MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-15T20:36:56Z

Jaime.rico.arroyo:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso José Fernández Sarmiento Jaime Rico Arroyo
Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

En este trabajo consideraremos un placa rectangular situada en el espacio, representaremos la temperatura y la dirección de de los desplazamientos causados por la fuerza.
Supondremos que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector U (expresado mas adelante).
Gracias a todos los datos aportados nuestro objetivo será solucionar diferentes problemas que nos proponen y sacar alguna conclusión sobre el trabajo para mas tarde, en clase, poder exponerlo.
Para ello utilizaremos diferentes mecanismos y formulas dados en clase.

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<center><math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{π}{9} \cos((π * y)/3) </math></center>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
diver=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,diver,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(diver))
minimo=min(min(diver))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:
<center><math>\nabla \cdot \sigma</math>=<math>\frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
Por otra parte tendremos que calcular
<center><math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2} </math></center>
Haciendo todas las operaciones hallaremos
<center><math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2}= \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j} </math></center>
Ahora, sabiendo que <math>\vec{F}</math> = 0 igualaremos <math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2} = \nabla \cdot \sigma</math>
Y con esto hallaremos finalmente que
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j}</math></center> 

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como creemos que tiene que salir. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-15T20:36:39Z

Jaime.rico.arroyo:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso José Fernández Sarmiento Jaime Rico Arroyo
Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Introducción del Trabajo
En este trabajo consideraremos un placa rectangular situada en el espacio, representaremos la temperatura y la dirección de de los desplazamientos causados por la fuerza.
Supondremos que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector U (expresado mas adelante).
Gracias a todos los datos aportados nuestro objetivo será solucionar diferentes problemas que nos proponen y sacar alguna conclusión sobre el trabajo para mas tarde, en clase, poder exponerlo.
Para ello utilizaremos diferentes mecanismos y formulas dados en clase.

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<center><math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{π}{9} \cos((π * y)/3) </math></center>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
diver=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,diver,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(diver))
minimo=min(min(diver))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:
<center><math>\nabla \cdot \sigma</math>=<math>\frac{-\pi^2}{9}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)</math></center> 
Por otra parte tendremos que calcular
<center><math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2} </math></center>
Haciendo todas las operaciones hallaremos
<center><math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2}= \frac{-v^2}{3}sen(\frac{\pi y}{3}-vt)\vec{j} </math></center>
Ahora, sabiendo que <math>\vec{F}</math> = 0 igualaremos <math>\frac{d^2\vec{u}}{dt^2} = \nabla \cdot \sigma</math>
Y con esto hallaremos finalmente que
<center><math> \vec{v}= \frac{\pi}{\sqrt{3}}\vec{j}</math></center> 

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como creemos que tiene que salir. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:20:13Z

Jaime.rico.arroyo: /* Módulo de desplazamiento en dirección \vec{i} y representacion */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<center><math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{π}{9} \cos((π * y)/3) </math></center>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como creemos que tiene que salir. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:19:09Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<center><math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{π}{9} \cos((π * y)/3) </math></center>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:18:36Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<center><math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{π}{9} \cos((π * y)/3) </math>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:18:00Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((π*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{pi}{9} \cos((pi . y)/3) </math>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:16:48Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{pi}{9} \cos((pi . y)/3) </math>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:14:09Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:11:29Z

Jaime.rico.arroyo: /* Módulo de desplazamiento en dirección \vec{i} y representacion */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Tras mucho tiempo dedicado a este apartado, sencillo en los números pero más complejo en la programación; creemos que puede haber un fallo al no salir como debería. Hemos estado investigando y concretando y no hemos llegado a la solución deseada.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:08:45Z

Jaime.rico.arroyo: /* Módulo de desplazamiento en dirección \vec{i} y representacion */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

Entonces:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}*sin(π*k(\vec{d}*(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)*y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:01:35Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Entonces:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T16:00:41Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.

Procederemos a calcular así la divergencia del campo:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:58:53Z

Jaime.rico.arroyo: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\ </math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:58:37Z

Jaime.rico.arroyo: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3) \vec j\.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:58:14Z

Jaime.rico.arroyo: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3)\ vec j\.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:57:54Z

Jaime.rico.arroyo: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin ((pi*y)/3)\ vec{j}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> y la posición de cada punto (x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(pi/9).*cos((pi/3).*yy);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:36:04Z

Jaime.rico.arroyo: /* Módulo de desplazamiento en dirección \vec{i} y representacion */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin (\frac{\pi*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r= y la posición de cada punto(x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:33:12Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\1*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r= y la posición de cada punto(x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,ry*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:32:21Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\1*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r= y la posición de cada punto(x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:32:02Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\1*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

En la placa se produce una deformación provocada por el campo vectorial, por lo que estudiamos el sólido antes y después de su deformación en t = 0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r= y la posición de cada punto(x,y) despues.
Para poder compararlos usaremos el comando subplot y visualizaremos asi la la gráfica antes y después.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

[[Archivo:figura6 donpa3d.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
[[Archivo:figura6 donpa2d.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Figura6 donpa3d.png

2023-12-14T15:31:29Z

Jaime.rico.arroyo:

Archivo:Figura6 donpa2d.png

2023-12-14T15:31:08Z

Jaime.rico.arroyo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:30:45Z

Jaime.rico.arroyo: /* Placa antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\1*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:figura5 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Figura5 donpa.png

2023-12-14T15:30:27Z

Jaime.rico.arroyo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

2023-12-14T15:29:46Z

Jaime.rico.arroyo: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Sergio Menéndez Fernandez Alfonso Jose Sarmiento Jaime Rico Arroyo Mateo Navarro }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad Grupo 41

==Mallado de la placa==
Lo primero que debemos hacer es representar el mallado de la superficie sobre la que trabajaremos, siguiendo asi las instrucciones indicadas de una toma de ejes (x,y)∈[-1,1] x [0,12] y un paso de muestreo h=2/10 para las variables x e y.
Sobre esta superficie y una temperatura dada en el enunciado se basaran todas las operaciones (operadores diferenciales) y sus correspondientes representaciones de una forma gráfica realizadas con lenguaje m.
Primero se realiza la definición de las variables, siendo estas vectores que comienzan en un valor y siguen una serie con el intervalo h hasta llegar al extremo del intervalo. Después se crea una malla formada por todos los puntos de x e y y posteriormente se calcula la z, siendo esta nula. Luego se representa la superficie y se observa como vista una representación en 2D y ya las ediciones y etiquetas a los distintos componentes de un gráfico.

[[Archivo:figura1 mallado.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;

%parametrización con muestreo h=2/10
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,60);
%mallado
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Z=zeros(size(Mx));
surf(Mx,My,Z)
%vista en 2D
view(2)
%nombramos los ejes
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==
Este apartado consiste en un diagrama que muestra por colores la variación de temperatura a través de la placa y sus distintas curvas de nivel.
[[Archivo:figura2 curvas.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
r=linspace(-1,1,70);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=3.*log(1.+(x+1).^2)+log(1.+(y-2).^2);

hold on
subplot(1,2,1) %División de la ventana en dos
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En la grafica de la izquierda podemos observar que a medida que nos desplazamos hacia el suroeste la temperatura disminuye, por lo que la zona mas cálida se encuentra en la zona de x máxima e y máxima.

==Gradiente de la temperatura y su representación.==
El siguiente código muestra como hemos calculado el gradiente del campo escalar temperatura calculado en el apartado anterior. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.
Dicho gradiente previamente calculado, se representa con el comando quiver, el cual crea las flechas representadas en la gráfica.
[[Archivo:figura3 gradiente.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(-1,1,10);
t=linspace(0,12,45);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es para incializar lel programa.

u=(-1).*(3.*((2.*x)+2)./(1+(x+1).^2)); %componente i
v=(-1).*(((2.*y)-4)./(1+(y-2).^2)); %componente j

T=3.*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2);

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
w=quiver(x,y,u,v,0.40,'k');
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize')
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==
El campo de vectores viene dado por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> asi mismo la representación de este para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= 1/3 \vec{j}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/3 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=1/3 \vec{j} sin (\pi( 1/3 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que operando nos quedaría:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\1*y}{})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo:figura4 donpa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
Ux=(0.*X); % Componentes en la dirección i
Uy=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y)); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,Y*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,Ux,Uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:figura5 posicion.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(0.*X)+X;
ry=((1/3).*sin((1/3).*pi.*Y))+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*Y)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje y")
}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa y su representación grafica==
La divergencia nos proporciona la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea al volumen, por lo que si el campo dispone de “fuentes” esta será positiva y al contrario, si dispone de “sumideros” será negativa.
Procederemos a calcular así la divergencia del campo:

{{matlab|codigo=clear
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*cos((pi/3).*yy).*(pi/3);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==
En el instante inicial obtendremos el siguiente campo: <math>\vec{u}({x},{y},{0}) = (\vec{a}×sin(π×k(\vec{d}×(x\vec{i}+y\vec{j}))) </math>

Tomaremos en particular : <math>\vec{a} =\vec{d} = (1/3)\vec{j}</math>, k=1.

Obteniendo el siguiente campo : <math>\vec{u}(x,y) = 1/3sin((π/3)×y)\vec{j}</math>

Para calcular el rotacional de un campo de desplazamiento ondulatorio, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt\\ x & y & t\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dt \\ 0 & 1/3sin((π/3)×y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:
<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

<gallery>

</gallery>

El rotacional indica la dirección y velocidad de giro del campo <math>\vec{u} </math> en cada punto, si nos fijamos en la representación gráfica, se puede apreciar que no existe ninguna rotación.
[[Archivo:figura7 flechas.png|370px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

==Tensor de deformaciones==

Siendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2μ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}) = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & 2μ+λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

A continuación, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) </math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>
 

[[Archivo:figura8 tensiones.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(-1,1,10);
y=linspace(0,12,45);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en i
Tj=(pi/3).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en j
Tk=(pi/9).*cos((pi/3)).*My; % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

La tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (en t=0), viene dada por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

<math> \sigma ·\vec i = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

<math>(\vec i · σ ·\vec i)\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i </math>

Por lo tanto:

<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| = | \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i - \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec i |= 0 </math>

Lo que quiere decir que la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises es un concepto crucial en el campo de la ingeniería y la mecánica de materiales. Esta medida se utiliza para evaluar el estado de esfuerzos en un material, especialmente cuando este se somete a cargas externas. Cuando un material se encuentra bajo la influencia de fuerzas, ya sean tensiones o compresiones, los diferentes puntos en el interior del material experimentan distintos niveles de esfuerzos.

La fórmula de la tensión de Von Mises combina las tensiones principales, que son los esfuerzos máximos en direcciones específicas, para proporcionar un único valor que representa el esfuerzo equivalente. Esto es esencial porque permite simplificar y analizar el comportamiento del material de manera más eficiente.

La tensión de Von Mises en nuestro ejercicio puede obtenerse gracias a las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, con la ayuda de la siguiente formula:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 
Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{π*cos(\frac{π*y}{3})}{9}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

<center>Gracias a esto podemos obtener que en nuestro ejercicio la tension seria: 0.8533</center>
[[Archivo:figura10 Von.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
x=linspace(-1,1,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,12,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
fy=inline('pi/3)*cos(pi*y/3)','x','y');
fz=inline('(pi/9)*cos(pi*y/3)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(Y,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)); % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
La velocidad de propagación v en un material elástico se puede expresar en términos de los parámetros de Lamé, que son dos constantes elásticas λ (lambda) y μ (mu). Estos parámetros son fundamentales para caracterizar las propiedades elásticas de un material.

Para poder calcular la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé necesitaremos suponer que F=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

en nuestro caso el vector u seria:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}\sin(\frac{πy}{3}-vt)\vec{j}</math></center>

siendo 'v' la velocidad de propagación y apoyandonos en los calculos que hemos realizado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

Gracias a esto sabemos que la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> sería de la siguiente manera:

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{i}</math> y representacion==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\vec a\ sin(π k (\vec d\ \vec r\ (x,y) - v t))</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ </math>donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{1}{3}\ sen(π/3-vπt) \vec j\ \vec i\ =\vec 0\ </math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, no se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> , demostrando así lo dicho arriba.

[[Archivo:figura12 funciont.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definición de parámetros
My = 1; % Puedes ajustar este valor según sea necesario, sirve para ajustar la frecuencia de la funcion seno, es decir, las oscilaciones.
v=1; %Lo defino como un vector unitario de modulo 1 que insertare en la direccion j.

% Creación de un mallado rectangular
x = linspace(-1, 1, 30); % valores x
t = linspace(0, 10, 30); % valores de tiempo t
[X, T] = meshgrid(x, t); % creación de la malla

% Cálculo de la función de desplazamiento
j = (1/3) * sin((pi/3) * My - pi * T);
v = cos((pi/3) .* My - v*pi * T); % vector unitario en dirección j

% Visualización del resultado
figure;
quiver(X, T, zeros(size(v)), v, 'AutoScale', 'off', 'Color', 'r'); % quiver plot
title('Desplazamiento en dirección j');
xlabel('Eje x');
ylabel('t');
axis([-1.5 1.5 -0.5 10.5]); % ajustar los ejes según sea necesario
grid on;
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Figura4 donpa.png

2023-12-14T15:29:17Z

Jaime.rico.arroyo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:29:56Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Entonces:

Utilizaremos el codigo que se muestra a continuación para obtener los valores máximos y mínimos de la divergencia

[[Archivo:figura6 equivocacion.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]
[[Archivo:figura6 equivocacion2.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
1 h=2/10;
2 x=-1:h:1;
3 y=0:h:12;
4 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
5 divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
6 %Representación
7 surf(xx,yy,divu)
8 shading interp
9 colorbar
10 title('Divergencia')
11 xlabel('x')
12 ylabel('y')
13 zlabel('z')
14 %Dibujo de la divergencia
15 figure
16 pcolor(xx,yy,divu)
17 shading interp
18 hold on
19 contour(xx,yy,divu,'k')
20 title('Divergencia')
21 xlabel('x')
22 ylabel('y')
23 colorbar
24 axis([-1,1,0,12])
25 view(3)
26 hold off
27 maximo=max(max(divu))
28 minimo=min(min(divu))
}}

En la grafica se puede apreciar que la divergencia es de 0.333 y la mínima es tambien la nula, es decir,0.

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:27:51Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Entonces:

Utilizaremos el codigo que se muestra a continuación para obtener los valores máximos y mínimos de la divergencia

[[Archivo:figura6 equivocacion.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]
[[Archivo:figura6 equivocacion2.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
1 h=2/10;
2 x=-1:h:1;
3 y=0:h:12;
4 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
5 divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
6 %Representación
7 surf(xx,yy,divu)
8 shading interp
9 colorbar
10 title('Divergencia')
11 xlabel('x')
12 ylabel('y')
13 zlabel('z')
14 %Dibujo de la divergencia
15 figure
16 pcolor(xx,yy,divu)
17 shading interp
18 hold on
19 contour(xx,yy,divu,'k')
20 title('Divergencia')
21 xlabel('x')
22 ylabel('y')
23 colorbar
24 axis([-1,1,0,12])
25 view(3)
26 hold off
27 maximo=max(max(divu))
28 minimo=min(min(divu))
}}

En la grafica se puede apreciar que la divergencia es de 0.333 y la mínima es tambien la nula, es decir,0.

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Archivo:Figura6 equivocacion2.png

2023-12-14T01:25:07Z

Jaime.rico.arroyo:

Archivo:Figura6 equivocacion.png

2023-12-14T01:24:54Z

Jaime.rico.arroyo:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:18:21Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Entonces:

Utilizaremos el codigo que se muestra a continuación para obtener los valores máximos y mínimos de la divergencia

{{matlab|codigo=
1 h=2/10;
2 x=-1:h:1;
3 y=0:h:12;
4 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
5 divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
6 %Representación
7 surf(xx,yy,divu)
8 shading interp
9 colorbar
10 title('Divergencia')
11 xlabel('x')
12 ylabel('y')
13 zlabel('z')
14 %Dibujo de la divergencia
15 figure
16 pcolor(xx,yy,divu)
17 shading interp
18 hold on
19 contour(xx,yy,divu,'k')
20 title('Divergencia')
21 xlabel('x')
22 ylabel('y')
23 colorbar
24 axis([-1,1,0,12])
25 view(3)
26 hold off
27 maximo=max(max(divu))
28 minimo=min(min(divu))
}}

En la grafica se puede apreciar que la divergencia es de 0.333 y la mínima es tambien la nula, es decir,0.

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:15:57Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

{{matlab|codigo=
1 h=2/10;
2 x=-1:h:1;
3 y=0:h:12;
4 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
5 divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
6 %Representación
7 surf(xx,yy,divu)
8 shading interp
9 colorbar
10 title('Divergencia')
11 xlabel('x')
12 ylabel('y')
13 zlabel('z')
14 %Dibujo de la divergencia
15 figure
16 pcolor(xx,yy,divu)
17 shading interp
18 hold on
19 contour(xx,yy,divu,'k')
20 title('Divergencia')
21 xlabel('x')
22 ylabel('y')
23 colorbar
24 axis([-1,1,0,12])
25 view(3)
26 hold off
27 maximo=max(max(divu))
28 minimo=min(min(divu))
}}

En la grafica se puede apreciar que la divergencia es de 0.333 y la mínima es tambien la nula, es decir,0.

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:15:13Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

{{matlab|codigo=
1 h=2/10;
2 x=-1:h:1;
3 y=0:h:12;
4 [xx,yy]=meshgrid(x,y);
5 divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
6 %Representación
7 surf(xx,yy,divu)
8 shading interp
9 colorbar
10 title('Divergencia')
11 xlabel('x')
12 ylabel('y')
13 zlabel('z')
14 %Dibujo de la divergencia
15 figure
16 pcolor(xx,yy,divu)
17 shading interp
18 hold on
19 contour(xx,yy,divu,'k')
20 title('Divergencia')
21 xlabel('x')
22 ylabel('y')
23 colorbar
24 axis([-1,1,0,12])
25 view(3)
26 hold off
27 maximo=max(max(divu))
28 minimo=min(min(divu))
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:14:26Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de:

<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:13:25Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:13:00Z

Jaime.rico.arroyo: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros" sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ vex u<\math>

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T01:03:36Z

Jaime.rico.arroyo:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:56:01Z

Jaime.rico.arroyo: /* Comparación de la placa antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:55:30Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62467 de Alfonsojose.fernandez (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:45:34Z

Jaime.rico.arroyo:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin (\frac{\1(frac{3}*y}\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 \vec{i}·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{x}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:41:07Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62471 de Alfonsojose.fernandez (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{1}{3}sin (\frac{\1(frac{3}*y}\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:40:06Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62531 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:39:53Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62530 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:39:45Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62529 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después <math>\ vec rd (x,y)=\vec r0\ (x,y)+u⃗ (x,y).<\math>
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:39:22Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62526 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:39:14Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62524 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:39:03Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62523 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:38:55Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62521 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.

[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:38:43Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62507 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

==Divergencia==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia sera positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia sera negativa.

Calculamos la divergencia de <math>\ \vec u\ </math>
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12})\vec{i}.</math></center>

[[Archivo: Diverge.png|miniaturadeimagen|Divergencia 2D]]
[[Archivo:Diverge2.png|miniaturadeimagen|Divergencia 3D]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
divu=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación
surf(xx,yy,divu)
shading interp
colorbar
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
%Dibujo de la divergencia
figure
pcolor(xx,yy,divu)
shading interp
hold on
contour(xx,yy,divu,'k')
title('Divergencia')
xlabel('x')
ylabel('y')
colorbar
axis([-1,1,0,12])
view(3)
hold off
maximo=max(max(divu))
minimo=min(min(divu))
}}

'''En la figura se puede apreciar que la divergencia máxima es de 0.333 y la mínima es también la nula, es decir, 0.'''

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A)

2023-12-14T00:38:33Z

Jaime.rico.arroyo: Se ha deshecho la revisión 62498 de Jaime.rico.arroyo (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo 16-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Lara Gutiérrez Kreutzer Miguel Moreno Martín Luis Anthony Vera Guapi Emilio Villegas Maroto}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de los campos escalares y vectoriales sobre un sólido que experimenta una deformación. Se ha considerado como objeto de estudio un sólido rectangular (en 2D) cuya deformación viene dada por la temperatura y los desplazamientos producidos por la acción de una fuerza determinada.

Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la placa==
En primer lugar, se representa la placa dibujando los puntos interiores del sólido mediante un mallado. Este está definido en la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math> y como paso de muestreo se empleará h=2/10 para ambas variables.

Para su realización, se ha comenzado definiendo los vectores x e y con los valores que toma el rectángulo. Dichos vectores se han metido en dos matrices, X e Y, empleando el comando ''meshgrid()'' y con el comando ''mesh()'' se crea el mallado buscado. Este comando requiere tres matrices, por lo que en la ultima entrada multiplicamos cualquiera de las obtenidas por cero, puesto que se trata de una placa plana. Por último, con el comando ''axis()'' se definen los valores que tomarán los ejes de la gráfica <math>(x, y) ∈ [-2, 2]×[0, 13]</math> y nombramos tanto la gráfica como los ejes.

A continuación, se muestra el código empleado para la obtención de la placa y la imagen resultante:
[[Archivo:Mallado16a.png|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1. Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=

x=-1:0.2:1; % Vector x con valores entre -1 y 1 con paso de muestreo h=2/10
y=0:0.2:12; % Vector y con valores entre 0 y 12 con paso de muestreo h=2/10
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creación del mallado con los vectores x e y
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la malla pedida
axis equal
axis([-2,2,0,13]) % Con el comando axis se definen los valores mínimos y máximos de los ejes de la gráfica
title("Mallado de la placa rectangular plana")
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
view(2) % Visualiamos el gráfico en dos dimensiones
}}

==Temperatura de la placa==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T(x, y) = 3log(1 +(x-1)^2)+log(1+(y-8)^2)</math>

Primero representaremos las distintas curvas de nivel del campo de temperaturas mediante el siguiente código:

[[Archivo:Curvas_nivel_temp1.png|miniaturadeimagen|Figura 2. curvas de nivel del campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
contour(x,y,T,20); % Se dibujan las curvas de nivel
axis equal;
axis([-1,1,0,12]);
view(2); %Vista en planta
title("Curvas de nivel del campo de temperaturas") %Nombre de la figura
xlabel("Eje X") % Título del eje X
ylabel("Eje Y") % Título del eje Y
colorbar
}}

A continuación, mostraremos el campo de temperaturas, que representa la variación de temperatura a lo largo de la placa. Usaremos el siguiente código:
[[Archivo:Campo_temp.png|miniaturadeimagen|Figura 3. Campo de temperaturas ]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
r=-1:h:1; % Discretización del radio
t=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(r,t); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función que representa la temperatura
surf(X,Y,T); %Se dibuja la placa
shading interp %Se realiza un degradado mediante interpolación con los colores de relleno
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
colorbar
view(2)
title("Campo de temperaturas") %Nombre de la figura
Tmax=max(max(T)); %Se calcula la temperatura máxima alcanzada
fprintf('La temperatura máxima alcanzada en la placa es de: %1.4f ºC\n' , Tmax)
}}

'''Como resultado obtenemos que la temperatura máxima alcanzada en la placa es de: 9.0027 ºC.'''

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>
En la imagen podemos apreciar dos gamas de colores distintos, una primera de colores fríos (azul) que corresponden a unas temperaturas más bajas, mientras que la otra se trata de una gama de colores más cálidos (amarillo) que corresponden a temperaturas mayores.

=== Gradiente de la temperatura ===

En segundo lugar, calcularemos el gradiente de la temperatura, que es un vector cuya primera componente es la derivada del campo escalar de la temperatura respecto de <math>x</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{i}</math> y como segunda componente la derivada del campo escalar respecto de <math>y</math>, multiplicada por el vector <math>\vec{j}</math>.

<center><math>∇T = \frac{\partial T}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial T}{\partial y}\vec{j} = \frac{6(x-1)}{1+(x-1)^2)}\vec{i} + \frac{2(y-8)}{1+(y-8)^2}\vec{j} </math></center>

Una vez calculado el gradiente, crearemos las variables <math>dx</math> y <math>dy</math> en función de las matrices <math>X</math> e <math>Y</math>. Por último, utilizaremos el comando <math>quiver ()</math> para representar el gradiente de la temperatura.

Al tener que comprobar que las curvas de nivel del campo de temperatura y el gradiente son perprendiculares, nos ayudaremos del comando <math>hold on</math> para poder representar las curvas de nivel y el gradiente en el mismo gráfico.

[[Archivo:Grad90.png|miniaturadeimagen|350px|Figura 4.Gradiente de Temperatura]]

{{matlab|codigo=

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
dx=(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

Como no se puede apreciar bien el gradiente en la imagen general, hemos realizado la siguiente ampliación donde se pude observar la ortogonalidad del gradiente.
[[Archivo:Grad90_ampliación.png|centre|400px|Figura 5. Ampliación Gradiente de Temperatura]]

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS''' </center>

El gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento de temperatura.

==Ley de Fourier==

De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica Q viaja de acuerdo a la fórmula
Q = −κ∇T,
donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos κ = 1.

h=2/10; %Paso de muestreo
x=-1:h:1; %Discretización del radio
y=0:h:12; %Discretización del ángulo
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generación de la retícula rectangular
T=3*log(1 +(X-1).^2)+log(1+(Y-8).^2); %Función de temperatura
k=1; %Constante de conductividad térmica
dx=-(6.*(X-1))./(1+(X-1).^2);
dy=-(2.*(Y-8))./(1+(Y-8).^2);
axis equal;
hold on
quiver(x,y,dx,dy); %Se dibuja el gradiente
contour(x,y,T,20); %Se dibujan las curvas de nivel de la temperatura
axis([-1,1,0,12]);
title("Gradiente de temperatura");
hold off
}}

==Campo de vectores==

El campo de vectores viene definido por
<math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)).</math> La representación de dicho campo para t=0 se hará tomando como valores para la amplitud, <math>\vec{a}= x/3 \vec{i}</math> ; el número de onda, k=1 ; y el vector unitario de propagación, <math>\vec{d}= 1/12 \vec{j}</math>.
Por lo que el campo de vectores vendrá dado por la ecuación:
<center><math>\vec{u}(x, y)=x/3 \vec{i} sin (\pi( 1/12 \vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

Por lo que:

Primero creamos las matrices X e Y de los puntos del mallado de la placa. Definimos las componentes en la dirección de <math>\vec{i}</math> y <math>\vec{j}</math> del campo de desplazamiento y con el comando ''mesh()'' dibujamos el mallado sobre el que vamos a poder ver el campo de vectores creados con ''quiver ()''.
Los comandos ''hold on'' y ''hold off'' permiten ver los vectores sobre el sólido sin que este último desaparezca.

[[Archivo:Campodedesplazamientos16a.png|miniaturadeimagen|derecha|425px|Figura 6. Campo de vectores en t=0.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
ux=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y)); % Componentes en la dirección i
uy=(0.*Y); % Componentes en la dirección j
figure
mesh(X,Y,X*0) % Creación del mallado
axis equal
hold on
quiver(X,Y,ux,uy,"r") % Campo de vectores, "r" define el color en la grafica
title("Campo de desplazamientos")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
view(2)
hold off
}}

<center> '''INTERPRETACIÓN DEL CAMPO DE VECTORES''' </center>

El campo de vectores queda representado en color rojo sobre la malla del sólido. Puesto que el campo de vectores se intensifica lateralmente siendo máximo en los cantos, podemos esperar que la deformación provoque un bombeo/ curvatura del sólido.

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==
La placa sufre una deformación provocada por el campo de vectores. Estudiamos el sólido antes y después de su deformación para t=0, conociendo el vector de posición de los puntos de la placa antes r0→(x,y)=xi⃗ +yj⃗
y la posición de cada punto (x,y) después rd→(x,y)=r0→(x,y)+u⃗ (x,y).
. Para que resulte más sencilla su interpretación, se visualizará la gráfica antes, después y la comparación con ayuda del comando subplot.

Comenzamos representando la placa antes de la deformación como se ha hecho anteriormente, definimos los valores que toma el rectángulo y lo visualizamos con el comando surf(). A continuación, definimos los puntos después del desplazamiento y los representamos de la misma manera. Para la comparación, se crea un gráfico que muestre mediante líneas el sólido sin deformaciones y sobre este, con el comando hold on y hold of, que se muestre con líneas el sólido deformado.
[[Archivo:Comparacion16a.png|derecha|miniaturadeimagen|400px|Figura 7. Sólido antes de la deformación, después y comparación.]]

{{matlab|codigo=
clear
close all
x=-1:0.2:1;
y=0:0.2:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Definimos la posición final
rx=(X.*(1/3).*sin((pi/12).*Y))+X;
ry=(0.*Y)+Y;
% Antes de desplazamiento
subplot(1,3,1)
surf(X,Y,0*X)
view(2)
title("Antes del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
% Después del desplazamiento
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,rx*0)
view(2)
title("Después del desplazamiento")
xlabel("Eje X")
ylabel("Eje Y")
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{x}{3}\sin(\frac{pi*y}{12}) & 0 & 0\end{vmatrix} = -\frac{\pi*x}{36}*cos(\frac{pi*y}{12})\vec{k} </math>.

=== Representación del módulo del rotacional ===
[[Archivo:Ejercicio27.gif|500px|miniatura de imagen|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Cálculo del módulo del rotacional
rot=(-(Mx.*pi)/36).*cos((pi*My)/12);
%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Tensiones en las direcciones <math>\vec i </math>, <math>\vec j </math>, <math>\vec k </math> ==
Definamos <math>e(\vec{u}) = (∇\vec{u} + \triangledown \vec{u}^{t})/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>. Asi que pasamos a dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

Primero para calcular e, debemos calcular el gradiente de <math>e(\vec{u})</math> y su transpuesto.
<center><math>\vec u(x,y) = \frac{x}{3}\vec{i}sin(\pi(\frac{1}{12}\vec{j}·\vec{r_{0}}(x,y)))</math></center>

Siendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math>

<math> \nabla\vec u=
\begin{pmatrix}\frac {\partial u_1}{\partial x} & \frac{\partial u_1}{\partial y} & \frac{\partial u_1}{\partial z} \\
\frac{\partial u_2}{\partial x} & \frac{\partial u_2}{\partial y} & \frac{\partial u_2}{\partial z} \\
\frac{\partial u_3}{\partial x} & \frac{\partial u_3}{\partial y} & \frac{\partial u_3}{\partial z}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Hallamos su transpuesta.

<math>\nabla \vec u ^t=
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Encontramos <math>e(\vec{u})</math> aplicando la fórmula.

<math>e(\vec{u}) =
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}
</math>

Teniendo todos los datos, ya podemos calcular nuestro tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μe</math>.

<math>σ = λ\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2μ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{72}cos(\frac{π}{12}y) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

<math>σ = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12})(2μ+λ) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y)(μ) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)(λ)\end{pmatrix}</math>

Teniendo en cuenta que λ=μ=1, obtenemos:

<math>σ = \begin{pmatrix}sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en i.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 11. Tension Normal en i]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje i
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
%Representación tensiones normales
figure
surf(xx,yy,tni)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección i');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en j.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 12. Tension Normal en j]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje j
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnj)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección j');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)</math>

[[Archivo:Tension normal en k1.png|400px|miniaturadeimagen|right|Figura 13. Tension Normal en k]]

{{matlab|codigo=
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Generación de la retícula rectangular
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales en la dirección normal del eje k
tni=sin((pi.*yy)/12);
tnj=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
tnk=(1/3).*sin((pi.*yy)/12);
surf(xx,yy,tnk)
shading flat
axis equal
colorbar
axis([-1.5,2,-1,15]);
title('Tensión normal en dirección k');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Con los datos hallados anteriormente obtenemos:

<math>|\begin{pmatrix}
sin(\frac{π}{12}y) & \frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) & 0 \\
\frac{πx}{36}cos(\frac{π}{12}y) &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y) & 0 \\
0 & 0 &\frac{1}{3}sin(\frac{π}{12}y)\end{pmatrix}</math>. \begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix} -sin(frac{π}{12}y)\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\end{pmatrix}| =\frac{πx}{36}cos(frac{π}{12}y)
</math>

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor. En resumen, se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

[[Archivo:Von_misesp.jpg|100px|derecha|Richard Edler von Mises]]

Esta viene determinada por la siguiente fórmula:
<center> <math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math> 
σ1,σ2,σ3 son los autovalores del tensor de tensiones σ(ρ,θ).</center>

Utilizaremos el siguiente código para el cálculo de la tensión máxima de Von Mises así como la representación de la misma:

[[Archivo:Tensionvonmises16a.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión Von Mises]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=sin((pi/12).*My); % Tension normal en i
Tj=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en j
Tk=(1/3)*sin((pi/12).*My); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
figure
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%maxima tensión
maxSIGMA=max(M)

fprintf('El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es %f\n',maxSIGMA)
}}

'''El valor máximo de la tensión de Von Mises en la placa es 0.666667'''

==Campo de fuerzas <math>\vec F</math>==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = x/3\vec{i}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(pi*k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> siendo <math>\vec{a}=x/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/12 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=\frac{x}{3}sin (\frac{\pi*y}{12}-vt)\vec{i}.</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= 2/5 \vec{i}·(-v)·cos (\vec{i}+\vec{r0}(x, y) − vt)</math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}.</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:

<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ=[x/3 ·v^2·(-sin(\frac{\pi*y}{12}-vt))\vec{i}-\frac{pi}{36}cos (\frac{\pi*y}{12})\vec{j}=0</math>

==Módulo del desplazamiento transversal==