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La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T13:49:28Z

Jaime.pelayo.depaz:

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>Q(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T12:24:05Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Representación en MATLAB */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|700 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:6.g57

2025-12-05T12:23:26Z

Jaime.pelayo.depaz:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T12:23:03Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado, es la circunferencia que mejor se aproxima localmente a la curva, teniendo la misma dirección tangente y curvatura que la curva en ese punto específico. 
El radio de la circunferencia osculatriz en un cierto punto de la curva <math>t_0</math> se define como: <math>R(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math> 
En este caso se calculará el radio de la circunferencia en el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)} =\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}} =\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e} = 3,0841</math> 
Por otro lado, el centro de dicha circunferencia se define como: <math>\quad Q(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math> 
Conociendo la curvatura <math>\kappa</math> y el vector normal <math>\vec{n}</math> , se calcula el centro de la circunferencia que pasa por el punto de la curva correspondiente a <math>\gamma(t_0=-0.5)</math>: 
<math>R(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}}) +\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{-0.5}{3}\right), sech\left(\frac{-0.5}{3}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e}, \; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right) = (0,00931;\; 6,0835)</math>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:6.g57|550 px|miniaturadeimagen|right|Circunferencia osculatriz y Catenaria]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',3)
axis equal
grid minor
hold on
s=sinh(-0.5/3);
c=cosh(-0.5/3);
% definimos la función curvatura en el punto (t=-0.5)
k=1/(2*(c^2));
% calculamos el radio de la circunferencia osculatriz en el punto (t=-0.5)
R=1/abs(k);
% definimos el vector normal en el punto
ni=-s/c;
nj=1/c;
% calculamos el centro
Ci=-0.5+R*ni;
Cj=3*c+R*nj;
% parametrizamos la circunferencia en coordenadas polares
theta=linspace(0,2*pi,100);
x=Ci+R.*cos(theta);
y=Cj+R.*sin(theta);
plot(x,y,'r')}}

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T11:47:34Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Curvatura\quad\kappa(t) */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> obtenidos anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T11:46:43Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Representación en MATLAB */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> calculados anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica de la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T11:44:40Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Representación en MATLAB */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> calculados anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica la curva: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|350px|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:5.g57

2025-12-05T11:42:56Z

Jaime.pelayo.depaz:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T11:42:15Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Curvatura\quad\kappa(t) */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
La curvatura indica qué tanto cambia de dirección una curva en un punto específico, esta se define como:<math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math> 
Por tanto, conociendo los vectores <math> γ'(t) </math> y <math> γ''(t) </math> calculados anteriormente, se calcula: 
<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}*cosh(\frac{t}{3})-0*senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , que indica la curvatura de la curva en función del parámetro ''t''.

==Representación en MATLAB==
La representación en una gráfica la función: <math> κ(t)= \frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math> , en el intervalo <math>\quad t\in (-1,1)</math>.
[[Archivo:5.g57|miniaturadeimagen|Representación de la curvatura de la Catenaria|right|]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos t
t=linspace(-1,1,20);
c=cosh(t/3);
x=t;
% definimos la función curvatura
k=1./(2.*c).^2;
% dibujamos la función curvatura
plot(t,k)
grid minor}}

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:8.5.g57.jpg

2025-12-05T11:11:48Z

Jaime.pelayo.depaz:

Archivo:8.4.g57.jpg

2025-12-05T11:09:23Z

Jaime.pelayo.depaz:

Archivo:8.3.g57.jpg

2025-12-05T11:08:53Z

Jaime.pelayo.depaz:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T11:07:57Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Ejemplos de la curva en construcciones civiles */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
==Representación en MATLAB==

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
<gallery class="center" heights="225px" widths="350px">
8.1.g57.jpg|Puente de Manhattan (Nueva York)
8.2.g57.jpg|Gateway Arch (San Luis, Misuri)
8.3.g57.jpg|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)
8.4.g57.jpg|Catenaria ferroviaria
8.5.g57.jpg|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)
</gallery>

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:8.2.g57.jpg

2025-12-05T11:01:25Z

Jaime.pelayo.depaz:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T10:58:47Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Ejemplos de la curva en construcciones civiles */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
==Representación en MATLAB==

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
[[Archivo:8.1.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|center|Puente de Manhattan (Nueva York)]]
[[Archivo:8.2.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|center|Gateway Arch (San Luis, Misuri)]]
[[Archivo:8.3.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|center|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)]]
[[Archivo:8.4.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|center|Catenaria ferroviaria]]
[[Archivo:8.5.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|center|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)]]

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-05T10:58:08Z

Jaime.pelayo.depaz: /* Ejemplos de la curva en construcciones civiles */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 57| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Jaime Pelayo de Paz
*Alejandro Pérez Torres
*Luis Ignacio Quintana Sierra
*Adrián Rojas Zagal
*Lucía Candel Matesanz }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria es una curva ideal que representa la curva característica que adopta un cable, cuerda o cadena perfectamente flexible cuando se encuentra suspendida entre dos puntos fijos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta forma se debe al equilibrio del peso propio y la ausencia de rigidez flexional.
Cumple la ecuación:
<math> y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) </math>, siendo ''a'' un numero natural mayor que 0
 
Para representarla se utilizará su parametrización en cartesianas y ''a'' = 3:
 
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,3cosh(t/3) ), t∈(-1,1) </math> </center>
 

=Dibujo de la curva=
Utilizando MATLAB para la representación de la curva, se obtiene:
[[Archivo:1.g57.png|miniaturadeimagen|400px|thumb|right|Representación de la Catenaria]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y);
axis equal;
grid minor;}}

=Vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ' '(t)=
El vector velocidad representa el vector tangente a la curva en cada uno de los puntos de la misma, este informa sobre la dirección y sentido de la curva, además su modulo no constante indica la velocidad escalar en cada punto de la misma, viene dado por la expresión:
 <center><math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> </center>
 
El vector aceleración representa la variación de dirección y magnitud que experimenta el vector velocidad al variar el parámetro ''t''. Se puede observar como la dirección y sentido del mismo se mantiene constante a lo largo de la curva. En este caso se expresa como:
 <center><math> \gamma''(t)=(x''(t),y''(t))=(0,\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})) </math> </center>

==Representación en MATLAB==
[[Archivo:2.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Representación de vectores velocidad y aceleración junto la curva]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva;
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva;
plot(x,y,'LineWidth',3);
axis equal;
grid minor;
hold on;
% creamos el vector velocidad con sus componentes;
vi=ones(1,20);
vj=s;
% representamos el vector velocidad;
quiver(x,y,vi,vj,'r');
hold on;
% creamos el vector aceleración con sus componentes;
ai=zeros(1,20);
aj=c./3;
% representamos el vector aceleración;
quiver(x,y,ai,aj,'g');}}

=Longitud de la curva=
La longitud de una curva parametrizada en función de un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in ({t_1},{t_2})</math>''' viene dada por:
'''<math> L=\int_{t_1}^{t_2}|γ′(t)|=</math>''', siendo '''<math> |γ'(t)|</math>''' el módulo del vector velocidad. 
Para calcularlo se necesita el vector velocidad: <math> \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{3})) </math> , del que obtenemos su módulo: <math> \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math> = <math>\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}</math>. 
Sustituyendo y operando en <math> t\in (-1,1)</math> se obtiene: 
<math> L=\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,03724 </math>

=Vectores tangente <math>\vec{t}(t)</math> y normal <math>\vec{n}(t)</math>=
El vector tangente <math>\vec{t}(t)</math>, unitario, indica la dirección en que avanza la curva en cada punto, se calcula como: <math>\vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math> 
En este caso queda: <math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{3})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{3})}=sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} </math> 
Por otro lado, el vector normal <math>\vec{n}(t)</math>, también unitario, apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva, y se calcula como: <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>, siendo <math>\vec{b}(t)</math> el vector binormal de la curva. Como se trata de una curva plana perteneciente al plano XY, se toma <math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>. 
Por tanto <math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)= \begin{equation} \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & 0 & 1\\ sech(\frac{t}{3}) & tanh(\frac{t}{3}) & 0 \end{vmatrix}\end{equation}=-tanh(\frac{t}{3})\vec{i}+sech(\frac{t}{3})\vec{j} </math>
==Representación en MATLAB==
[[Archivo:4.g57|miniaturadeimagen|650px|thumb|right|Vectores tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
% parametrizamos la curva
t=linspace(-1,1,20);
s=sinh(t/3);
c=cosh(t/3);
x=t;
y=3*c;
% dibujamos la curva
plot(x,y,'LineWidth',5)
axis equal
grid minor
hold on
% creamos el vector tangente unitario con sus componentes
tgi=1./c;
tgj=s./c;
% representamos el vector tangente unitario
quiver(x,y,tgi,tgj,'y')
hold on
% creamos el vector normal unitario exterior con sus componentes
ni=(-s)./c;
nj=1./c;
% representamos el vector normal exterior
quiver(x,y,ni,nj,'m')}}

=Curvatura<math>\quad\kappa(t)</math>=
==Representación en MATLAB==

=Circunferencia osculatriz=
==Representación en MATLAB==

=Propiedades de la curva=
La curva catenaria es la geometría que asume una cadena o un cable idealizado, flexible e inextensible, cuando se encuentra suspendido en sus extremos y es sometido únicamente a la acción de la gravedad. 
Su propiedad fundamental es que su configuración de equilibrio minimiza la energía potencial del cable, lo que la hace muy estable y resistente, y la convierte en una forma ideal para el soporte de cargas distribuidas uniformemente. 
Debido a esto, en el campo de la ingeniería civil la curva catenaria posee una gran relevancia e interés. El diseño de estructuras como los puentes colgantes, líneas eléctricas o catenarias ferroviarias aprovechan la estabilidad y resistencia proporcionada por esta forma natural. Además, una aplicación destacada es el uso de la catenaria invertida para el diseño de arcos, ya que estos trabajan de manera óptima solo a compresión, logrando evitar esfuerzos flectores y cortantes, son conocidos como arcos funiculares.

=Ejemplos de la curva en construcciones civiles=
Como se ha dicho, la curva catenaria está presente en diversas construcciones civiles debido a sus propiedades de equilibrio frente a cargas distribuidas provocadas por la acción de la gravedad. A continuación se exponen algunos ejemplos: 
[[Archivo:8.1.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|thumb|center|Puente de Manhattan (Nueva York)]]
[[Archivo:8.2.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|thumb|center|Gateway Arch (San Luis, Misuri)]]
[[Archivo:8.3.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|thumb|center|Golden Gate Bridge (San Francisco, California)]]
[[Archivo:8.4.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|thumb|center|Catenaria ferroviaria]]
[[Archivo:8.5.g57.jpg|miniaturadeimagen|250px|thumb|center|Puente Mike O'Callaghan–Pat Tillman (EE.UU.)]]

=Catenaria y parábola=
==Representación en MATLAB==

=Catenoide=
==Representación en MATLAB==
==Ejemplos de la superficie en construcciones civiles==

=Función de densidad del catenoide=
==Distribución de la densidad==
==Masa de la superficie==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:8.1.g57.jpg

2025-12-05T10:57:29Z

Jaime.pelayo.depaz:

La Catenaria (grupo 57)

2025-12-04T02:16:29Z

Jaime.pelayo.depaz: