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Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T11:04:26Z

Jaimecn: /* Representación del campo de presiones y velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
uy=(-3/4).*xx.^2+3;
ux=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,10])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionalg23.png|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
[pX,pY]=gradient(p);
hold on
quiver(X,Y,pX,pY)
contour(X,Y,p,'k');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente temperatura y curvas de nivel');
shading flat
grid on
hold off

}}

===Caudal===
Para poder calcular el caudal que llevara la tubería, se estudia el volumen de fluido que pasa a través de la tubería. La integral de la superficie es la siguiente:

<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>

La <math>(\vec{v})</math> es el campo de velocidades, este campo es el calculado anteriormente.

<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T10:59:43Z

Jaimecn: /* Representación del campo de presiones y velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
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mesh(xx,yy,0*xx)
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view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
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ux=(-3/4).*xx.^2+3;
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quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,10])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionalg23.png|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
[pX,pY]=gradient(p);
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quiver(X,Y,pX,pY)
contour(X,Y,p,'k');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente temperatura y curvas de nivel');
shading flat
grid on
hold off

}}

===Caudal===
Para poder calcular el caudal que llevara la tubería, se estudia el volumen de fluido que pasa a través de la tubería. La integral de la superficie es la siguiente:

<math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math>

La \vec{v} es el campo de velocidades, este campo es el calculado anteriormente.

<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)=

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T10:37:36Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionalg23.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
[pX,pY]=gradient(p);
hold on
quiver(X,Y,pX,pY)
contour(X,Y,p,'k');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente temperatura y curvas de nivel');
shading flat
grid on
hold off

}}

===Caudal===

Archivo:Rotacionalg23.png

2023-12-14T10:36:55Z

Jaimecn:

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T10:33:57Z

Jaimecn: /* Gradiente de la Temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
[pX,pY]=gradient(p);
hold on
quiver(X,Y,pX,pY)
contour(X,Y,p,'k');
axis([0,2,0,10]);
title('Gradiente temperatura y curvas de nivel');
shading flat
grid on
hold off

}}

===Caudal===

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T10:21:23Z

Jaimecn: /* Temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2).^2);
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

curvas de nivel
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[pX,pY]=gradient(p);
hold on
quiver(X,Y,pX,pY)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(X,Y);
figure (1)
p=1+(((X.^2+Y.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Y-1).^2)));
[pX,pY]=gradient(p);
hold on
quiver(X,Y,pX,pY)
contour(X,Y,p,'k');
axis([0,8,-1,10]);
shading flat
grid on
hold off
}}

===Caudal===

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-14T10:18:00Z

Jaimecn: /* Temperatura del fluido */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresionesdefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(f,z)
xlabel('Incremento de presión');
ylabel('Incremento de altura');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedefinitivo.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-(1/4).*(R.^3)+3.*R;
contour(R,Z,F);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sustituimos los valores anteriores llegamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura del fluido===
La temperatura de nuestro fluido viene dada por el campo escalar:

<math>{T}(\rho,\theta,z)= log (1 + \rho) e^{-(z-2)}</math>

Como podemos ver el campo escalar viene dado en coordenadas cilíndricas por lo que que calculo el gradiente con la siguiente fórmula:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{df}{dp}\cdot(e\rho)+ \frac{1}{p} \cdot\frac{df}{d\theta} \cdot(e\theta)+ \frac{df}{dz}\cdot(ez)</math>

Finalmente, el gradiente queda expresado en el siguiente campo:

<math>\bigtriangledown{T}(\rho,\theta,z)=\frac{e^{-(z-2)}}{1+\rho} -2 \cdot log(\rho + 1) \cdot (z-2) \cdot{e^{-(z-2)}}</math>

El campo de temperatura se observara a mayor detalle en la siguiente gráfica, realizada en Matlab
{{matlab|codigo=
x=0:0.01:2;
y=0:0.05:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
p=log(1+X).*exp(-(Y-2));
pcolor(X,Y,p);
shading flat
hold on
title('Campo de temperaturas')
axis([0,3,0,10]);
colorbar
hold off
figure(2)
hold on
contour(X,Y,p,'k');
title('Curvas de nivel')
hold off
axis([0,2,0,10]);
}}

===Gradiente de la Temperatura===
Para estudiar la variación de temperatura, analizamos el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada uno de los puntos.
Con este gráfico creado, podemos observar que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.

