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Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-07T12:18:38Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t} </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler ====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]

====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]] 
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-07T12:17:23Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t} </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t);
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler ====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
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N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
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i=i0;
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i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
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i1=i2+i3;
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subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]

====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
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N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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hold off

}}
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==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

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E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
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i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]] 
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-07T12:16:49Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t);
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler ====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]

====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]] 
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-04T22:52:33Z

JaviLozano: /* Método de Euler explícito */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler ====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
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N=10000; h=(tN-t0)/N;
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B=[10/L2 10/L1]';
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for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
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end
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plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]

====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
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hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]] 
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-04T22:49:57Z

JaviLozano: /* Resolución */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]] 
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-04T22:49:36Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
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subplot(3,1,3)
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plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
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t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i11=1-i1;
i22=1-i2;
i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]]
--[[Usuario:JaviLozano|JaviLozano]] ([[Usuario discusión:JaviLozano|discusión]]) 23:49 4 mar 2013 (CET)

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-04T22:48:39Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
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for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
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end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
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i33=i11-i22;
subplot(3,1,1)
plot(x,i11,'x')
subplot(3,1,2)
plot(x,i22,'x')
subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}
[[Archivo:Aptd6.jpg|border|600px]]

Archivo:Aptd6.jpg

2013-03-04T22:47:58Z

JaviLozano:

Archivo:APtd6.jpg

2013-03-04T22:46:50Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-04T22:45:18Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
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x=t0:h:tN;
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subplot(3,1,1)
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subplot(3,1,2)
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subplot(3,1,3)
plot(x,i33,'x')

i33(N)
i22(N)
i11(N)

%Como la intensidad es negativa, debemos considerar el sentido contrario al
%que hemos tomado inicialmente
}}

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T23:50:41Z

JaviLozano: /* Método de Euler implícito */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método del Trapecio====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
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hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T20:39:59Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
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t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
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for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
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x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
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i(1)=ii;
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t(n+1)= tn+h;
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i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
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for n=1:N
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plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''
===Resolución===
Sabiendo que el circuito a tiempo 0.3 esta cerrado y vale 1A, si abrimos el circuito, se producirá una disminución de la intensidad $i_{1}$ e $i_{2}$ hasta llegar practicamente a 0, es decir, es asintótica en 0.

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T14:37:48Z

JaviLozano: /* Método de Euler */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]

===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
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hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T14:37:32Z

JaviLozano: /* Apartado 2 */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
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t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
[[Archivo:Euler12.jpg|border|500px]]
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
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%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
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==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''

Archivo:Euler12.jpg

2013-03-03T14:36:51Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T14:35:48Z

JaviLozano: /* Apartado 2 */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','b*')}}
[[Archivo:Trapecio12.jpg|border|500px]]

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''

Archivo:Trapecio12.jpg

2013-03-03T14:34:54Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T10:50:38Z

JaviLozano: /* Apartado 5 */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentación $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
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i3(n+1)=i(1);
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end
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i1=i2+i3;
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subplot(3,1,2)
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subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
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}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-03T10:45:56Z

JaviLozano: /* Apartado 6 */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

''Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?''

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:31:39Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
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tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
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i(n+1)=ii;
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x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
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x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
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}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

Suponiendo que las intensidades $i_{1}$, $i_{2}$ eran iguales en el tiempo $t$ = 0.3 con valor 1 amperio. ¿Qué valores de las intensidades había inicialmente?

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:30:01Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
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t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
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}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

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R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

==Apartado 6==

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:28:31Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.
<math> i(t)=10/5-2e^{-5/0.2t}+10/5 </math>

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
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x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
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hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:27:13Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
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subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:26:50Z

JaviLozano: /* Cálculo analítico */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

<math> i(t)=2-2e^{-25t} </math>
{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
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}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:25:23Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 

<big><math>i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0</math></big>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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x=t0:h:tN;
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subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
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plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
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Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:24:38Z

JaviLozano: /* Ecuación diferencial */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo. 
<math> i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 </math>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
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subplot(3,1,2)
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subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
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====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
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L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
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A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
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}}
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Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:24:21Z

JaviLozano: /* Ecuación diferencial */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.
<math> i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 </math>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
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}}
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===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
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E=10;
R=5;
L=0.2;
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% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
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i(1)=ii;
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==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
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[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
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%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
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====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
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B=[10/L2 10/L1]';
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i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
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}}
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Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:24:01Z

JaviLozano: /* Ecuación diferencial */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

<math> i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 </math>

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
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t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
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}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
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i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:18:37Z

JaviLozano: /* Apartado 5 */

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
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subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
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subplot(3,1,3)
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plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
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hold off

}}
[[Archivo:Aptd52.jpg|border|600px]]

Archivo:Aptd52.jpg

2013-03-02T21:18:04Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:16:56Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
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x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]
====Método de Euler implícito====

