MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:07:35Z

Jaime Pérez: /* Distribución de presiones sobre la presa */

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:fotopresa1.png|500px|centre|Representación Presa|]]

==Distribución de presiones sobre la presa ==
{{matlab|codigo=
% Parámetros de presión
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Cálculo de la presión
P = rho * g * (H - Z); % Presión en función de z

% Gráfica de la superficie con mapa de colores para la presión
figure;
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Presión sobre la superficie de la presa');
colorbar; % Barra de colores para indicar magnitudes de presión
colormap(jet); % Esquema de colores
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:fotopresa2.png|500px|centre|Distribución de presiones|]]

Archivo:Fotopresa2.png

2024-11-26T10:07:10Z

Jaime Pérez:

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:05:50Z

Jaime Pérez: /* Distribución de presiones sobre la presa */

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:01:28Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:01:18Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:fotopresa1.png|1500px|centre|Representación Presa|]]

==Distribución de presiones sobre la presa ==

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:00:58Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:fotopresa1.png|150px|centre|Representación Presa|]]

==Distribución de presiones sobre la presa ==

Archivo:Fotopresa1.png

2024-11-26T10:00:34Z

Jaime Pérez:

La presa de El Atazar

2024-11-26T10:00:15Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:|150px|centre|Representación Presa|]]

==Distribución de presiones sobre la presa ==

La presa de El Atazar

2024-11-26T09:55:39Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}
[[Archivo:presa1.fig|150px|centre|Representación Presa|]]

==Distribución de presiones sobre la presa ==

Archivo:Presa1.fig

2024-11-26T09:54:37Z

Jaime Pérez:

La presa de El Atazar

2024-11-26T09:45:43Z

Jaime Pérez: /* Representación de la presa */

La presa de El Atazar

2024-11-26T09:45:33Z

Jaime Pérez: /* Distribución de presiones sobre la presa */

La presa de El Atazar

2024-11-26T09:44:56Z

Jaime Pérez:

{{ TrabajoED | La presa de El Atazar. Grupo 31 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] |
*Cristopher Ardon Colindres
*Andrea Garcia Carrasco
*Aaron García Martín
*Lara Gutiérrez Kreutzer }}

La presa de El Atazar, ubicada en el río Lozoya, es la mayor y más importante de la Comunidad de Madrid. Inaugurada en 1972, es una presa de gravedad y arco con 134 metros de altura y una capacidad de 425 hectómetros cúbicos, siendo clave para el abastecimiento de agua potable en Madrid y su área metropolitana.

El presente trabajo tiene por objeto la visualización y representación de la geometría de la presa para hacer un posterior análisis de la estabilidad estructural y la interacción del agua con la presa, incluyendo presión y caudal.
Para su realización se empleará el software de programación y cálculo numérico Matlab.

==Representación de la presa ==

==Distribución de presiones sobre la presa ==
{{matlab|codigo=
clc
% Parámetros de la presa
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta_min = -pi/4;
theta_max = pi/4;

% Discretización del dominio
theta = linspace(theta_min, theta_max, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura

% Malla para parametrización
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z);

% Ecuación paramétrica para r
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);

% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);

% Gráfica de la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'cyan', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa (aguas arriba)');
axis equal;
view(3);
grid on;
}}

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-17T18:23:00Z

Jaime Pérez:

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Al ser irrotacional no habrá puntos que sufran un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento transversal==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:50:50Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Al ser irrotacional no habrá puntos que sufran un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento transversal==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:49:20Z

Jaime Pérez: /* Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Al ser irrotacional no habrá puntos que sufren un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento transversal==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:48:03Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Al ser irrotacional no habrá puntos que sufren un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:47:16Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Como <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>, no habra puntos que sufren un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:46:28Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>. Como <math>\ \left \bigtriangledown \times \vec{u} \right = 0 </math>, no habra puntos que sufren un mayor rotacional que otros.

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:44:12Z

Jaime Pérez: /* Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a \ \vec i */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:43:43Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes \vec{i}, \vec{j} y \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:43:16Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes \vec{i}, \vec{j} y \vec{k} */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes <math>\vec{i}, \vec{j} y \vec{k}</math>==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:42:49Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales en la dirección que marcan los ejes \vec{i}, \vec{j} y \vec{k}==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:39:37Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia de un campo de desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:35:40Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos. Por otra parte, si se puede observar como la divergencia es un cambio de volumen.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:34:19Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]
Como se puede observar en la gráfica, los puntos en los que la divergencia es máxima es en los puntos donde el eje y equivale a 0,6 y 12. Los puntos en los que la divergencia es mínima son aquellos donde el eje y equivale a 3 y 9. Por último, los puntos donde la divergencia es nula equivalen a aquellos puntos donde la gráfica no crece ni decrece, es decir, en los máximos y mínimos.

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:28:27Z

Jaime Pérez: /* Representación de deformaciones de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de las deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:24:19Z

Jaime Pérez: /* Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagación de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los desplazamientos producidos en la placa serán únicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parámetros de Lamé correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:18:05Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|800px|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:17:09Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:15:37Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:14:01Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:04:17Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé son <math>λ=µ=1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T18:01:19Z

Jaime Pérez: /* Tensiones normales */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo, donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:59:15Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:58:28Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial 3}\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:57:21Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & \frac{\partial }{\partial x_2} & \frac{\partial }{\partial x_3}\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso, el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendría definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:56:23Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x_1} & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:54:53Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \partial u_{1} & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:52:29Z

Jaime Pérez: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto, y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:50:23Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Función que define la divergencia con dos variables x e y
subplot(1,2,1) %Representación de la primera figura
surf(X,Y,Z); %Representación de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representación de la segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z);
contour(X,Y,Z,10,'K') %Creamos las curvas de nivel
colorbar
shading flat % Quitamos el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:48:04Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1]; %Discretización x
y=[0:h:12]; %Discretización y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:45:51Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>. Nos queda la siguiente exptresión <math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>.

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:45:23Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:45:01Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u_1=0\ </math> y <math> \ u_2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\</math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:42:47Z

Jaime Pérez: /* Divergencia del Campo de Desplazamientos */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u1=0\ </math> y <math> \ u2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:41:57Z

Jaime Pérez: /* Representación de deformaciones de la placa */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X)); %Creamos una matriz de ceros de tamaño X
mesh(X,Y,Z); %Creamos el mallado del campo
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
title ('antes desplazamiento')
subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; %Suma de u las posiciones de x
YY=Y+v; %Suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u1=0\ </math> y <math> \ u2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:40:15Z

Jaime Pérez: /* Campo vectorial para t=0 */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos el mallado del campo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creamos el mallado
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X));
mesh(X,Y,Z);
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')

title ('antes desplazamiento')

subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; % suma de u las poosiciones de x
YY=Y+v; % suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u1=0\ </math> y <math> \ u2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:39:47Z

Jaime Pérez: /* Energía calorífica \vec{Q} */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.

==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado de la placa
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos elmallado delcampo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creamos el mallado
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X));
mesh(X,Y,Z);
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')

title ('antes desplazamiento')

subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; % suma de u las poosiciones de x
YY=Y+v; % suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u1=0\ </math> y <math> \ u2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2)

2023-12-15T17:39:32Z

Jaime Pérez: /* Cálculo de ▽T y su representación */

{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en elasticidad, Grupo(2) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Soto, Pablo
* Mateo, Nicolás
* García, Andrea
* Villaverde, Rodrigo
* Pérez, Jaime}}
El objetivo de este artículo es visualizar los distintos '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar campos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial campos vectoriales]''' en elasticidad. Para ello, consideramos una placa rectangular plana y dos magnitudes físicas, la temperatura, expresada por un campo escalar y el desplazamiento ondulatorio producido por una fuerza determinada. Supondremos que el desplazamiento se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Haremos uso de programas de cálculo matemático como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB] para realizar cálculos complejos y representar visualmente los distintos campos.

==Representación de la placa rectangular==
Para empezar el ejercicio deberemos crear un mallado acorde a los parámetros establecidos en el enunciado. Para ello deberemos tomar los ejes empleando el comando 'axis' en el rectángulo definido por <math> (x, y) ∈ [-1,1] × [0,12] </math> y empleando un paso de muestreo <math> h=\frac{2}{10}</math> para las variables <math> x </math> e <math> y </math>.
Haremos uso del siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=0.*X.*Y;
mesh(X,Y,Z); %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las mismas proporciones
title('Placa rectangular plana')
xlabel('eje x') %Nombramos los ejes
ylabel('eje y')
view(2); %Establecemos el ángulo de vista
}}
[[Archivo:apartado1sup2d.png|150px|centre|Mallado de la placa rectángular|]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
La temperatura viene definida por la expresión <math> T(x,y)=3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2) </math>. Además de esto, deberemos indicar cuales son los puntos de la gráfica en los que la temperatura es máxima por lo que calcularemos el gradiente del campo y lo representaremos graficamente mediante MATLAB.
{{matlab|codigo=
clc
clear
subplot(1,2,1) %Representamos la gráfica de la primera columna
h=2/20; %Definimos el paso de muestro
x=[-1:h:1]; %Definimos los límites de la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %Ponemos la función de la T en función del eje Z
mesh(X,Y,Z) %Creamos la placa
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 3D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
subplot(1,2,2) %Representamos la gráfica de la segunda columna
pcolor(X,Y,Z)
shading flat %Quitamos el mallado negro
hold on
contour(X,Y,Z,20,'k') %Creamos las curvas de nivel en color negro
hold off
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Curvas de nivel de la temperatura en 2D") %Título de la gráfica y los ejes
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:curvasniveltempo.png|550px|centre|]]
===Temperatura máxima===
Según la gráfica, podemos observar que el punto donde más temperatura se alcanza es en el punto <math>(1,12)</math>. Para saber cual es el valor máximo de la temperatura utilizaremos el siguiente comando al final del código anterior, este código nos dará el valor máximo que alcanza la temperatura en la región:
{{matlab|codigo=
Tmax=max(max(Z))
}}
El programa nos indicará que el valor de la temperatura máxima es 9,4434ºC.
[[Archivo:tmax.png|100px|centre|]]

===Cálculo de ▽T y su representación===
Para calcular el gradiente de un campo escalar, que en este caso es la temperatura dada en función de <math>T= 3log(1+(x+1)^2)+log(1+(y-2)^2)</math>, deberemos realizar la derivada parcial de cada coordenada reflejada sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>, sin embargo, al ser una placa en 2 dimensiones no se realizará la derivada parcial de la coordenada <math>\vec{k}</math>. Por lo que la divergencia de la temperatura será <math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math>, que con nuestra función temperatura es <math>▽T=(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math>. Una vez calculada la divergencia podemos representarlo en la gráfica. Utilizaremos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Generamos el mallado de los parámetros establecidos
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:gradiente2_2.png|150px|centre|]]

==Energía calorífica <math> \vec{Q} </math>==
De acuerdo con la Ley de Fourier, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja según la fórmula <math> \vec{Q}=-k∇T </math>, donde κ es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math>k = 1</math>. Una vez calculada la energía calorífica <math> \vec{Q}= -(\frac{6x+6}{1+(x+1)^2})\vec{i}+(\frac{2y-4}{1+(y-2)^2})\vec{j}</math> deberemos representarlo en la gráfica utilizando el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
f=inline('3*log(1+(x+1).^2)+log(1+(y-2).^2)','x','y'); %Creamos las funciones del campo
fx=inline('-(6*(x+1))./(1+(x+1).^2)','x','y');
fy=inline('-(2*(y-2))./(1+(y-2).^2)','x','y');
x=[-1:h:1]; %Discretizamos la placa
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado de la placa
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,20,'g') %Creamos las curvas de nivel del campo
hold on
k=0.3; %Establecemos el tamaño de paso
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy);
U=fx(XX,YY);
V=fy(XX,YY);
quiver(XX,YY,U,V,'k') %Representamos el campo vectorial
axis equal %Los ejes mantienen las proporciones
title("Representación de ▽T")
xlabel('eje x') %Título de la gráfica y los ejes
ylabel('eje y')
zlabel('T(x,y)')
}}
[[Archivo:energiacal.png|150px|centre|]]
Se puede observar que el campo generado por la energía calorífica tiene sentido opuesto a ▽T.
==Campo vectorial para <math>t=0</math>==
El campo vectorial viene definido por la expresión <math> \vec{u}(x,y,t)= \vec{a}sin(πk(\vec{d}*\vec{r_o}(x,y)-vt))</math>. Sustituyendo los valores de la ecuación indicados en el enunciado, <math> \vec{a}=\vec{d}=\frac{1}{3}\vec{j} </math>, <math>k=1</math>, y por último <math>r_o=x\vec{i}+y\vec{j}</math>, para <math>t=0 </math> nos queda que <math>\vec{u}(x,y,0)= \frac{1}{3}\vec{j}sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}*(x\vec{i}+y\vec{j})))</math>. Si continuamos operando la expresión nos queda <math>\vec{u}(x,y,0)= (0,\frac{1}{3},0)sin(x,y(0,\frac{1}{3},0)(1,1,0))</math>. Fianlmente obtenemos que <math>\vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{1}{3},x,y)\vec{j}</math>. Utilizaremos el siguiente código para representar el campo vectorial:
{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.3; %Establecemos un tamaño de paso
u=inline('0.*x.*y','x','y'); %Aplicamos la función en u
v=inline('(1/3)*sin(pi*y/3)','x','y'); %Aplicamos la función en v
x=[-1:k:1];% Discretización de x
y=[0:k:12]; % Discretización de y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado de la placa
xx=[-1:k:1];
yy=[0:k:12];
[XX,YY]=meshgrid(xx,yy); %Creamos elmallado delcampo
U=u(XX,YY); %Aplicamos la funcion u a XX e YY
V=v(XX,YY);% Aplicamos la funcion v a XX e YY
quiver(XX,YY,U,V) %Representamos el campo vectorial
axis image %Ajustar los limites con la figura y mantiene la proporción de los ejes
title('Campo Vectorial')
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
}}
[[Archivo:campovec.png|150px|centre|]]

==Representación de deformaciones de la placa==
El campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math> es el campo de fuerzas que actúan sobre nuestra placa en el instante t=0.
La representación de las posiciones en los puntos de la placa mediante MATLAB es la siguiente:

{{matlab|codigo=
clc
clear
k=0.2;
x=[-1:k:1];% Discretización x
y=[0:k:12];% Discretizción y
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Creamos el mallado
u=0.*X.*Y; %Función de u
v=(1/3)*sin(pi*Y./3);% Función de v
Z=zeros(size(X));
mesh(X,Y,Z);
subplot(1,2,1)
pcolor(X,Y,Z)
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')

title ('antes desplazamiento')

subplot(1,2,2) %en esta figura sumamos los vectores posicion antes de hacer acuar el campo mas los vectores que se generan una vez acutado el campo
XX=X+u; % suma de u las poosiciones de x
YY=Y+v; % suma de ven las posiciones de y
pcolor(XX,YY,Z);
axis equal
xlabel('eje x')
ylabel('eje y')
title('despues del desplazamiento')
}}
[[Archivo:Desplazamientos_G2_2324.png |800px|centre|]]

==Divergencia del Campo de Desplazamientos==
Dado el campo vectorial <math>\ \vec{u}(x,y,0)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}.y)\vec{j}</math>, la divergencia de <math>\ \vec{u}</math> viene dada por <math>▽\vec{u}=\frac{\partial{u1}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u2}}{\partial{y}}</math>, siendo <math> \ u1=0\ </math> y <math> \ u2=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\ </math>.

<math>\ ▽\vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\vec{j}</math>

La Divergencia<math>\ ▽\vec{u} </math> nos muestra el flujo del campo por unidad de volumen.
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=2/20;
x=[-1:h:1];%Discretizacion x
y=[0:h:12];%Discretizacion y
[X,Y]=meshgrid(x,y); %Mallado
Z=pi/9*cos((pi/3).*Y); %Funcion que defibe la divergencia, dos variables x e y
subplot(1,2,1)% primera figura
surf(X,Y,Z); %Representacion de la superficie
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('z')
title ('Divergencia')
shading flat
subplot(1,2,2) %Representacion segunda figura
hold on
axis equal
pcolor(X,Y,Z); %representacion grafica
contour(X,Y,Z,10,'K') %curvas de nivel
colorbar
shading flat % quitar el mallado negro
xlabel('x');
ylabel('y')
zlabel('Divergencia')
axis equal
}}
[[Archivo:Divergencia_G2_2324.png|800px|centre|]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==
El rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math>, expresado en coordenadas cartesianas, se define como la tendencia del campo a inducir rotacion alrededor de un punto y lo designamos por<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u}</math> .

Sea <math> \vec{u}(x_1,x_2,x_3)=u_1(x_1,x_2,x_3)\vec{i}+u_2(x_1,x_2,x_3)\vec{j}+u_3(x_1,x_2,x_3)\vec{k} </math>, expresado en la base canónica de <math>ℝ^3</math>, el rotacional de <math>\vec{u}</math> se define como:
<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx_1 & d/dx_2 & d/dx_3\\ u_1 & u_2 & u_3\end{vmatrix}</math>.

Empleando en nuestro caso el campo vectorial <math>\vec{u}(x,y,z)=\frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j}</math>, el rotacional vendria definido como <math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ 0 & \frac{1}{3}Sen(π/3y)\vec{j} & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=\vec{0}</math>.

Al obtener como solucion del rotacional el vector nulo, podemos ver que nos encontramos con que <math>\vec{u}(x_1,x_2,x_3)</math> es un campo irrotacional ó conservativo en el que se cumple que <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Tensiones normales==
Tenemos el campo de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math>.
Los coeficientes de Lamé <math>λ, µ =1</math> y la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> es <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> .
Para calcular las deformaciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>, se comienza con estos cálculos:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Podemos ver que <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, por lo que su matriz traspuesta y ella misma son idénticas y se representarán de la misma forma.

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j + \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j}{2}=\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) \vec j \otimes \vec j</math>

Continuamos calculando el tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{\pi}{9}cos(frac{\pi}{3}y)(\vec j \otimes \vec j) = \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)\ \end{pmatrix}</math>

Finalmente calculamos las tensiones normales.
Estas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

En la dirección <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}y)</math>

Tras los cálculos lo representamos en Matlab utilizando el código:
{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;

%Discretizamos y creamos mallado
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%creamos las tres gráficas
figure
hold on
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,i)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,j)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,k)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
hold off
}}
[[Archivo:tensnorm.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==Tensiones Tangenciales Respecto al Plano Ortogonal a <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> la expresión de la tensión tangencial <math> \sigma_{T} </math> respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> en <math>t=0</math>

<math>\sigma_{T}=\ \left| \begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1 \\0 \\0 \\ \end{pmatrix}·\begin{pmatrix}\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0&0\\0&\frac{\pi}{3}cos(\frac{\pi}{3}·y)&0\\0&0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\right)\vec i \right| </math>

Obtenemos que:

<math>\sigma_{T} =\ \left|\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i - \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y)\vec i \right| = \vec{0}</math>

Quedando demostrado que las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> (que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math>) son nulas.

==Tensión de Von Mises==

Sea <math> \sigma_{VM}</math> la Tensión de Von Mises una magnitud escalar usada en Cálculo de Estructuras como indicador para conocer el momento en el que un material termina un comportamiento elástico y comienza un comportamiento plástico. Dicha tensión se cálcula a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, las cuales corresponden con los autovalores <math>( \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)</math> de <math> \sigma</math>.
La Tensión de Von Mises queda definida mediante la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=%discretizamos y creamos mallado
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%tensiones normales en i,j y k
i=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);
j=(pi/3).*cos((pi/3).*Y);
k=(pi/9).*cos((pi/3).*Y);

%Autovalores Von Mises
Z=ones(size(y,2),size(x,2));
T=zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Nombramos los valores de cada componente para la tensión Von Mises
v1=i(m,n);
v2=j(m,n);
v3=k(m,n);
A=[v1,0,0;0,v2,0;0,0,v3];
%Obtenemos de los autovalores
[V,D]=eig(A);
A1=D(1,1);
A2=D(2,2);
A3=D(3,3);
%Calculamos para cada componente
TVM=sqrt(((A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2)*1/2);
Z(m,n)=TVM;
end
end

%Representación en nuestra placa 2D
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representación en 3D
subplot(1,2,2)
surf(X,Y,Z)
shading flat
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')}}

[[Archivo:Tensión de Von Mises.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional ]]

Queda, por tanto, claro que el mayor valor que alcanza la Tensión de Von Mises en la placa se alcanza periódicamente de forma sinusoidal.

==Velocidad de propagación de las ondas en términos de las constantes de Lamé ==
En este caso consideramos que el tiempo <math>t</math> en la ecuación del desplazamiento ondulatorio es distinto de cero <math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec j</math>
por tanto, la Tensión <math>\sigma</math> tendrá que volver a definirse, teniendo en cuenta esta vez, que el valor que adquiere <math>\epsilon</math> aplicando el nuevo criterio de tiempo será el siguiente:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\ \begin{pmatrix}0&0&0\\0&\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}·y-v·t)&0\\0&0&0\end{pmatrix}</math>
, <math>\epsilon=\frac{\bigtriangledown\vec{u}\ +\bigtriangledown\vec{u}}{2}=\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

La Tensión será, por tanto:

<math>\sigma=λ\cdot\bigtriangledown \cdot \vec{u} \cdot I + 2µ\epsilon</math><math>\ = λ \cdot \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t) \cdot I + 2µ\ \frac{\pi}{9}·cos( \ \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j \otimes \vec j</math>

<math>\sigma=\begin{pmatrix} \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ &0&0\\0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ)&0\\0&0& \frac{\pi}{9}cos( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdotλ \end{pmatrix}</math>

Para obtener el valor de la velocidad de propagación, primero obtendremos los parámetros de la ecuación de la elasticidad lineal que rige el campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa y causa los desplazamientos observados.
Dicha formula se define de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

Se procede pues, a calcular ambos términos de la ecuación, <math> \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math>, y posteriormente, igualar la ecuación a cero como ha sido indicado <math>(\vec{F} \ =\ \vec{0})</math>.

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma =\begin{pmatrix}0 \\ -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \\0 \\ \end{pmatrix}</math>, <math>\ \ \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j</math>

sustituyendo en la expresión se obtiene:

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec j + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Por último, operando la ecuación se obtiene fácilmente el valor (y dirección) de la velocidad de propagación.

<math> v = \sqrt{\frac{\pi}{9} \cdot ( λ + 2µ)} \ \vec j</math>

===Velocidad de propagación siendo la dirección de desplazamiento transversal===
Si la onda de desplazamientos fuera transversal (tomando una amplitud <math>a= \frac{1}{3}\vec i </math>) , la onda de desplazamientos adoptaría la siguiente expresión
<math>\vec{u} = \frac{1}{3}\cdot \sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\vec i</math>

la velocidad de propagación se calculará de la siguiente manera:

<math>\vec{F} = \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>

<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}= -\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i</math>

Mientras que el termino <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> sigue siendo el mismo,

<math>\bigtriangledown \cdot \sigma = -\frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

sustituyendo e igualando <math>\vec{F} =\ \vec 0</math> ,

<math>\ \vec 0=-\frac{v^2}{3}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t) \ \vec i + \frac{\pi}{27}\cdot\sin( \frac{\pi}{3}y-v·t)\cdot( λ + 2µ) \ \vec j</math>

Igualando ambas expresiones se llega a una igualdad vectorial que solo tendía sentido si el valor de la velocidad de propagación v fuera nulo <math> \ \vec v= \ \vec 0</math>, quedando demostrado por tanto que la velocidad de propagación <math> \ v</math> difiere según el sentido de propagación de la onda.

==Calculo del módulo de desplazamiento longitudinal ==
La fuerza que se aplica sobre la placa genera unos desplazamientos ondulatorios siguiendo la expresión de la forma <math>\vec{u} (x,y,t)=\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}-vt)\vec{j} </math> correspondiendose asi con una onda longitudinal. Como se observa, la dirección de propagacioón de la onda corresponde con la dirección de la amplitud <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>. Por ello, los deslpazamientos producidos en la placa seran unicamente en la dirección de propagación de la onda.

Para graficar el resultado mediante MATLAB, se ha empleado como velocidad de propagación la velocidad obtenida en el apartado 11 con los parametros de lame correspondientes al apartado 8.
{{matlab|codigo=
clear;
clc;
% Definir variables
%Definicion del punto de cálculo
x = 1/2;
y=1;
%Velocidad de propagación
v =sqrt(pi/3);
%Intervalo de tiempo para analizar
t=0:0.1:10;

% Calculo del módulo del vector
modulo_vector = abs((1/3) * sin((pi/3)*y - v*t));

% Graficación del resultado
axis equal
plot(t, modulo_vector, 'LineWidth', 2);
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Módulo');
title('Módulo de desplazamiento');
grid on;
}}
[[Archivo:RepresentacionF.png|683px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica de la función del modulo de desplazamientos en la dirección longitudinal ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]