===Caudal===

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:29:32Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores llegamos a que </math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:28:51Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores llegamos a que </math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:28:26Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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title('Mallado de la sección de la tubería');
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}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores llegamos a que </math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:27:37Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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mesh(xx,yy,0*xx)
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title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores llegamos a que </math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:27:11Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
}}

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:26:44Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
{{x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:25:53Z

Jaimecn: /* Velocidad Máxima del Fluido */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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[xx,yy]=meshgrid(x,y)
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mesh(xx,yy,0*xx)
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view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}

===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:25:38Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:24:47Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
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F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math> linealmente.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:24:20Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:23:56Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:23:37Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
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view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
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quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
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F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
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surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:23:05Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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[xx,yy]=meshgrid(x,y)
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title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de <math>\rho<math>linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:22:25Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Archivo:Rotacionag23l.jpg

2023-12-13T20:21:37Z

Jaimecn:

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:20:19Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
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quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.
[[Archivo:Rotacionag23l.jpg|350px|miniaturadeimagen]]

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:17:54Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=\frac{-3\rho}2</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:17:07Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=(\frac{3\rho}2)</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:16:23Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=(\frac{3/2}\rho)</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:15:26Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=(\frac{-9\rho}{4}+\frac{3}{\rho})</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-3/2).*xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en los extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:12:06Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
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title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=(\frac{-9\rho}{4}+\frac{3}{\rho})</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-9/4).*xx+(3)./xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en el centro, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:04:40Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
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title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
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quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=(\frac{-3\rho}{4}+\frac{1}{\rho})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a que <math>(\frac{-9\rho}{4}+\frac{3}{\rho})</math>
x=0:0.1:2;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
rot=abs((-9/4).*xx+(3)./xx);
hold on
surf(xx,yy,rot);
colorbar;
axis([0,2.5,0,10]);
title('Rotacional de u');
hold off
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en el centro, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T20:01:56Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=(\frac{-3\rho}{4}+\frac{1}{\rho})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}</math>

Si sutimos los valores anteriores legamos a:<math>(\frac{-9\rho}{4}+\frac{3}{\rho})</math>
Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en el centro, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T19:59:26Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
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quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=(\frac{-3\rho}{4}+\frac{1}{\rho})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}</math>

Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en el centro, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T19:58:34Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
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mesh(xx,yy,0*xx)
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view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho</math>

Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en el centro, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T19:43:01Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

Calculamos el rotacional de el campo de velocidades.

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho</math>

Podemos observar que los puntos con mayor rotacional se encuentran en os extremos, al depender solo de </math>\rho</math> linealmente.

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-13T19:29:17Z

Jaimecn: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED | Flujo de Poiseuille (Grupo 23) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ana Gastañaga Solana Jaime Casanova Navas Jorge Muñoz Jiménez Daniel Galarza Polo Óscar García Caballero }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
===Introducción===

===Mallado de la sección transversal de la tubería===
El mallado dibujado en dimensión 2 representa la sección transversal de la tubería <math> x_{1} = 0 </math>, fijando los ejes en la región <math> \left ( \rho,z \right )\epsilon \left [ 0,3 \right ]\times \left [ 0,10 \right ]. </math>
[[Archivo:Malladodelasecciondelatub.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:3;
y=0:0.1:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,3,0,10])
view(2);
title('Mallado de la sección de la tubería');
hold off
}}

===Ecuación Navier-Stokes===
La velocidad esta definida por el campo vectorial <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y su presión por el camp escalar <math>p\left(x,y\right)=p_{1}+\left (p_{2}-p_{1}\right)(z-1) </math> siendo <math> p_{1} </math> es la presión en <math> z=1 </math>, <math> p_{2} </math> la presión en <math> z=3 </math> y <math> \mu </math> su coeficiente de viscosidad.

Ecuacion de Navier-Stokes: <math> \left ( \vec{u}\cdot \triangledown \right )\vec{u}+\triangledown p=\mu\Delta\vec{u}, </math>

Si <math> \left ( \vec{u},\rho \right ) </math> satisface la ecuación Navier-Stokes y despreciamos el termino convectivo de la misma llegamos a la siguiente ecuacion diferencial

<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )=\frac{p_{2}-p_{1}}{\mu} </math>.

Mutiplicando por <math> \rho </math> e integramos dos veces obtenemos que

<math> f\left(\rho \right )=\frac{\left ( p_{2}-p_{1} \right )}{4\mu}\rho^{2} + \rho*c + k</math>.

Para encontrar la solución exacta suponemos que para <math> \rho=2 </math> y para <math> \rho=2 </math>, <math> f\left ( \rho \right )=0 </math>,obteniendo:

<math>f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ]</math>

Ademas, al ser la funcion de velocidad <math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}}</math> y <math> f\left ( \rho \right ) </math> no depender de <math> z </math> su divergente es nulo lo que nos indica que el fluido es incompresible.

===Representación del campo de presiones y velocidades===
Suponiendo que <math> p_{1}=4, p_{2}=1 </math> y <math>\mu=1 </math>, primeramente calculamos el campo de presiones y de velocidades.

- Calculamos el ''campo de presiones'' introduciendo los datos proporcionados en la ecuación de la presión
<math>p\left ( x,y \right ) </math>:
<math>p\left ( x,y \right )=p_{1}+\left ( p_{2}-p_{1} \right )\left ( z-1 \right ){/2}=4+\left ( 1-4 \right )\left ( z-1 \right ){/2}={4}-\frac{3z}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-3z}{2}+\frac{11}{2} </math>

- Calculamos ahora el ''campo de velocidades'' utilizando la ecuación de la velocidad dada:
<math>\vec{u}(\rho,\theta,z)= f\left(\rho\right)\vec{e_{z}} </math>, siendo <math>
f\left(\rho\right)=\frac{1}{\mu}\left(\frac{\left(p_{2}-p_{1}\right)}{4}\rho^{2}+p_{1}-p_{2}\right)\vec{e_{z}}</math>,(como hemos calculado previamente mediante la ecuación de Navier-Stockes). Sustituyendo los datos en la ecuación obtenemos:
<math>f\left(\rho\right)=\left(\frac{-3}{4}\rho^{2}+{3}\right)\vec{e_{z}}</math>

Una vez calculados procedemos a representarlos:

'''Campo de presiones''': como podemos observar en el gráfico la relación entre el incremento de la altura y el incremento de presión es lineal. Debido a esta condición a medida que aumenta o disminuye la altura lo hace de igual forma la presión.
[[Archivo:Campodepresiones.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
z=0:0.05:10;
f=(-3*z+3)/2;
plot(z,f)
xlabel('Incremento de altura');
ylabel('Incremento de presión');
title('Representación del campo de presiones del fluido');
}}
'''Campo de velocidades''': el campo de velocidades del fluido se trata de un campo vectorial y como viene dado en coordenadas polares antes de representarlo debemos cambiarlo a coordenadas cartesianas.
[[Archivo:Campovelocidades2.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
x=0:0.05:2;
y=0:0.05:10;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
ux=-3/4*xx.^2+3;
uy=-3/4*yy.^2+3;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,3,0,11])
hold off
view(2)
title('Representación del campo de velocidades del fluido')
}}

===Líneas de Corriente del Campo===
Para dibujar las líneas de corriente primero debemos calcular el campo <math>\vec{v}</math> que es ortogonal a <math>\vec{u}</math> en cada punto.
<math>\vec{v}=\vec{e_{\theta}}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e_{\rho}} & \vec{e_{\theta}} & \vec{e_{z}} \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & f\left (\rho\right)\end{vmatrix}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}\rightarrow \overrightarrow{v}=f\left (\rho\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Sustituyendo <math>f\left(\rho\right)</math> en la ecuación se obtiene:

<math>\overrightarrow{v}=\frac{1}{\mu}\left(\frac{p_{2}-p_{1}}{4}\rho^{2} + p_{1}-p_{2}\right)\overrightarrow{e_{\rho}}</math>.

Como <math>\vec{v} </math> tiene un potencial escalar <math>\psi</math>, calculamos <math>\psi</math> sabiendo que <math>\bigtriangledown\psi=\vec{v}</math>, la cual se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>.

<math>\frac{d\psi}{d\rho}=\frac{p_{2}-p_{1}}{4\mu}\rho ^{2} +\frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\ </math>.

<math>\psi=\frac{p_{2}-p_{1}}{12\mu}\rho^{3} + \frac{p_{1}-p_{2}}{\mu}\rho</math>.

Sustituyendo los valores de <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math> y <math>mu</math> obtenemos:

<math>\psi=-\frac{1}{4}\rho^{3} + {3}\rho</math>

Una vez calculado <math>\psi</math> dibujamos las líneas de corriente del campo <math>\psi=cte</math>:

[[Archivo:Lineasdecorrientedef.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]

{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
z=0:0.05:10;
[R,Z]=meshgrid(rho,z);
F=-1/4*(R.^3)+5*R;
contour(R,Z,F,10);
colorbar
axis([0,3,0,10]);
title('Representación de las líneas de corriente')
}}

===Velocidad Máxima del Fluido===
[[Archivo:Modulodevelocidad.PNG|350px|miniaturadeimagen|centro]]
{{matlab|codigo=
rho=0:0.05:2;
f=abs((-3/4)*rho.^2+3);
plot(rho,f);
title('Comportamiento del módulo de la velocidad')
xlabel('Radio')
ylabel('Velocidad')
axis([0,3,0,10])
}}
===Rotacional del Campo===

<math>\overrightarrow{u}</math>

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=
\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_{\rho }} &\rho \overrightarrow{e_{\theta }} & \overrightarrow{e_{z}}\\
\frac{d}{d\rho }& \frac{d}{d\theta } &\frac{d}{dz} \\
0 & 0 &f\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}=-f'\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\theta }}</math>

<math>f'\left ( \rho \right )=\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho</math>

<math>\bigtriangledown\times\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=-\frac{1}{2}\frac{p2-p1}{\mu }\rho \overrightarrow{e_{\theta }}</math>

===Temperatura Máxima===

Jorge y Galarza

===Gradiente de Temperatura===

Jorge y Galarza

===Caudal de la Sección Transversal===

Jorge y Galarza

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:15:06Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:14:39Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:14:04Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:13:34Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:12:32Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:11:41Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:08:55Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:08:23Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:07:57Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:07:16Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */

Flujo de Poiseuille (Grupo 23)

2023-12-12T19:06:35Z

Jaimecn: /* Ecuación Navier-Stokes */