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Afección de los Desastres Naturales y Desarrollo de Nuevas Infraestructuras en Haití

2016-12-06T17:16:17Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoSIG | Afección de los Desastres Naturales y Desarrollo de Nuevas Infraestructuras en Haití | Blanco Villarroel, Javier

González Barbado, Adela

Hernando Cabrero, Álvaro

Nuñez García, Jorge |
[[:Categoría:SIGAIC_16/17|Curso 16/17]]}}

El objeto del estudio puede dividirse en dos cuestiones principales, por un lado se han analizado las zonas de afección de las numerosas fallas, en el caso de producirse un sismo en una de ellas, y se han añadido variables como la población y las carreteras para así conocer aquellas zonas idóneas dónde se deberían construir las infraestructuras sanitarias o de refugio. Por otro lado, se han comparado los resultados obtenidos entre sí, así como con la situación presente del país previa a los daños causados por el reciente huracán Matthew.

Una fase previa consistirá en una descripción de las infraestructuras presentes en la zona antes del terremoto del 2010, de magnitud 7 en la escala Richter, la repercusión de éste referido a edificios, hospitales, colegios y otras dotaciones dañadas o destruidas; y la construcción de los nuevos equipamientos infraestructurales tras la catástrofe, centrados en la zona de Puerto Príncipe para una mayor claridad.

Seguidamente, se procederá de igual modo al análisis descrito en el que se valorarán el relieve, el geológico, las fallas, las carreteras y la población del país. Por último se hará una evaluación georreferenciada de los daños para una efectiva disposición de cuerpos de emergencia y, posterior rehabilitación y reconstrucción con la búsqueda de puntos con el menor daño posible en los cuales sería conveniente situar las dotaciones más necesarias en los casos de emergencia, así como, establecimiento de refugios en aquellas zonas que destaquen como las más seguras del país frente a una catástrofe natural.

== .-Introducción ==
Haití, con una superficie total de 27.750 km² y 10.711.067 habitantes, es considerado el país más pobre del continente americano, en que al menos un 65% de la población vive por debajo del umbral de pobreza, y cuya esperanza de vida no supera los 50 años. Las condiciones de vida y salud son las más precarias del mundo, habiendo al menos un 47% de los haitianos con desnutrición crónica. La vida social y comercial se desarrolla en plena calle, se deambula, se duerme, se come…, la mayoría no tiene empleo y muchos de ellos tienen a su cargo un número importante de hijos, de los cuales un 80% está sin escolarizar.

Esta situación de precariedad y pobreza se ve agravada fuertemente por los desastres naturales que le acontecen, alrededor de 30 fallas conforman parte de su superficie así como su situación geográfica la localiza en una posición de peligro frente a los huracanes tropicales. Éstos destrozan las precarias infraestructuras a su paso sin dejar vivienda, hospital o colegio habitable o útil para refugio.

Todo ello lleva a pensar en un análisis de las zonas en las que se deberían construir dotaciones importantes y de emergencia, sin embargo, la digitalización, modelización y estudio de ello es bastante pobre. En consecuencia, teniendo en cuenta consideraciones en el relieve, la localización de las fallas y el tipo del terreno se ha modelizado el daño que un sismo, para una valor medio en la escala Richter, podría producir consiguiendo localizar aquellas zonas más idóneas para el refugio o centros sanitarios.

Sin embargo, dada la situación de pobreza mencionada del país y su baja capacidad de inversión, una variable muy condicionante de proyecto son las carreteras presentes pues se busca que el acceso a estas zonas sea lo más fácil y rápido posible, así como lo más provechoso posible situándose en aquellas zonas donde la población sea mayor.

== .-Metodología ==

==== Estudio de los daños del terremoto en 2010. ====

==== Análisis de la situación del terreno. ====

[[Archivo:AdelaFallas1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Zonas de vulnerabilidad según la localización de las fallas.]]
Hemos analizado las características del terreno desde dos puntos de vista distintos: por un lado hemos evaluado la calidad geológica para garantizar un buen sustrato en el cual situar nuestras estructuras de seguridad; por otro hemos analizado el relieve, determinando la pendiente existente en cada punto para así determinar qué zonas resultarían más accesibles para evacuar hacia ellas.
En primer lugar hemos obtenido un mapa geológico, hay que aclarar que el mapa con el que hemos trabajado muestra las tipologías geológicas predominantes en cada región a muy grandes rasgos, esto se traduce en que muestra capas geológicas de cientos o incluso miles de hectáreas de extensión, evidentemente si fuésemos a construir en una de ellas deberíamos realizar un estudio mucho más preciso ya que en la realidad los estratos geológicos varían de uno a otro en cuestión de pocos metros y no existen regiones de varias hectáreas en las cuales exista un único litotipo.
En función de los litotipos existentes hemos asignado valores a cada una de estas regiones basadas en la capacidad portante que suele poseer cada estrato, de nuevo hay que puntualizar que no tenemos la información necesaria para precisar los valores geotécnicos de cada zona en particular, ya que estos varían para un mismo litotipo en distintas situaciones. Asumiendo estas imprecisiones como inevitables hemos puntuado con 3 los sustratos de muy baja capacidad portante (arenas, lapilli volcánico, piroclastos…), con 5 las de capacidad baja (principalmente aluviones), con 6-7 las de buena calidad (estratos marinos, calizas, sedimentarias) y con 8-9 las de excelentes cualidades geotécnicas (plutones, rocas graníticas…).
[[Archivo:AdelaZonas_Geologicas1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Calidad de la geología.]]
En segundo lugar, hemos asignado una puntuación a cada punto del terreno en función de su inclinación, esta puntuación varía en una escala continua de 1 a 10 y es inversamente proporcional a la pendiente del terreno. Hemos decidido adoptar este criterio debido a que para un país en vías de desarrollo como es el caso de Haití es mucho más económico construir las estructuras y los accesos a las mismas en terrenos poco escarpados, además de ello, la movilización será mucho más rápida si los puntos de ayuda se encuentran en zonas planas.
Una vez más queremos aclarar que el mapa de relieve en formato ráster que hemos utilizado para analizar el terreno tiene una precisión muy baja (240m el píxel) debido a que para trabajar con el relieve de un país entero necesitábamos un mapa de poca resolución.
[[Archivo:AccesibilidadPendientes1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Análisis del relieve.]]

==== Distribución de la población y las infraestructuras. ====
[[Archivo:AdelaPoblacion_adm11.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Población por distritos.]]
[[Archivo:AdelaPoblacion_adm21.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Población por provincias.]]
[[Archivo:AdelaCarretera1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Localización y accesibilidad de las carreteras.]]

== .-Resultados ==

==== Localización de las zonas seguras para distintas variables. ====
[[Archivo:AdelaIdoneidad1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Idoneidad del terreno.]]
[[Archivo:AdelaNivel_de_Desarrollo1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Cercanía de las zonas seguras a las carreteras.]]
[[Archivo:AdelaEstudioCompleto1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Áreas destacables por la densidad de población.]]

==== Comparativa con la situación actual del país. ====
[[Archivo:AdelaEstudioCompleto_ciudades1.png|800x800px|miniaturadeimagen|centro|Ciudades destacables por la densidad de población.]]

== .-Conclusiones ==

[[Categoría:SIGAIC_16/17]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:24:50Z

Javier Blanco Villarroel: /* C */

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
En este apartado vamos a resolver numéricamente el probelma de Cauchy definido
anteriormente, para ello tomaremos una temperatura interior inicial igual a 13°C
y supondremos que la temperatura exterior varía con el tiempo adoptando la forma
de una función senoidal ''M(t)=7-5 × cos(π/12 × t)''.
La representaremos mediante los métodos de Euler y de Runge-Kutta de orden 4 con
longitudes de paso '''h=0.1, 0.01 y 0.001''' para un lapso de tiempo de 24h.
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
[[Archivo:3.d.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos usando calefacción y aire acondicionado]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:22:22Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
En este apartado vamos a resolver numéricamente el probelma de Cauchy definido
anteriormente, para ello tomaremos una temperatura interior inicial igual a 13°C
y supondremos que la temperatura exterior varía con el tiempo adoptando la forma
de una función senoidal ''M(t)=7-5 × cos(π/12 × t)''.
La representaremos mediante los métodos de Euler y de Runge-Kutta de orden 4 con
longitudes de paso '''h=0.1, 0.01 y 0.001''' para un lapso de tiempo de 24h.
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:13:21Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:13:01Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:12:36Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:12:14Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:11:48Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}

=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T18:10:37Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Planteamiento del edificio como dos compartimentos=
==A==
==B==
{{matlab||codigo=
% EDIFICIO CON DOS ZONAS DIFERENCIADAS
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
ne=2; % Número de ecuaciones
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=[20,18]; % Vector temp. iniciales de las zonas A y B respectivamente.
ke1=1/4; % Transmisividad térmica externa en la zona A.
ke2=1/5; % Transmisividad térmica externa en la zona B.
ki=1/2; % Transmisividad térmica interna entre zonas.

% PLANTEAMIENTO DE LA FUNCIÓN DERIVADA:
fun=input('Introduzca el vector función y´=f(t,T)= ','s');
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
N=round((tN-t0)/h2); % Número de subintervalos.
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempo.
f=inline(fun,'t','T');
T=zeros(ne,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(:,1)=T0';
figure(i)
%--------------------------------------------------------------------------
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR:
M=2-7*cos(pi*t/12);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%--------------------------- Método de Euler ------------------------------
for k=1:N
T(:,k+1)=T(:,k)+h2*f(t(k),T(:,k));
end
subplot(2,2,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%---------------------- Método de Euler implícito -------------------------
I=eye(ne);
for k=1:N
A=[-(5/3+ke1+ki),ki;ki,-(13/7+ke2+ki)];
B=[ke1*(2-7*cos(pi*t/12))+110/3+10*t./(1+t);
ke2*(2-7*cos(pi*t/12))+299/7+4*cos(pi*t/6)];
T(:,k+1)=(I-h2*A)\(T(:,k)+h2*B(:,k+1));
end
subplot(2,2,2) % Segunda gráfica: Método de Euler Implícito.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Backward Euler Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%----------------------- Método de Runge-Kutta ----------------------------
for k=1:N
K1=f(t(k),T(:,k));
K2=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K1*h2);
K3=f(t(k)+1/2*h2,T(:,k)+1/2*K2*h2);
K4=f(t(k)+h2,T(:,k)+K3*h2);
T(:,k+1)=T(:,k)+h2/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,2,3) % Tercera Gráfica: Método de Runge-Kutta de orden 4.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,T(1,:),'r') % Gráfica de temperaturas en la zona A.
plot(t,T(2,:),'g') % Gráfica de temperaturas en la zona B.
j=h(i);
legend('Exterior temperature','Temperature A','Temperature B','Location','best')
title(['Zonal temperature (Runge-Kutta Method) with ' num2str(j) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
%--------------------------------------------------------------------------
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T16:41:11Z

Javier Blanco Villarroel: /* C */

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T16:40:38Z

Javier Blanco Villarroel: /* C */

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==
[[Archivo:3.d.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO CON CALEFACCIÓN O AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=4-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T15:58:21Z

Javier Blanco Villarroel: /* Efecto en la temperatura interior T(t) del uso de calefacción y aire acondicionado (U(t)≠0) */

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
==A==
==B==
==C==

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T15:53:34Z

Javier Blanco Villarroel:

{{ TrabajoED | Modelo térmico de un edificio. Grupo 3 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Javier Blanco Villarroel,
Javier Colorado Martínez,
Alberto Garcés Rodríguez,
Álvaro Llera Fernández,
Antonio Pérez Mata }}

El objetivo del trabajo es formular un modelo matemático que describa el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio en el lapso de 24h en función de la temperatura exterior, del calor que se genera dentro del edificio y del sistema de calefacción y aire acondicionado. Se trata de responder a estas tres preguntas:
¿Cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio durante la primavera y el otoño, cuando no se emplea el aire acondicionado o calefacción?
¿Cómo varia la temperatura del edificio durante el verano, cuando se utiliza aire acondicionado, o en invierno, cuando se emplea calefacción?

Para modelizar este suceso utilizaremos la teoría de ecuaciones diferenciales y modelos numéricos resueltos mediante el programa MatLab.

=Introducción y modelización=

Dentro de un edificio existen multitud de parámetros que regulan la temperatura interior, por ejemplo, dependiendo del tipo de paredes, cubierta y forjados que lo compongan, podrá tener una mayor transmitancia térmica y quedar más expuesto a la temperatura exterior. Además hay que tener en cuenta que el calor se puede transmitir por conducción, convección y radiación.

El número, tamaño y calidad de ventanas también influye, ya que representan los puentes térmicos que hacen más o menos vulnerable al edificio.

[[Archivo:PlantaEdificio.jpeg|thumb|centro|Planta de un Edificio]]

[[Archivo:MurosTipo.jpeg|thumb|centro|Muros tipo de un edificio]]

[[Archivo:Cubierta.png|thumb|centro|Detalle de cubierta ajardinada]]

[[Archivo:Cubierta2.jpg|thumb|centro|Detalle de cubierta no transitable]]

Las personas y las máquinas también influyen en la temperatura interior, ya que generan calor que transmiten al interior del edificio, de tal manera que según el manual de instalaciones de calefacción por agua caliente de Franco Martín Sánchez alrededor de tres personas generan el mismo calor que un radiador.
Evidentemente, los calefactores, radiadores y máquinas de aire acondicionado varían la temperatura interior y son usados para mantener una temperatura ideal que permita a las personas hacer las actividades para las que está diseñado el edificio.

De tal manera que para simplificar todas estas variables se tomará el edificio como un bloque donde todos sus paramentos tendrán la misma capacidad de transmisión de calor (k), el calor producido por las personas, máquinas y calefacción no será definido por zonas puntuales de fuentes o sumideros, sino que serán funciones que tendrán la misma densidad en todos los puntos del edificio; quedando un modelo así:

[[Archivo:Modelizacion.jpeg|marco|centro]]

Funciones y parámetros que participan en la temperatura:

* <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio en un instante <math>t</math>. [Medido en ºC].
* <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción. "(Expresados en términos de energía por unidad de tiempo que multiplicado por la capacidad calorífica del edificio da temperaturas por unidad de tiempo)"
* <math>M(t)=</math> Temperatura exterior. "(Medido en ºC)"
* <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio. "(Expresado en unidades de grados de cambio de temperatura por energía caloríﬁca)"
* <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio, correspondiente con el instante inicial. "(Expresado en horas)"

En nuestro caso particular estudiaremos la evolución de la temperatura en un lapso de 24h, para ello definiremos la variable <math>T(t)</math> que representa la temperatura en el interior del edificio en un instante ''t''.
Como se puede observar ''T'' será una función dependiente únicamente del tiempo ya que consideramos el interior del edificio como un único habitáculo en el cuál la temperatura es igual para todo el espacio.

Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la temperatura, aceptaremos como válidas dos hipótesis:
* Aceptaremos como válida y extrapolable a nuestro problema la ley de transmisión del calor de Fourier, que afirma que la conducción de calor entre dos cuerpos es proporcional a la diferencia de temperatura de ambos para una cierta constante <math>k</math> de proporcionalidad.
:
<math>\frac{dT_1}{dt}=k(T_1-T_2)</math>

* Consideraremos la temperatura <math>T(t)</math> igual para todo el interior del edificio.

Con estas hipótesis como premisas deduciremos la ecuación diferencial que rige la temperatura <math>T(t)</math> en base a que '''la variación de grados centígrados es igual a los grados centígrados que aumentan menos los que disminuyen'''.
El problema de Cauchy que modela el fenómeno es, por tanto:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k·(M(t)-T(t))+H(t)±U(t);\hspace{1cm} t≥0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

=Tiempo de variación significativa de <math>T(t)</math>=

La primera pregunta que se nos plantea es cuánto tarda en variar considerablemente la temperatura del edificio. Para ello, vamos a resolver numéricamente la ecuación diferencial planteada anteriormente utilizando el método de Euler implícito con un paso h=0.01.
La dificultad de usar un método de este tipo reside en que la variable que queremos calcular no aparece de manera explícita en la ecuación, por lo que hay que despejarla manualmente para introducirla en el algoritmo.

Para despejarla, tendremos en cuenta que al final del día (que coincide con el inicio del día, al ser períodos de 24h) la temperatura exterior permanece a <math>M_0</math> grados; que la razón de calentamiento adicional <math>(H_0)</math> es 0 grados, al igual que la razón de calefacción <math>(U_0)</math>; y que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es <math>t_0</math> grados.

Es decir, la ecuación diferencial quedaría como:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))+0+0 \\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Ecuación diferencial definitiva:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T'(t)=\Delta(ºC)=k(M(t)-T(t))\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

Que tiene como solución de la ecuación la función:
:

<math>T(t)=(T_0-M_0)·e^{-k·t}+M_0</math>

En este apartado hemos tomado una temperatura exterior <math>M(t)</math> constante e igual a 8°C, una constante térmica del edificio igual a 3 y una temperatura inicial a las 00:00h de 14°C.
Usando Euler implícito como indica el enunciado, quedaría un bucle:
:

\begin{equation*}
\begin{cases}
T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1})\\
T(0)=t_0
\end{cases}
\end{equation*}

: <math>T_{n+1}=T_n+h·f(t_{n+1},T{n+1}) = T_n+h·f·[k·(M_0-T_1)] \Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+h·[\frac{1}{3}·(8-T_{n+1})]=T_n+h·[\frac{8}{3}-\frac{1}{3} T_{n+1}]=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1}\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h-\frac{1}{3}h·T_{n+1} \Longrightarrow T_{n+1}+\frac{1}{3}h·T_{n+1}=T_n+\frac{8}{3}h\Longrightarrow</math>
: <math>T_{n+1}·(1+\frac{1}{3}h)=T_n+\frac{8}{3}h⟹\boxed{(T_{n+1}=\frac{(T_n+\frac{8}{3}h)}{(1+\frac{1}{3}h)})}</math>

A continuación, resolvemos el problema numérico en Matlab con los datos anteriormente expuestos:

{{matlab|codigo=
% CAMBIO CONSIDERABLE DE LA TEMPERATURA DEL EDIFICIO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all, clc, close all
% Ecuación diferencial: T'(t)=1/3*(M0-T(t));
% Solución exacta T(t)=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0;

% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo.
k=1/3; % Cte de tiempo del edificio: t=1/k=3
M0=input('Valor inicial de la temperatura exterior: ');
T0=input('Valor inicial de la temperatura interior: ');

% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
h=input('Introduzca el tamaño de paso h: ');
N=round((tN-t0)/h); % Número de subintervalos.
t=linspace(t0,tN,N+1); % Vector de tiempo.
%--------------------------------------------------------------------------
% SOLUCIÓN EXACTA:
Tex=(T0-M0)*exp(-1/3*t)+M0; % Función solución exacta (solución analítica).

% CÁLCULO NUMÉRICO: Método de Euler Implícito (Backward Euler Method).
T=zeros(size(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
for i=1:N % Inicio del bucle.
T(i+1)=(T(i)+8*h/3)/(1+h/3);
end
% ¡Cuidado! Si no hay valor de "T" ó "t" en la EDO, escribir "0*T" ó "0*t".
%--------------------------------------------------------------------------
% GRÁFICAS:
hold on
subplot(1,3,1) % Primera gráfica.
plot(t,Tex,'r') % Gráfica de la solución exacta (solución analítica).
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Exact Ecuation')
subplot(1,3,2) % Segunda gráfica.
plot(t,T,'b') % Gráfica de la solución aproximada (solución númerica).
xlabel('Time'), ylabel('Temperature')
title('Temperature variation')
legend('Backward Euler Method')
subplot(1,3,3) % Tercera gráfica.
plot(t,Tex,'r',t,T,'b') % Gráfica de comparación de métodos.
xlabel('Time'); ylabel('Temperature')
title('Comparation between methods')
legend('Exact Ecuation','Backward Euler Method','Location','best')
hold off
%--------------------------------------------------------------------------
% ESTUDIO DE LOS ERRORES:
format long; % Todos los decimales.
err=abs(Tex-T); % Cálculo del error en valor absoluto.
maxi= max(err); % Máximo error obtenido.
fprintf('El error máximo es %7.10f\n',maxi)
pos=1:1:length(t); % Vector posición (mismo tamaño que el vector "t").
% Tabla recopilación de soluciones y errores:
disp('No=0, Sí=1')
quieres=input('Quieres la tabla? ')
if quieres==1
Tabl=[pos', t',T',Tex',err']
else
Tabl=[pos', t',T',Tex',err'];
end
}}
[[Archivo:Ejj1.jpg|marco|centro|Solución Exacta comparada con la obtenida por el método de Euler implícito]]

El error máximo obtenido con el método numérico es <math>0.0036736935ºC</math>

=Variación de la temperatura interior <math>T(t)</math> sin calefacción ni aire acondicionado <math>(U(t)=0)</math>=
==A==
Solución a la segunda pregunta:
En este apartado, el calor producido por personas y elementos del edificio <math>H(t)</math> se mantiene constante siendo igual a <math>H_0</math>. No hay calefacción, por lo que <math>U(t)</math> es igual a cero y la temperatura exterior varía de forma senoidal con un período de 24 horas de la manera: <math>M(t)=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)</math>
Es decir:
# <math>T(t)=</math> Temperatura interior del edificio.
# <math>H(t)=</math> Calor producido por personas y elementos del edificio<math>=H_0</math>
# <math>U(t)=</math> Calentamiento producido por la calefacción<math>=0</math>
# <math>M(t)=</math> Temperatura exterior<math>=M_0-B·cos⁡(ϖ·t)=M_0-B·cos⁡(\frac{π}{12·t})</math>
# <math>k=</math> Constante que depende de las propiedades del edificio.
# <math>t_0=\frac{1}{k}=</math> Constante del tiempo del edificio.
==B==
==C==
==D==
[[Archivo:eje2.jpg|marco|derecha|Variación de la temperatura con el tiempo para distintos pasos]]
{{matlab|codigo=
% VARIACIÓN DE TEMPERATURA EN EL EDIFICIO SIN CALEFACCIÓN NI AIRE
% ACONDICIONADO
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc; clf; clear all;
% DATOS DE PARTIDA:
t0=0; tN=24; % Intervalo de tiempo en horas.
T0=input('Introduzca el valor de la temperatura interna inicial: ');
h=input('Introduzca vector de longitudes de paso: ');
for i=1:length(h)
h2=h(i);
% DISCRETIZACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE "t":
t=t0:h2:tN; % Vector de tiempos.
f=inline('1/3*(4-5*cos((pi/12)*t)-T)+3+(7/8)*(22-T)','t','T');
figure(i)
T=zeros(1,length(t)); % Matriz "vacía" de la solución numérica.
T(1)=T0;
% FUNCIÓN TEMPERATURA EXTERIOR
M=7-5*cos((pi/12)*t);
% CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICAS:
%-------------------------- Método de Euler -------------------------------
TE=T;
for j=1:length(t)-1;
TE(j+1)=TE(j)+h2*f(t(j),TE(j));
end
subplot(2,1,1) % Primera gráfica: Método de Euler.
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TE,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
k=h(i);
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Euler Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
%------------------------- Método de Runge-Kutta --------------------------
TRK=T;
for j=1:length(t)-1
K1=f(t(j),TRK(j));
K2=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)*K1);
K3=f(t(j)+h2/2,TRK(j)+(h2/2)+K2);
K4=f(t(j)+h2,TRK(j)+h2*K3);
TRK(j+1)=TRK(j)+(h2/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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subplot(2,1,2) % Segunda gráfica: Método de Runge-kutta de orden 4
hold on
plot(t,M,'b') % Gráfica de temperaturas exteriores.
plot(t,TRK,'r') % Gráfica de temperaturas interiores.
legend('Exterior temperature','Indoor temperature','Location','best')
title(['Runge Kutta Method with ' num2str(k) ''])
xlabel('Time (hours)'); ylabel('Temperature (ºC)')
hold off
end
}}
=Efecto en la temperatura interior <math>T(t)</math> del uso de calefacción y aire acondicionado <math>(U(t)≠0)</math>=
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T15:50:20Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Archivo:3.d.jpg

2016-05-03T15:49:14Z

Javier Blanco Villarroel:

Archivo:Eje2.jpg

2016-05-03T15:48:55Z

Javier Blanco Villarroel:

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T15:47:34Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-03T15:45:45Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:52:25Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:51:50Z

Javier Blanco Villarroel: /* Modelización del problema */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:44:35Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:42:15Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:42:00Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:41:37Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T20:41:12Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T19:11:43Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T19:08:45Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 2 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T19:08:07Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T19:03:23Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Archivo:Ejj1.jpg

2016-05-02T19:01:59Z

Javier Blanco Villarroel:

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:58:43Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:58:08Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:57:51Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Archivo:Ej1.jpg

2016-05-02T18:56:19Z

Javier Blanco Villarroel:

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:54:08Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:36:41Z

Javier Blanco Villarroel: /* Apartado 1 */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:34:24Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Archivo:2.d.jpg

2016-05-02T18:33:37Z

Javier Blanco Villarroel:

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:27:08Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:24:42Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:24:01Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:23:48Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:23:25Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:22:49Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:22:31Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:21:35Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:20:46Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:19:04Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:17:31Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */

Modelo térmico de un edificio (GRUPO 3)

2016-05-02T18:17:07Z

Javier Blanco Villarroel: /* D */