{{matlab|codigo=
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B)
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off

}}

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:12:11Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|600px]]

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:11:57Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}
[[Archivo:Aptd51.jpg|border|500px]]

Archivo:Aptd51.jpg

2013-03-02T21:11:11Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:07:43Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

''
===Resolución===
La resolución del sistema para los parámetros aportados nos da los diferentes valores de las intensidades en función del tiempo. Este comportamiento se puede considerar constante a partir de tiempos mayores a t=0.05 ya que ambas intensidades tienden fuertemente hacia unos valores definidos. Por tanto la variación temporal de la intensidad se producirá antes de dicho valor estabilizándose a partir del mismo.
====Método de Euler explícito====
{{matlab|codigo=

clear all
E=10;
R1=6;
R2=6;
L1= 0.02;
L2 = 0.0025;
t0=0; tN=0.3;
i0 = [0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -R1/L1];
B=[10/L2 10/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i1,'r*')
subplot(3,1,2)
plot (x,i2,'b*')
subplot(3,1,3)
hold on
plot (x,i2,'b*')
plot (x,i1,'r*')
plot (x,i3,'g*')
hold off
%i1 es la suma de i2 e i3 por lo que se observa que cuando i3 tiende a
%cero, el valor de i1 e i2 es el mismo y por eso aparecen superpuestas
}}

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T21:01:53Z

JaviLozano:

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia, un inductor o bobina y una fuente de alimentación.
* En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

<math>i(t)={V(t)\over R}</math>
* En un inductor L la Ley de Faraday dice:

<math> V(t)=L\cdot i'(t)</math>
Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina.
Las leyes de Kirchoff dicen:
# Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
# Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.
==Apartado1==

''Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda en la figura 1 cuando está cerrado.''
===Ecuación diferencial===
Cuando cerramos el circuito, la cantidad de voltaje total segun la ley de tensiones de Kirchoff será la suma del voltaje que hay en la resistencia y el que hay en la bobina. El de la resistencia será intensidad por resistencia y el de la bobina será el valor de esta por la derivada de la intensidad con respecto al tiempo.

==Apartado 2 ==

''Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t > 0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante E(t) = 10V , L = 0.2 y R = 5Ω. Resolver la ecuación diferencial numéricamente con el método de Euler y comparar los resultados. ¿Cómo hay que elegir el paso de discretización temporal para que el método sea estable? Usar el método del trapecio para poder elegir el paso más grande.''
=== Cálculo analítico ===
Al suponer que en tiempo 0 cerramos el circuito, estamos definiendo nuestra condición inicial, i(0)=0, convirtiendo la ecuación en un problema de valor inicial. Para representarla, primero debemos resolverla analíticamente, es decir, a mano. Una vez tenemos la solución en función del tiempo, podemos proceder a su representación con el siguiente código matlab.

{{matlab|codigo=
clear all
t=[0:0.0000001:1];
i= (-10/5)*exp((-5/0.2)*t)+10/5;
plot(t,i,'r*')

}}
[[Archivo:Analitico.jpg|border|500px]]

===Método de Euler===

El método de Euler se basa en aproximar el valor de la función a la tangente en cada punto, cuanto más cercanos cojamos los puntos, mayor será la aproximación al resultado real, haciéndolo más exacto. En matlab tendra el siguiente codigo, definiendo ''h'' y observando que por este método la ''h'', es decir, el paso de discretizacion temporal debe ser muy pequeño.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10;
R=5;
L=0.2;
t0=0; tN=1;
h=0.0000001;
N=1/0.0000001;
i0=0;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
ii=ii+h*[(-R/L)*ii + E/L];
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')
% El paso de discretizacion debe ser muy pequeno para que el error no se
% acumule y el metodo sea estable. Sin embargo, un paso de discretizacion
% extremadamente pequeno ralentizaria el programa
}}
===Método del trapecio===

Otro método aproximado para la resolución de problemas de valor inicial es el llamado método del trapecio que es mas exacto que el de Euler. Se basa en la aproximación al área de un trapecio y después de hacer los cálculos oportunos (hay que despejar la solución ya que con este método queda de forma implícita).
{{matlab|codigo=

clear all
R=5; L=0.2; E=10;
t0=0; tN=1;
i0=0;
N=1/0.0000001; h=(1-0)/N;
ii=i0;
i(1)=ii;
for n=1:N
tn=t0+h*n;
t(n+1)= tn+h;
ii=((1-(h*R)/(2*L))*ii+h*E/L)/(1+((h*R)/(2*L)));
i(n+1)=ii;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,i,'x','r*')}}

==Apartado 3==

''Suponiendo que el circuito en el instante t = 0 está cerrado con una intensidad i(t)=2A, y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica. Interpretar el resultado.''
===Resolución===
Con las condiciones impuestas por el enunciado, la ecuacion diferencial es la misma que en el apartado anterior. Los valores iniciales también coinciden con los del apartado anterior.
Pero en este caso, al perder intensidad, solo habrá que restar a la intensidad inicial la solución de la ecuación diferencial, con la misma constante que el apartado 2.
{{matlab|codigo=
clear all
E=10
R=5
L=0.2
t=[0:0.0000001:1];
i=2-((-E/R)*exp((-R/L)*t)+E/R);
plot(t,i,'r*')}}

[[Archivo:Aptd3.jpg|border|500px]] 
En la gráfica se observa que la intensidad parte de 2 y va disminuyendo progresivamente realizando una exponencial asintótica en 0.
==Apartado 4==

''El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la derecha en la figura 
Interpretar cada ecuación en términos de las leyes de Kirchoff ''

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math>

<math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math>

<math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> 
 
''Escribir el sistema anterior en términos de $i_{2}(t)$ y $i_{3}(t)$, eliminando $i_{1}(t)$. Interpretar las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0. ¿Cómo cambia el sistema de ecuaciones si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ e inductor $i_{3}$ (similares a $R_{2}$, $L_{2}$) a la derecha del segundo circuito de la figura 1?
''
===Resolución===
====Interpretación de las ecuaciones====
La primera ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> corresponde a la malla 2 formada por el generador,$R_{1}$,$L_{2}$ y $R_{2}$. 
 
La segunda ecuación <math> E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)</math> corresponde a la malla 1 formada por elgenerador,$R_{1}$ y $L_{1}$. 
 
La última ecuación <math> i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)</math> corresponde al nudo A, donde las intensidades se encuentran. Así el sumatorio de las que entran ($i_{1}(t)$) ha de ser igual al sumatorio de las quesalen ($i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$).
====Reescritura del sistema====
Podemos escribir este sistema en términos de $i_{2}(t)$ e $i_{3}(t)$, usando la tercera ecuación y sustituyendo en las dos primeras 
<math> E(t)=R_1{i_2(t)}+R_1{i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)</math> 
<math> E(t)=R_1{i_2(t) }+R_1{i_3(t)}+L_1i'_3(t) </math> 
Dadas las condiciones iniciales $i_{2}(0)$ = $i_{3}(0)$ = 0 , tanto $i'_2(t)$ como $i'_{3}(t)$ serían cero. 
Además $i_{1}(0)$ = $i_{2}(0)$ + $i_{3}(0)$ = 0 , por lo que no habría corriente por el circuito ni tensión.

====Cambios del sistema de ecuaciones al añadir nuevo ciclo====
Si añadimos a la derecha del circuito un nuevo ciclo con una resistencia $R_{3}$ y una inductancia$L_{3}$, nos aparecerían dos nuevas intensidades $i_{4}(t)$ e $i_{5}(t)$. $i_{4}(t)$ circularía por el tramo comúndel nuevo ciclo y el anterior (donde se encuentra $L_{2}$) e $i_{5}(t)$ circularía por el nuevo cicloexclusivamente (donde se encuentran $R_{3}$ y $L_{3}$). No obstante, también se añadirían dosecuaciones: la referida a la malla 3 y la referida al nudo B. 
Malla 3: <math> E(t)=R_1{i_1(t)}+R_2{i_2(t)}+R_3{i_5(t)}+L_3i'_5(t)</math> 
Nudo B: <math> i_2(t) = i_4(t)+i_5(t)</math>De esta forma se han añadido nos nuevas ecuaciones para las dos nuevas incógnitas.
==Apartado 5==
''Resolver el sistema anterior para los siguientes parámetros: $R_{1}$ = $R_{2}$ = 6Ω , $L_{1}$ = 0,02H, $L_{2}$= 0,0025H y la fuente de alimentaci ́on $E(t)$ = 10V constantes. Usar el método de Euler explícito y el método implícito del trapezoide. Comparar los resultados de las intensidades $i_{1}(t)$ ,$i_{2}(t)$ para diferentes tiempos del intervalo [0,0.3]. Dibujar e interpretar las gráficas de las intensidades.

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Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:56:08Z

JaviLozano: /* Ecuación diferencial */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:54:12Z

JaviLozano: /* Apartado 4 */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:52:52Z

JaviLozano: /* Apartado1 */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:52:38Z

JaviLozano: /* Ecuación diferencial */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:47:54Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:35:18Z

JaviLozano: /* Reescritura del sistema */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:34:55Z

JaviLozano: /* Reescritura del sistema */

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:34:06Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:19:23Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:12:44Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:12:07Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:09:29Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T20:01:25Z

JaviLozano:

Circuitos eléctricos RL (grupo 12)

2013-03-02T19:57:09Z

JaviLozano: