihorario porque el empuje del campo por abajo es mayor que el de arriba.

Por último, si el eje está en el extremo superior, todo el campo empujará la paleta en sentido antihorario.

En la parte inferior sería totalmente análogo al ser simétrico.

{{matlab|codigo=
%Valor absoluto del rotacional
y=0:0.1:1;
x=abs(1/2*(1-2*y));
plot(x,y)
}}

[[Archivo:Imagenvalorabsolutorotacional.jpg|200px|sinmarco|centro|Valor absoluto del rotacional]]

== Campo de temperatura ==
Supongamos que la temperatura del fluido viene dado por el campo:
Veamos su representación gráfica:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=((xx-1).^2)-yy.^2
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:campodetemperaturas1.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas]]
[[Archivo:campodetemperaturas2.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas sobre el plano z=0]]

Sea '''$\vec{w}$''' el gradiente de la temperatura. Comprobemos gráficamente que son ortogonales.

{{matlab|codigo=
f=inline('((x-1).^2)-y.^2','x','y'); %Campo escalar de temperatura
fx=inline('2.*(x-1)','x','y'); %derivadas parciales del campo
fy=inline('2.*y','x','y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); %hacemos el mallado
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'k'); %Curvas de nivel
hold on
xx=0:0.25:4;
yy=0:0.1:1;
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy) %Representación de las flechas
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V)
axis equal
}}

[[Archivo:fugure8.jpg|400px|sinmarco|centro|Campo de Temperaturas y lineas equipotenciales]]

OBSERVACIÓN: Esta propiedad, aplicada al campo de velocidades, es la utilizada para definir las líneas de corriente del mismo.

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

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Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-08T10:57:59Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

<math>\existsΨ: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> 
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-08T10:54:13Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
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%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
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figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
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axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

<math>\existsΨ: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> 
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

Del sistema de ecuaciones diferenciales se deduce el potencial Ψ

<math>Ψ=(1-x)(y-y^2)\frac{p_1-p_2}{2μ}+C</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-08T10:47:53Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
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%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
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%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
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axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
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axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

<math>\existsΨ: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> 
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>
\left .
\begin{matrix}
\frac{\partial Ψ}{\partial x}=u_1(x,y) \\
\frac{\partial Ψ}{\partial y}=u_2(x,y)
\end{matrix}
\right \}</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:56:45Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
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}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

<math>\existsΨ: \mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R}</math> 
<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

<math>\{\begin{array} derivada1 \\derivada2 \end{array}</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:36:13Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

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<math>\nablaΨ\longrightarrow\vec{v}(x,y)</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:28:07Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
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mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

Considerando

<math>\vec{v}: Ω\subset\mathbb{R^2}\longrightarrow\mathbb{R^2}</math> 
<math>(x,y)\longrightarrow\vec{v}(x,y)=\displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:18:03Z

Javier Fabón:

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

<math> \vec{v}=\vec{k}\times \vec{u} = \displaystyle\frac{y(1-y)(p_1-p_2)}{n}\vec{j}</math>

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
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[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:05:55Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo $\vec{u}$ un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente $\vec{v}$, que son tangentes al campo $\vec{u}$, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T21:05:14Z

Javier Fabón:

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy));
uy=0*xx;
mesh(xx+ux,yy+uy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo \vec{u} un campo con potencial escalar Ψ, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en $\mathbb{R^2}$ , las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.
Las líneas de corriente \vec{v}, que son tangentes al campo \vec{u}, se pueden definir como las líneas equipotenciales de un campo ortogonal al mismo

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T20:45:50Z

Javier Fabón: /* Líneas de corriente */

{{Trabajo|Visualización de Campos en fluidos(Grupo C12)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

== Introducción. Ecuación de Navier-Stokes. Cumplimiento. ==

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de fluidos. Con ellas se pueden analizar corrientes oceánicas, flujo alrededor de aviones o vehículos o cualquier otro fluido newtoniano presente en la atmósfera de la Tierra.
Estas ecuaciones son en derivadas parciales no lineales, y por ello no se tiene solución para las mismas. La mayoría de las veces no se pueden usar analíticamente y se tiene que llevar a cabo un análisis numérico para obtener su solución.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido son la estacionaria y la condición de incompresibilidad, que se comprueban a continuación

<center><math>\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=0 </math></center>

== Campos de velocidades, presiones y temperatura ==

Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de un canal con paredes rectas. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas.
Para empezar definimos un mallado de ejes [0,4]x[-1,2] y dentro de ellos el fluido que ocupa el rectángulo [0,4]x[0,1]
El codigo matlab para realizarlo es el siguiente
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Hacemos el mallado
mesh(xx,yy,xx*0)
axis([0,4,-1,2]) %Definimos los ejes }}
[[Archivo:C-12-1.jpg|400px|thumb|left|Mallado de puntos]]

{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
%Sólido después de desplazarse
subplot(1,2,2)
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axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:C-12-21.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de desplazarse]]

Tomando <math> p_{1}=2</math>, <math> p_{2}=1</math> y <math> \mu=1</math> los campos de presiones y velocidades que resultan:
{{matlab|codigo=
%Dibujo del campo
x=0:0.1:4; %Mallado en el intervalo [0,4]x[0,1] con longitud de paso de 0,1
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Sólido antes de desplazarse
figure(1);
subplot(1,2,1)
p= 3 - xx;
surf(xx,yy,p)
%axis([0,4,-1,2])
figure(2)
subplot(1,2,1)
p=3-xx;
surf(xx,yy,p)
axis([0,4,-1,2])
figure(3)
subplot(1,2,2)
ux=(1/2)*(yy.*(1-yy))
uy=0*xx;
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,4,-1,2])
}}

[[Archivo:C-12-311.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones]]
[[Archivo:C-12-321.jpg|200px|thumb|left|Campo de presiones proyectado sobre z=0]]
[[Archivo:C-12-332.jpg|200px|thumb|right|Campo de velocidades]]

== Líneas de corriente ==

Siendo U un campo con potencial escalar PHI, el campo es ortogonal a las superficies equipotenciales en cada punto, es decir, el campo es ortogonal al plano tangente a las superficies equipotenciales.
En el caso tratado, al estar en R2, las superficies equipotenciales pasarán a ser líneas equipotenciales y se definirán como la intersección entre la superficie equipotencial y el plano en el que se trabaja.

(...ESTÁ SIENDO MODIFICADO)

{{ Beta }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T13:03:56Z

Javier Fabón:

Visualización de campos en fluidos (Grupo C12)

2013-12-07T13:02:54Z

Javier Fabón: