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Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-04T12:56:40Z

Jaime.psoria: /* . Masa del anillo */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

[[Archivo:c15.6.jpg|300px|thumb|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero ya que la matriz de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_{1} =\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ, \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:c15.9.3d.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:c15.10.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Archivo:C15.10.png

2014-12-04T12:56:05Z

Jaime.psoria:

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-04T12:50:31Z

Jaime.psoria:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

[[Archivo:c15.6.jpg|300px|thumb|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero ya que la matriz de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_{1} =\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ, \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:c15.9.3d.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-04T12:49:45Z

Jaime.psoria: /* . Divergencia del campo vectorial \vec u */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

[[Archivo:c15.6.jpg|300px|thumb|derecha|]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero ya que la matriz de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_{1} =\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ, \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:c15.9.3d.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-04T12:46:26Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
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uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero ya que la matriz de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_{1} =\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ, \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:c15.9.3d.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Archivo:C15.2.2.jpg

2014-12-04T12:27:54Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.2.1.jpg

2014-12-04T12:26:13Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.9.jpg

2014-12-04T12:02:24Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.9.3d.jpg

2014-12-04T11:59:27Z

Jaime.psoria:

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T17:03:09Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero ya que la matriz de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_{1} =\frac{ 1}{ ρ}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}-8+5ρ, \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T16:45:49Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
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v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
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fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^{-1/x^2} </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = Masa Total </math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T16:37:15Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises es determinada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la desarrollamos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Obtenemos la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye^(-1/x^2) </math> que integramos en todo dominio para hallar una aproximación de esta magnitud.

[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = masa total <\math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T16:03:27Z

Jaime.psoria: /* . Obtención del campo de tensiones σ */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math> Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la escribiremos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Para calcular la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye−1/x2 <\math> que integramos a lo largo del dominio para obtener una aproximación de esta magnitud.

Utilizamos el siguiente código de Matlab para aproximar la integral numericamente:
[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = masa total <\math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T16:02:49Z

Jaime.psoria: /* . Obtención del campo de tensiones σ */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math>. Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección <math>g_ρ</math> ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección <math>g_θ/ρ</math> ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la escribiremos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Para calcular la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye−1/x2 <\math> que integramos a lo largo del dominio para obtener una aproximación de esta magnitud.

Utilizamos el siguiente código de Matlab para aproximar la integral numericamente:
[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = masa total <\math>

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T16:01:12Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es
:<math>
\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math>. Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.

===. Tensiones normales en dirección g_ρ ===
[[Archivo:c15.7.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección g_θ/ρ ===

[[Archivo:c15.8.jpg|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la escribiremos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Para calcular la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye−1/x2 <\math> que integramos a lo largo del dominio para obtener una aproximación de esta magnitud.

Utilizamos el siguiente código de Matlab para aproximar la integral numericamente:
[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = masa total <\math>

Archivo:C15.8.jpg

2014-12-03T16:00:47Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.7.jpg

2014-12-03T15:58:31Z

Jaime.psoria:

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-12-03T15:47:00Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

==. Introducción ==
[[Archivo:c15.1.jpg|250px|thumb|derecha|''Mallada anillo plano'']]
Dada una placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 (''Figura 1''), se estudiarán las variaciones de temperatura en este objeto y las deformaciones causadas por el campo:

:<math>
\vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho}
</math>

En esta placa circular consideramos dos magnitudes físicas: la temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math>, que depende de las variables espaciales <math>ρ</math> y <math>θ</math> y del tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>
\vec u (ρ,θ,t)</math>, que dependen de los mismos parámetros que la temperatura.
De esta forma, si definimos <math> \vec r_0(\rho,\theta)</math> como el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(\rho,\theta)</math> de la placa para un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
:<math>
\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t)
</math>

==. Mallado del anillo plano==

Tomamos una superficie circular plana centrada en el origen, comprendido por las circunferencias de radios 1 y 2 unidades. Utilizaremos un mallado que expresaremos en coordenadas polares, sean ρ є [1,2] y θ є [0,2Π).

{{matlab|codigo=

h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt); %Parametrización
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Distribución de temperaturas en el anillo==

La temperatura del sólido viene dada por la función: <math>T=(8-y^2+2y)e^{-x^2+2x-1}</math> La representación de las curvas de nivel de la temperatura está representada en la gráfica inferior. El foco de calor viene representado en rojo y se observa que no esta en el origén. De esta forma se observa que la temperatura se propaga con curvas concéntricas isotermas.

Utilizando Matlab obtenemos que el máximo de la temperatura es <math> 8.9945 </math>, aproximadamente <math>9</math>.

[[Archivo:c15.2.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura <math>∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).e^{-x^2+2x-1} \vec i + (-2*y+2).e^{-x^2+2*x-1} \vec j </math> es ortogonal a las lineas de nivel. El gradiente indica, en cada punto del sólido, la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido, es decir hacia el foco, y su módulo nos dirá la rápidez con la que aumenta la temperatura en esa dirección.
[[Archivo:c15.3.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Gradiente de la temperatura en el anillo]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2); %Relación polares-cartesianas
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); %Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off

}}

==. Desplazamiento provocado por <math>\vec u</math> ==
A continuación aplicamos el campo de desplazamientos provocado por el vector :<math> \vec u(\rho,\theta)={(1-\rho)^2}\vec g_{\rho} </math> en el mallado y lo representamos gráficamente.

[[Archivo:c15.4.jpg|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Desplazamiento en el anillo provocado por el vector u]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])

}}

==. Sólido antes y después del desplazamiento==

Representamos la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Observamos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo <math> \vec u </math>. El desplazamiento hace que el anillo se agrande llegando a un radio exterior de 3 unidades, siendo anteriormente 2 unidades, manteniendo el radio interior en 1 unidades.

[[Archivo:c15.5.jpg|420x561px|miniaturadeimagen|derecha|expansión de la malla al aplicar <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
r=1:h:2; %Coordenadas polares
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %Mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u; %Desplazamientos originados por la vibración
uy=((1-u).^2).*y./u;
dx=x+ux; %Posición final de los puntos de la placa
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %Antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %Despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
}}

==. Divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> ==
Calculamos la divergencia de u en todos los puntos del sólido, utilizando el operador \( \nabla \cdot \vec u \):
<math>
∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i)
</math>
Los puntos de mayor divergencia están en la frontera exterior del anillo. En los puntos de la frontera interior no hay desplazamiento y observamos que aumenta progresivamente conforme se acercan a la frontera exterior.
No se aprecia cambio de volumen, ya que se trata de una representación de una superficie plana.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; %Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
}}
[[Archivo:c15.6.jpg]]

==. Rotacional <math>\vec u</math> ==

Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i</math> que al aplicar la matriz de Gram de las coordenadas polares queda <math> \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i</math>
:<math>
|\nabla\times \vec u⃗ |=\frac{ 1}{ ρ}\left|
\begin{matrix}
\ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
(1-ρ)^2 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
=0
</math>

==. Obtención del campo de tensiones <math>σ</math> ==

Calculamos el tensor gradiente del campo <math>\vec u</math> mediante la derivada covariante (forma para obtener el gradiente de un campo vectorial)y a continuación obtenemos su parte simétrica que llamaremos <math>ε</math>.
Definimos el tensor de tensiones <math>σ</math> como <math>σ = λ∇·u1+2µε</math> siendo los coeficientes de Lamé <math> λ </math> y <math> µ</math> iguales a <math>1</math>.

El valor de la matriz del tensor es :<math>\begin{bmatrix}
\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ & 0\\
0 & \frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ\\
\end{bmatrix}
</math>

Sabiendo que el tensor se puede expresar como: <math>σ= (frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ).g_ρ\otimes g_ρ + (\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ).g_θ\otimes g_θ </math>. Ambas componentes representan <math>σ</math> en dirección <math>g_ρ</math> y <math>g_θ</math>, respectivamente.
===. Tensiones normales en dirección g_ρ ===
[[Archivo:Normales1.png|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gρ.]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma1= 1./rr-8+7.*rr; %Campo de tensiones en dirección gρ
surf(x,y,sigma1)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

===. Tensiones normales en dirección g_θ/ρ ===

[[Archivo:Normales2.png|300x300px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones normales en dirección gθ/ρ.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt); %Relación polares-cartesianas
y=rr.*sin(tt);
sigma2=3./rr-8+5.*rr; %Campo de tensiones en dirección gθ/ρ
surf(x,y,sigma2)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

Conclusión: la tensión es más elevada en la direccion g_ρ que en la g_θ por tanto es mayor en la dirección radial que en las perpendiculares a los radios.

==. Tensiones tangenciales ==
Las tensiones tangenciales son cero porque la matriz del tensor de tensiones,<math> σ </math>, es diagonal debido a que el campo de desplazamiento produce una expansión en la dirección estrictamente radial sin producir ninguna torsión alrededor del eje vertical del origen de coordenadas. Los elementos asociados a la dirección tangencial de la tensión, es decir, los que no pertenecen a la diagonal principal, son cero, no existen tensiones en las direcciones de los planos ortogonales a g_θ y g_ρ.

<math>\sigma \cdot \vec g_\rho-(\vec g_\rho \cdot \sigma \cdot \vec g_\rho) \vec g_\rho = 0 </math>

==. Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por:

<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+ (\sigma_2-\sigma_3)^2+ (\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}</math>

Siendo <math>\sigma_1=\frac{ 1}{ ρ}}-8+7ρ, \sigma_2=\frac{ 3}{ ρ}}-8+5ρ, y \sigma_3=0,</math> los autovalores de la matriz de tensiones. Adaptando la fórmula a nuestro caso, anillo circular plano, la escribiremos como:
<math>\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{2}}</math>

Sustituyendo los autovalores:

<math>\sigma_{VM} = \frac{(-2+2.ρ^2)}{\sqrt{2}.ρ}</math>

[[Archivo:Vm14A.png|400x400px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de las tensiones de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
figure(1)
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
fvm=(-2+2.*rr.^2)./(rr.*sqrt(2));
surf(x,y,fvm)
axis([-3,3,-3,3])
axis equal
colorbar
}}

==. Masa del anillo ==
Para calcular la masa del anillo utilizamos la función de densidad <math> d(x,y,z) = xye−1/x2 <\math> que integramos a lo largo del dominio para obtener una aproximación de esta magnitud.

Utilizamos el siguiente código de Matlab para aproximar la integral numericamente:
[[Archivo:Cosa.png|miniaturadeimagen|400x400px|derecha|Representación de la función de masa en cada punto.]]
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=100; %Numero de puntos
a=1; b=2; c=1; d=2; %Extremos del intervalo
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %Coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %Coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*exp(-1./uu.^2); %Función
w1=ones(N1+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %Vector de masas
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*f*w1
}}

La masa del anillo en el primer cuadrante es 1.4635. Debido a su simetría impar, si integraramos en todo el dominio la masa total sería 0. Como dos de los cuadrantes son de masa idéntica pero negativa, al multiplicar por 4 la masa del primer cuadrante, obtenemos lo que sería una suma de la masa en valor absoluto de todo el dominio. <math> 1.4635 \times 4 = 5.854 = masa total <\math>

Archivo:C15.6.jpg

2014-12-03T15:25:39Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.5.jpg

2014-12-03T15:15:43Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.4.jpg

2014-12-03T15:05:42Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.3.jpg

2014-12-03T15:01:05Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.2.jpg

2014-12-03T14:49:25Z

Jaime.psoria:

Archivo:C15.1.jpg

2014-12-03T14:29:52Z

Jaime.psoria:

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-11-27T11:58:11Z

Jaime.psoria:

Visualización de Campos en un Anillo Plano (Grupo15-C)

2014-11-27T11:36:01Z

Jaime.psoria: Página creada con «{{ Beta }} {{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 15-C | Teoría de Campos|:Categoría:T...»

Visualización de campos en un anillo plano

2014-11-27T11:34:16Z

Jaime.psoria: Página blanqueada

Visualización de campos en un anillo plano

2014-11-27T11:33:07Z

Jaime.psoria:

Visualización de campos en un anillo plano

2014-11-27T11:30:36Z

Jaime.psoria:

Visualización de campos en un anillo plano

2014-11-27T11:21:46Z

Jaime.psoria: Página creada con «{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 15-C | Teoría de Campos|2014-15 | Jaime Peña, Iñigo Urag...»

{{ TrabajoED | Deformaciones de una placa plana. Grupo 15-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Jaime Peña, Iñigo Uraga, Pablo Molinero, Iñigo Diez, Daniel Pacheco y Pablo Vazquez }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:31:47Z

Jaime.psoria: /* Representación del mallado del sólido */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
<big>{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Bild1.jpg|Descripción1

</gallery></big>

==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> son nulas en todos los puntos de la placa.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal <math>\vec i</math>, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> son nulas en todos los puntos de la placa.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:31:17Z

Jaime.psoria: /* Representación del mallado del sólido */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Bild1.jpg|Descripción1

</gallery>

==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> son nulas en todos los puntos de la placa.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal <math>\vec i</math>, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> son nulas en todos los puntos de la placa.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:29:05Z

Jaime.psoria: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec j. */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> son nulas en todos los puntos de la placa.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal <math>\vec i</math>, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math> son nulas en todos los puntos de la placa.
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:28:02Z

Jaime.psoria: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec j. */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> son nulas en todos los puntos de la placa.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal <math>\vec i</math>, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:26:13Z

Jaime.psoria: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \vec i. */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math> para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
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view(2)
}}
Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec i </math> son nulas en todos los puntos de la placa.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
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view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:20:41Z

Jaime.psoria: /* Cálculo del rotacional */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
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U=gx(X,Y);
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quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<big><math>\nabla\times\vec{u}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10}& 0 & 0 \end{pmatrix}=- \frac{π}{10} cos(πy) \vec k </math></big>

Ahora hallamos su valor absoluto:

<big><math>|\nabla\times\vec{u}|=| \frac{π}{10} cos(πy) |</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:11:54Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )
<big>
<math> \nabla\times\vec{u}=\begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy)}{10} & 0 & 0 \end{pmatrix}= \</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:05:19Z

Jaime.psoria: /* Cálculo del rotacional */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )
<big>
<math>\nabla\times\vec{u}=\begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{sen(πy}{10} & 0 & 0 \end{pmatrix}=</math></big>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
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view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T19:01:07Z

Jaime.psoria: /* Cálculo del rotacional */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
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quiver(X,Y,U,V)
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view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

<math>\nabla\times\vec{u}= \frac {1}{g^\frac{1}{2}}\begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix}= \frac {1}{ρ} \begin{pmatrix} \vec{g_ρ} & \vec{g_θ} & \vec{g_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ cos(θ)(1 - \frac {1}{ρ^2})& - sen (θ) (ρ + \frac {1}{ρ}) & 0 \end{pmatrix}=</math>

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:59:24Z

Jaime.psoria: /* Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:58:15Z

Jaime.psoria: /* Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido */

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==

<big><math>\nabla\cdot\vec u= \frac{ \partial \vec u_1 }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec u_2 }{ \partial y}+ \frac{ \partial \vec u_3 }{ \partial z}=0
</math></big> 

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:51:47Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
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surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)

<math>\nabla\cdot\vec u= </math>
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:47:11Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r_{0}(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
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Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:39:07Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando ''“linspace”'', que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando ''“meshgrid”'' , y la representamos mediante el comando ''“surf”'' tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos ''“view”'' y le añadimos unos ejes con ''“axis”'', con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante ''“inline”''. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando ''“surf”'' y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando ''“contour”'', en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con ''“inline”'' y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando ''“quiver”''.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con ''“quiver”'' en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando ''“inline”'' la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:36:02Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente <math>\vec i</math>. Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente <math>\vec i</math> del campo, y Fy es la componente <math>\vec j</math>, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial <math>\vec u</math>. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:33:42Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente i (vector). Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente i del campo, y Fy es la componente j, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial u. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de u. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, usamos la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:22:02Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo 12A)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente i (vector). Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente i del campo, y Fy es la componente j, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial u. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de u. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a î, usamos la fórmula [oi-(ioi)] para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
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view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula [oj-(joj)]. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:21:04Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente i (vector). Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente i del campo, y Fy es la componente j, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial u. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de u. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a î, usamos la fórmula [oi-(ioi)] para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
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view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula [oj-(joj)]. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:19:51Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]| [[Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura <math> T(ρ; θ) = -log(ρ + 0.1)</math>, que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial <math> \vec u = sen (πY)/10 \vec i </math>.==
El campo vectorial está solo definido en la componente i (vector). Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente i del campo, y Fy es la componente j, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial u. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de u. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a î, usamos la fórmula [oi-(ioi)] para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula [oj-(joj)]. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualizacion de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo A - 12)

2013-12-09T18:10:47Z

Jaime.psoria:

{{ Beta }}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad|[[:Categoría:Teoría de campos|Teoría de campos]]| [[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Considerando una placa rectangular plana que ocupa la región [-1/2, 1/2]x[0,2] definimos sobre ella dos magnitudes físicas, la temperatura,T(x,y,t) un campo escalar; y los desplazamientos,<math>\vec u(x,y,t)</math>,un campo vectorial.
Definimos <math>\vec r0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo. La posición de cada punto de la placa en un instante t viene dado por:
<math>\vec r(x,y,t) = \vec r0(x,y) + \vec u(x,y,t)</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibracion de
manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>\vec u(x,y)=1/10 sin(πy)\vec i </math>
== Representación del mallado del sólido ==
Para representar el mallado, creamos dos vectores con el comando “linspace”, que representan los intervalos de las variables x e y, es decir la región de la placa, tomando como paso de muestreo 1/10. Creamos la malla con el comando “meshgrid” , y la representamos mediante el comando “surf” tomando como Z una matriz de ceros. Para la visualización, utilizamos “view” y le añadimos unos ejes con “axis”, con el intervalo que queremos que se represente.
{{matlab|codigo=
x=linspace(-1/2,1/2,10);
y=linspace(0,2,20);
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=zeros(20,10);
subplot(3,3,1)
surf(X,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de la función temperatura T(_; _) = 􀀀log(_ + 0:1), que proviene de un foco en el origen, mediante una superficie. ==

Introducimos en Matlab la función mediante “inline”. Como la función depende de variables cilíndricas, la escribimos directamente en coordenadas cartesianas. Denominamos Z1 a la matriz imagen de la función T, y representamos la superficie con el comando “surf” y la visualizamos.

{{matlab|codigo=

f=inline('-log(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
Z1=f(X,Y);
subplot(3,3,2)
surf(X,Y,Z1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)

}}

==Cálculo del gradiente de la función T y representación del gradiente y curvas de nivel de T. ==

Primero representamos las curvas de nivel con el comando “contour”, en el cuál tendremos las variables X, Y, Z1 definidas anteriormente, y por último le añadimos un número (20), que se corresponde con el número de curvas de nivel que obtenemos por pantalla.
{{matlab|codigo=

Subplot (3,3,3)
Contour (X,Y,Z,20)
Axis ([-1,1,-1,3])
View (2)
}}
Después procedemos al cálculo y representación del gradiente, cuyas componentes gx y gy son las derivadas parciales con respecto a X e Y de la función T. Introducimos las funciones gx y gy (aqui añadimos la función matemática) con “inline” y después les damos valores dentro del mallado. Finalmente representamos con el comando “quiver”.
{{matlab|codigo=

gx=inline('-(x./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
gy=inline('-(y./sqrt(x.^2+y.^2))./(sqrt(x.^2+y.^2)+0.1)','x','y');
U=gx(X,Y);
V=gy(X,Y);
subplot(3,3,4)
quiver(X,Y,U,V)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Podemos observar finalmente que las curvas de nivel son ortogonales al campo vectorial gradiente. (ponemos un dibujo encima del otro).
==Representación del campo vectorial u = sen (PI*Y)/10 i. ==
El campo vectorial está solo definido en la componente i (vector). Por tanto creamos dos funciones Fx y Fy. Fx es igual a la componente i del campo, y Fy es la componente j, o sea 0. Damos valores a las funciones con U1 y V1 y finalmente representamos con “quiver” en el mismo intervalo que siempre.
{{matlab|codigo=

fx=inline('sin(pi*y)/10','x','y');
fy=inline('0','x','y');
U1=fx(X,Y);
V1=fy(X,Y);
subplot(3,3,5)
quiver(X,Y,U1,V1)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Representación de cada punto del sólido antes y despúes del desplazamiento determinado por el campo vectorial u. ==
Definimos X1, que es la componente en x después del desplazamiento. La obtenemos sumando la X inicial y el desplazamiento. La Y y la Z son las mismas, usamos el comando surf con las variables X1, Y, Z.
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,6)
X1=X+U1;
surf(X1,Y,Z)
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
==Calculo y representación de la divergencia en todos los puntos del sólido==
(Introducimos las operaciones aritméticas)
La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
La divergencia nos da 0, por tanto la representación es 0 en todos los puntos.

==Cálculo del rotacional==
(introducimos las operaciones aritméticas y explicamos por encima la divergencia )

Introducimos con el comando “inline” la componente Z del rotacional, y la aplicamos a los puntos del sólido. Los puntos que maximizan una función son los que hacen máxima la función coseno, es decir, puntos de los ejes y iguales a los números enteros en este caso, como se puede comprobar en el dibujo.

{{matlab|codigo=

hz=inline('-pi*cos(pi*y)/10','x','y','z');
Z2=hz(X,Y,Z);
Z2=abs(Z2);
subplot(3,3,7)
surf(X,Y,Z2);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensor de tensiones. ==
Definimos la función épsilon como la parte simétrica del tensor gradiente de u. El tensor de tensiones se define como (introducimos ecuación)
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje i y el eje j resultan 0 y por tanto su representación es 0.
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i.==
Para hallar las tensiones tangenciales al plano ortogonal a î, usamos la fórmula [oi-(ioi)] para calcularlas, saliendo con solo componente en y .Construimos las matrices Kx Ky y Kz con las componentes de las tensiones, y después las dibujamos usando el comando quiver3 para representar campos vectoriales en 3 dimensiones.
Como se puede observar en el dibujo, son mayores en…FALTA ESTO .
{{matlab|codigo=

Ky=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Kx=zeros(size(Ky));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,8)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j.==
Para obtener y dibujar estas tensiones, las tangenciales respecto al plano ortogonal a ^j, el método es igual al de las tensiones tangenciales respeto al plano ortognal î, solo que usaremos para hallarlas la fórmula [oj-(joj)]. Luego para representarlas lo haremos igual también, construyendo matrices con las componentes de las tensiones y representándolas sobre los punos de coordenadas X Y Z con el comando quiver3.
Las mayores tensiones, como se aprecia en la representación, están….FALTAA
{{matlab|codigo=

Kx=(pi/10)*cos(pi*Y)/10;
Ky=zeros(size(Kx));
Kz=zeros(size(Ky));
subplot(3,3,9)
quiver3(X,Y,Z,Kx,Ky,Kz);
axis([-1,1,-1,3])
view(2)
}}
Estas tensiones se calculan con la fórmula [oj-(joj)],y a continuación mostramos un dibujo de ellas obtenido con el Matlab:
En él se ve perfectamente que las mayores tensiones tangenciales al plano ortogonal j son …
[[categoria:Teoría de Campos]]