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Modelos de competencia A10

2016-05-02T16:00:48Z

Jaime: /* Neutralismo */

{{ TrabajoED | Modelos de competencia A10 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Enrique Crespo Ferrer, Miguel Domínguez Trufero, Pablo Román Vegue Sánchez }}

== Modelos de competencia ==

Se consideran dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.
El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

[[Archivo:Programa1.png|marco|centro|Programa 1]]

=== Parasitismo ===

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

[[Archivo:Parasitismoo.png|marco|centro|Gráfica 1]]

Usaremos un intervalo de tiempo 0-150 observando como la función es cíclica. La especie 1 parte de 2 individuos, mientras que la especie 2 lo hace cerca de 10. Ambas tienen un crecimiento similar de crecimiento y decrecimiento pero en la especie 2 no es tan pronunciado como en la 1.

Como bien vimos al principio, el método Euler es el que peor aproximación nos da, y es como tal y como podemos ver en las gráficas. Como modelo de competencia, podemos afirmar que se trata de PARASITISMO. Para este caso, es la especie 1 quien depende de la evolución de la especie 2 puesto que su evolución(creciente y decreciente) perjudica claramente a la segunda especie.

En cambio la especie 2 crece hasta alcanzar su máximo en torno a los 25 individuos en un tiempo aproximado de 2-5 años, momento en el que se produce un brusco descenso que llega casi hasta la desaparición del a población, repitiendo asi el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero sin llegar a la desaparición total. En ninguno caso se conseguirá la estabilidad de la especie, ya que su proceso es un proceso cíclico en la que ambas crecen y decrecen.

Este proceso evolutivo se basa en un crecimiento conjunto de ambas especies hasta que llegan a los 25 individuos, punto en el cual la especie 2 comienza a descender su crecimiento, pero no en el caso de la 1, sino que seguirá creciendo hasta alcanzar los 40 individuos. Por eso podemos decir que la especie 2 afecta al crecimiento de la 1.

=== Neutralismo ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

[[Archivo:Neutralismo.png|marco|centro|Gráfica 2]]

El proceso evolutivo de dichas especies es un proceso que sigue un modelo logarítmico.

En este caso las poblaciones iniciales son 2 para la especie 1 y 7 para la especie 2, ambas crecen (especie 1) o decrecen (especie 2) hasta un punto donde empiezan a equilibrarse, siendo máximo en 4 para la especie 1 y mínimo en 2.5 para la especie 2 donde se mantienen constante. A diferencia del caso anterior el método Euler y Heun son muy similares por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

Como modelo de competencia para este caso es NEUTRALISMO, ya que ambas especies realizan un proceso evolutivo distinto y siguen su curso hasta llegar a un tiempo aproximado de t=20 donde ambas tienden a estabilizarse y frenar su evolución. Para este caso se ha elegido neutralismo ya que los valores c1 y c2 son cero al igual que el termino xy en ambas especies, indicando así que no existe ningún tipo de interacción entre especies.

=== Simbiosis o cooperación ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Simbiosis.png|marco|centro|Gráfica 3]]

La población inicial para dichas especies es de 2 para la especie 1 y algo superior, 7 para la especie 2. La primera crece durante todo intervalo de tiempo (0,20), en cambio la segunda especie experimenta un descenso de su población para estabilizarse en torno a un tiempo t=10 cuyo número de individuos se mantiene constante a lo largo del tiempo en 3.5, donde intenta remontar su crecimiento pero muy lentamente.

El modelo de competencia para este caso es SIMBIOSIS, se observa que ambas especies se ven favorecidas, puesto la especie 1 cambia el decrecimiento de la 2, convirtiéndolo en crecimiento. La elección de este modelo puede explicarse de forma que el término “xy” de la ecuación es positivo, lo que indica que la interacción entre especies existe y además es favorable para ambas.

=== Competición ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Competicion.png|marco|centro|Gráfica 4]]

La especie 1 parte de 2 mientras que la especie 2 lo hace en 7, la primera crece exponencialmente hasta un punto en t=10 donde comienza a estabilizarse, En cambio la segunda especie crece hasta que esta se encuentra con la primera donde es eliminada por la primera especie y así la segunda especie desciende comenzando a estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia es COMPETICIÓN. La elección de este modelo se puede explicar mediante la ecuación diferencial donde el término “xy” es negativo en ambas especies, los que nos hace indicar que la interacción entre ambas es desfavorable y así es, ya que la segunda especia es vencida por la primera y su crecimiento desciende tras ello que tendera a desaparecer en un tiempo mayor al nuestro.

=== Amensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

[[Archivo:Amensalismo.png|marco|centro|Gráfica 5]]

En este caso podemos decir que ambas especies compiten la una con la otra por conseguir los recursos. La especie 1(con población inicial 2) y la especie 2( con población inicial 7) evolucionan, la 1 crece, mientras que la 2 decrece hasta llegar al punto de interacción de ambas donde la segunda especie es eliminada. Tras ello la especie 1 seguirá su crecimiento hasta llegar al máximo donde tiende a estabilizarse.

El modelo de competencia es AMENSALISMO, es decir, que hay una especie (inhibidora) produce transtornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneﬁcio (ni tampoco perjuicio).

=== Comensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Comensalismoo.png|marco|centro|Gráfica 6]]

Ambas especies parten de una población inicial de 2 y 7 respectivamente, creciendo hasta buscar el máximo donde estabilizarse. En el caso de la especie 1 lo hace en un tiempo t=8 con una población de 25, mientras que en la segunda especie lo alcanza en 60 individuos.

En este caso se trata de COMENSALISMO, ambas especies crecen favorecidas una por la otra sin provocar ni perjuicio ni beneficio. El crecimiento de ambos es conjunto, ninguna desciende debida a la acción de la otra y en ningún caso llegan a extinguirse.

== Gráficas X-Y ==

[[Archivo:Programa2.png|marco|centro|Programa 2]]

[[Archivo:Ultapart.png|marco|centro|Gráfica 7]]

Para el primer caso (primera grafica) podemos observar que se trata de un proceso evolutivo estable donde ambas especies siempre van a estar en equilibrio. En el segundo caso, la gráfica nos indica que no está en equilibrio, porque como bien hemos dicho antes una afecta negativamente a la otra. En el tercer caso ocurre lo mismo que en el anterior, una especie afecta sobre la otra pero en este caso de manera positiva. En el resto de graficas vemos como ocurre lo mismo ambas especies se interfieren provocando efectos(positivos o negativos) en la otra, a veces incluso con la desaparición de la otra especie, dando lugar a un sistema desequilibrado.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Modelos de competencia A10

2016-05-02T16:00:14Z

Jaime: /* Gráficas X-Y */

Modelos de competencia A10

2016-05-02T15:57:54Z

Jaime:

Modelos de competencia A10

2016-05-02T15:56:54Z

Jaime: /* Modelos de competencia */

Modelos de competencia A10

2016-05-02T15:56:30Z

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Modelos de competencia A10

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Jaime: /* Gráficas X-Y */

Modelos de competencia A10

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Jaime: /* Gráficas X-Y */

Modelos de competencia A10

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Jaime: /* Gráficas X-Y */

Modelos de competencia A10

2016-05-02T15:43:32Z

Jaime: /* Modelos de competencia */

Modelos de competencia A10

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Jaime: /* Parasitismo */

Modelos de competencia A10

2016-05-02T15:41:50Z

Jaime: /* Parasitismo */

Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:30:58Z

Jaime:

Modelos de competencia A10

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Jaime:

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2016-05-01T19:27:39Z

Jaime:

Archivo:Competicion.png

2016-05-01T19:27:09Z

Jaime:

Archivo:Comensalismoo.png

2016-05-01T19:26:41Z

Jaime:

Archivo:Amensalismo.png

2016-05-01T19:26:07Z

Jaime:

Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:23:02Z

Jaime: /* Parasitismo */

Archivo:Parasitismoo.png

2016-05-01T19:22:35Z

Jaime:

Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:20:28Z

Jaime: /* Gráficas X-Y */

Archivo:Ultapart.png

2016-05-01T19:20:04Z

Jaime:

Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:16:13Z

Jaime: /* Gráficas X-Y */

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Jaime:

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Jaime:

Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:14:55Z

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Modelos de competencia A10

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Modelos de competencia A10

2016-05-01T19:11:36Z

Jaime: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelos de competencia A10 | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2015-16 | Enrique Crespo Ferrer,...»

Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:27:56Z

Jaime: Modelos de competencia (10A)

{{ TrabajoED | Modelos de competencia (10A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Enrique Crespo Ferrer, Miguel Domínguez Trufero, Pablo Román }}

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2016-04-29T17:26:41Z

Jaime:

{{ Trabajo | Modelos de competencia. Grupo 10-a | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Enrique Crespo Ferrer, Miguel Domínguez Trufero, Pablo Román }}

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Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:25:18Z

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{{ TrabajoED | Modelos de competencia. Grupo 10-a | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] | Enrique Crespo Ferrer, Miguel Domínguez Trufero, Pablo Román }}

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Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:21:29Z

Jaime:

{{ TrabajoED | Modelos de competencia. Grupo 10-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[Modelos de competencia 10-A|Curso 2015-16]] |

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel

Román, Pablo

}}

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[[Categoría:ED15/16]]
[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:20:58Z

Jaime:

{{ TrabajoED | Modelos de competencia. Grupo 10-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] |

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Domínguez Trufero, Miguel

Román, Pablo

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Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:19:43Z

Jaime:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-c | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] |

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel

Román, Pablo

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[[Categoría:Trabajos 2015-16]]

Categoría discusión:ED15/16

2016-04-29T17:16:50Z

Jaime: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelos de competencia - A10 | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2015-16 | Crespo Ferrer, Enr...»

{{ TrabajoED | Modelos de competencia - A10 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED15/16|Curso 2015-16]] |
Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel

Román, Pablo

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Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-14T15:28:23Z

Jaime: Página blanqueada

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-14T15:25:20Z

Jaime:

{{matlab|codigo=

% Calculamos numéricamente los valores de P_cr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga
%(esto está almacenado en la primera columna de la matriz A)
clear all; clf
a=0;L=9;
ya=0;yL=0;
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l=sqrt(pi.*R.^2); %lado del cuadrado (resultado de igualar masas)
for i=1:length(l)
A(i,:)=eig((1/12)*1.2*l(i)^4*L.*K); %momento inercia prisma rectangular
end
hold on
Pcr=A(:,1);
plot(l,Pcr,'-')
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga critica (kN)')
hold off
}}

{{matlab|codigo=

clear all clf

xa=0;xb=9;
ya=0;yb=0;
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p1=1.2;
N=20; h=(xb-xa)/N;
x=xa:h:xb;
K=(1/h^(2))*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
%Definimos los parámetros a b y c
a0=0.13;
af=0.5;
a=linspace(a0,af,N+1);
%Es un bucle doble anidado.
for j=1:length(a)
b=((-4/a(j))*sin(a(j)*(L/2))+sqrt((16/(a(j)^2))*(sin(a(j)*L/2))^2)-4*L*(((1/(2*a(j)))*sin(a(j)*L))-31/(pi*p1)+L/2));
for k=1:length(x)
R(j,k)=cos(a(j)*(x(k)-L/2))+b;
end
end
for i=1:length(R)
Rsm(i)=min(R(i,:));
end
for i=1:length(R)
A(i,:)=eig(0.25*pi*1.2*Rsm(i).^4.*K); %Los autovalores
end
p=A(:,1); %De aquí sacamos que la columna con menor P es la número 1 (a0) y la de mayor la número N+1 (af)
figure (1) %Dibujamos la columna mas estrecha
plot(x,R(1,:),'-') %En este caso a es cte, por lo que la sección es como la resuelta en el 2 circular y sin cambio de radio
grid on
title('Columna con menor carga crítica (admisible)')
xlabel('x (m)'); ylabel('Radio de la columna (m)')
figure (2)
plot(x,R(N+1,:),'-')
title('Columna cerca de que mayor carga crítica tiene')
xlabel('x (m)'); ylabel('Radio de la columna (m)')
grid on
figure (3)
plot(a,p,'x')
title('Evolución de la carga crítica con el valor de a')
xlabel('a'); ylabel('P_cr')
grid on
R2=0.955859; % radio de la columna constante si su masa es 31 kg

for k=1:length(p)
g(k)=(p(k)-(pi^3*p1*R2^4)/(4*L^2))*100/(pi^3*p1*R2^4)/(4*L^2);
%Calculamos así la ganancia (o pérdida) en porcentaje de Pcrit para cada valor de R0 respecto a la columna de seccion circular constante (R0=1)
end
figure (4) %Dibujamos el cambio en porcentaje de Pcrit para cada valor de a respecto a la columna de seccion circular constante
plot(a,g,'.-')
grid on
title('Ganancia en porcentaje de Pcrit respecto a la columna circular de seccion constante')
xlabel('R0'); ylabel('Ganancia en porcentaje de Pcrit')
title('Columna con R=0.9558 (31 kg r=cte)')
xlabel('a'); ylabel('Radio de la columna (m)')
figure(5) %como cambia el radio en funcion de los valores de a y x
[xx,aa]=meshgrid(x,a);
surf(x,a,R)

}}

{{matlab|codigo=

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%apartado 8
a=0;b=9;
h=0.001;
N=(b-a)/h;
x=a:h:b;
E=1;
I=1/4*1.2*pi*0.8^4;
P=0.8846678;
%introducimos la función -x/EI
f=-x./(E*I);
%indica numero de sumando que tomamos de la serie de fourier
G=[3,5,10,40];
Q=0;
hold on
for i=1:4
for k=1:G(i)

%introducimos los autovalores
muk=(k*pi/b)^2;
%autofunciones
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%calculmo los coeficientes de fourier
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end
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ylabel('x (m)'); xlabel('y(x)')
end
hold off
}}

{{matlab|codigo=

}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-14T15:24:55Z

Jaime:

{{matlab|codigo=

% Calculamos numéricamente los valores de P_cr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga (esto está almacenado en la primera columna de la matriz A)
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figure (1) %Dibujamos la columna mas estrecha
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figure (2)
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title('Columna cerca de que mayor carga crítica tiene')
xlabel('x (m)'); ylabel('Radio de la columna (m)')
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figure (3)
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pk=sin(k*pi*x/b);
%calculmo los coeficientes de fourier
ak=trapz(x,f.*pk)/trapz(x,pk.^2);
%calculo de la aproximación de fourier
Q=Q+(ak/(-muk+P/E*I))*pk;
end
plot(Q,x)
ylabel('x (m)'); xlabel('y(x)')
end
hold off
}}

{{matlab|codigo=

}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-14T14:38:36Z

Jaime:

{{matlab|codigo=

clear all
L=9;
R0=1;
RL=5;
h=0.01;
N=(RL-R0)/h;
R=R0:h:RL;
P=zeros(1,N+1);
for k=1:(N+1)
P(1,k)=(pi^3*1.2*R(1,k).^4)/2*L;
end
plot(R,P)
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga crítica (KN)');
}}

{{matlab|codigo=

% Calculamos numéricamente los valores de P_cr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga
% (esto está almacenado en la primera columna de la matriz A)
clear all clf
a=0;
L=9;
ya=0;
yL=0;
h=0.1;
N=(L-a)/h;
x=a:h:L;
K=(1/h^(2))*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
R=linspace(1,5,N+1);
for i=1:length(R)
A(i,:)=eig(0.25*pi*1.2*R(i)^4.*K);
end
hold on
Pcr=A(:,1);
L2=9; p2=1.2;
R2=1:0.1:5;
P2=(pi^3*p2*R2.^4)/(4*L2.^2);
plot(R2,P2,'g')
plot(R,Pcr,'-')
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga critica (kN)')
hold off
}}

{{matlab|codigo=

}}

{{matlab|codigo=

}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-14T14:38:11Z

Jaime:

{{matlab|codigo=

clear all
L=9;
R0=1;
RL=5;
h=0.01;
N=(RL-R0)/h;
R=R0:h:RL;
P=zeros(1,N+1);
for k=1:(N+1)
P(1,k)=(pi^3*1.2*R(1,k).^4)/2*L;
end
plot(R,P)
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga crítica (KN)');
}}

{{matlab|codigo=

% Calculamos numéricamente los valores de P_cr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga (esto está almacenado en la primera columna de la matriz A)
clear all clf
a=0;
L=9;
ya=0;
yL=0;
h=0.1;
N=(L-a)/h;
x=a:h:L;
K=(1/h^(2))*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
R=linspace(1,5,N+1);
for i=1:length(R)
A(i,:)=eig(0.25*pi*1.2*R(i)^4.*K);
end
hold on
Pcr=A(:,1);
L2=9; p2=1.2;
R2=1:0.1:5;
P2=(pi^3*p2*R2.^4)/(4*L2.^2);
plot(R2,P2,'g')
plot(R,Pcr,'-')
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga critica (kN)')
hold off
}}

{{matlab|codigo=

}}

{{matlab|codigo=

}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-13T18:45:09Z

Jaime: Página blanqueada

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-13T18:35:50Z

Jaime:

{{matlab|codigo=
% Apartado 3
L=9; p=1.2;
R=1:0.1:5;
Pcr=(pi^3*p*R.^4)/(2*L);
plot(R,Pcr)
}}

{{matlab|codigo=
% Se calcula numéricamente los valores de Pcr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga
clear, clf;
x0=0;
L=9;
h=0.1;
N=(L-x0)/h;
x=x0:h:L;
K=(1/h^(2))*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
R=linspace(1,5,N+1);
for i=1:length(R)
A(i,:)=eig(0.5*pi*1.2*R(i)^4*L.*K);
end
hold on
Pcr=A(:,1);
L2=9; p2=1.2;
R2=1:0.1:5;
P2=(pi^3*p2*R2.^4)/(2*L2);
figure(1)
plot(R2,P2,'g')
figure(2)
plot(R,Pcr,'-')
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga critica (kN)')
hold off
}}

{{matlab|codigo=
% Apartado 8
a=0;b=9;
h=0.001;
N=(b-a)/h;
x=a:h:b
E=1;
I=1/4*1.2*pi*0.8^4;
P=0.8846678;
%introducimos la funciÃ³n -x/EI
f=-x./(E*I);
%indica numero de sumando que tomamos de la serie de fourier
G=[3,5,10,40];
Q=0;
hold on
for i=1:4
for k=1:G(i)

%introucimos los autovalores
muk=k*pi;
%autfunciones
pk=sin(k*pi*x);
%calculmo los coef de fourier
ak=trapz(x,f.*pk)/trapz(x,pk.^2);
%calculo de la aproximaciÃ³n de fourier
Q=Q+(ak/(muk+P/E*I))*pk;
end
plot(Q,x)
end
hold off
}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-13T18:33:45Z

Jaime:

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
L=9; p=1.2;
R=1:0.1:5;
Pcr=(pi^3*p*R.^4)/(2*L);
plot(R,Pcr)
}}

{{matlab|codigo=
% Calculamos numÃ©ricamente los valores de P_cr. El primer autovalor es el que se corresponde con dicha carga (esto estÃ¡ almacenado en la primera columna de la matriz A)
clear, clf;
x0=0;
L=9;
h=0.1;
N=(L-x0)/h;
x=x0:h:L;
K=(1/h^(2))*(2*diag(ones(N-1,1))-diag(ones(N-2,1),1)-diag(ones(N-2,1),-1));
R=linspace(1,5,N+1);
for i=1:length(R)
A(i,:)=eig(0.5*pi*1.2*R(i)^4*L.*K);
end
hold on
Pcr=A(:,1);
L2=9; p2=1.2;
R2=1:0.1:5;
P2=(pi^3*p2*R2.^4)/(2*L2);
figure(1)
plot(R2,P2,'g')
figure(2)
plot(R,Pcr,'-')
xlabel('Radio (m)');
ylabel('Carga critica (kN)')
hold off
}}

{{matlab|codigo=
%Apartado 8
a=0;b=9;
h=0.001;
N=(b-a)/h;
x=a:h:b
E=1;
I=1/4*1.2*pi*0.8^4;
P=0.8846678;
%introducimos la funciÃ³n -x/EI
f=-x./(E*I);
%indica numero de sumando que tomamos de la serie de fourier
G=[3,5,10,40];
Q=0;
hold on
for i=1:4
for k=1:G(i)

%introucimos los autovalores
muk=k*pi;
%autfunciones
pk=sin(k*pi*x);
%calculmo los coef de fourier
ak=trapz(x,f.*pk)/trapz(x,pk.^2);
%calculo de la aproximaciÃ³n de fourier
Q=Q+(ak/(muk+P/E*I))*pk;
end
plot(Q,x)
end
hold off
}}

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-08T09:50:08Z

Jaime: Página blanqueada

Carga crítica en una columna (G 7A)

2015-05-07T10:06:00Z

Jaime: Página creada con «{{ TrabajoED | Carga crítica en una columna (G 7A) | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Bautista Men...»

{{ TrabajoED | Carga crítica en una columna (G 7A) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Bautista Mendo, Jorge (991)

Casanova Lozano, Javier (1110)

Chueca Rincón, Jaime (1019)

Crespo Ferrer, Enrique (1015)

Domínguez Trufero, Miguel (995) }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Logística con umbral A7

2015-03-13T10:17:10Z

Jaime: /* Parasitismo */

{{ TrabajoED | Logística con umbral A-7 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Bautista Mendo, Jorge

Casanova Lozano, Javier

Chueca Rincón, Jaime

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel }}

== Problema de valor inicial ==

Consideramos el problema de valor inicial:

[[Archivo:Pvi.png]]

=== Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4 ===

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=60; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:'); %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0; %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0; %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0; %Heun
for i=1:N
%Método Runge-Kutta:
K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Método Euler:
z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
%Método de Heun:
Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')
}}

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

[[Archivo:Paso1.jpg]]

Paso 0.1

[[Archivo:0,1.jpg]]

Paso 0.01

[[Archivo:Paso0,01.jpg]]

=== Heun ===

En este apartado resolvemos el PVI con h=0.1 para los datos I = [0, 100], r = 0.04, M1 = 30 y M2 = 100. Se aplicará para los casos de y0=120 e y0=20.

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=120; y02=20; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=0.1
h=0.1; %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
%Con y0=120
K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);
%Con y0=20
Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')
}}

[[Archivo:Apar2.jpg]]

Se observa que cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse como ocurre en el caso y0=120, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá hasta su extinción (caso y0=20).

== Comparación entre especies ==

En es esta segunda parte del trabajo, consideramos dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.

El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

{{matlab|codigo=
clear all
%Tiempo inicial y final:
t0=0; tN=input('Introduce valor tiempo final:');
%Tamaño de paso y discretizacíon
h=0.1; N=(tN-t0)/h;
%Vector de tiempos
t=t0:h:tN;
%Vector y condicion inicial en cada método
x=zeros(1,N+1);x(1)=2;
y=zeros(1,N+1);y(1)=7;
p=zeros(1,N+1);p(1)=2;
q=zeros(1,N+1);q(1)=7;
%Introducción de los coeficientes constantes de la ecuación
a1=input('Introduce valor coeficiente a1:');
a2=input('Introduce valor coeficiente a2:');
b1=input('Introduce valor coeficiente b1:');
b2=input('Introduce valor coeficiente b2:');
c1=input('Introduce valor coeficiente c1:');
c2=input('Introduce valor coeficiente c2:');

for i=1:N
%Método de Euler:
p(i+1)=p(i)+h*(a1*p(i)-b1*(p(i)^2)-c1*p(i)*q(i));
q(i+1)=q(i)+h*(a2*q(i)-b2*(q(i)^2)-c2*p(i)*q(i));
%Metodo de Heun:
k1x=a1*x(i)-b1*(x(i)^2)-c1*x(i)*y(i);
k1y=a2*y(i)-b2*(y(i)^2)-c2*x(i)*y(i);
k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*((x(i)+k1x*h)^2)-c1*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*((y(i)+k1y*h)^2)-c2*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Gráficas de cada método con cada uno de los coeficientes:
figure(1)
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,x,'linewidth',2)
plot(t,y,'r','linewidth',2)
legend('Especie 1-Heun','Especie 2-Heun','location','best')
hold off
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,p,'g','linewidth',2)
plot(t,q,'k','linewidth',2)
legend('Especie 1-Euler','Especie 2-Euler','location','best')
hold off
%Graficas entre especies X-Y
%plot(x,y,'g')
}}

=== Parasitismo ===

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

[[Archivo:Grafff1.jpg]]

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la casi desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

=== Neutralismo ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

[[Archivo:Grafff2.jpg]]

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

=== Simbiosis o cooperación ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff3.jpg]]

La especie 1 comienza en 2 y crece progresivamente en todo el intervalo de tiempo (0,20). En cuanto a la especie 2 el número de individuos iniciales es mayor que la especie 1 (7) y experimenta un descenso poblacional hasta que logra estabilizarse en torno a un tiempo t=10 con un número de individuos que se mantendrá constante a lo largo del tiempo con un número de individuos de 3,5, aunque podemos observar que intenta remontar el crecimiento de manera muy lenta.

El modelo de competencia en este caso es SIMBIOSIS, se observa que las dos especies se ven favorecidas, cuando la especie 1 ayuda a la segunda a frenar su decrecimiento y lo transforma en crecimiento aunque de manera muy lenta. La elección de este modelo se basa en que el término “xy” de la ecuación que relaciona ambas especies es positivo, lo cual indica que existe interacción entre ambas de manera favorable.

Al principio, se ve un decrecimiento por parte de la segunda especie, el cual se ve frenado por la primera sin llegar a desaparecer ninguna de las dos. En el caso de la segunda especie, y gracias a la primera, logra una estabilidad que encontrará a partir de un tiempo t = 10.

=== Competición ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff4.png]]

En cuanto a la especie 1 con comienzo en 2 crece exponencialmente hasta t=10 donde se frena su crecimiento hasta estabilizarse de manera constante con el tiempo. Se observa que la especie 2 (con inicio en 7) crece hasta encontrarse con la primera especie donde la 1 elimina a la 2 y por ello la segunda especie comienza a descender y estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia elegido en este caso es la COMPETICIÓN, y se observa que para t = 2 que la especie 1 alcanza el número de individuos suficientes para poder eliminar, o bien frenar el crecimiento de la especie 2. La elección de este modelo se basa en que el término “xy “ en ambas especies es negativo, lo cual indica que hay interacción entre ambas de manera perjudicial para aquella especie más débil (en nuestro caso la especie2).

En este caso la segunda especie tiende a decrecer hasta desaparecer, pero en nuestro intervalo de tiempo dado no es suficiente para ver desaparecer la especie 2 completamente. La especie 1 tiende a estabilizarse para t = 10.

=== Amensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

[[Archivo:Grafff5.png]]

Podemos ver en las graficas como las especies compiten por los recursos, alimentos o espacio vital. La primera especie, a pesar de empezar con una población inicial que la segunda logra crecer hasta conseguir hacer desaparecer a la segunda especie, que tiene su máximo absoluto en el tiempo inicial.

La primera especie lograra llegar hasta la población límite donde que le permite el ecosistema donde se estabilizara mientras que la segunda perecerá a consecuencia de su enfrentamiento con la primera.

Tenemos un ecosistema donde la primera especie lograra tener una población estable en el tiempo llegando a alcanzar la población límite.

=== Comensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff6.png]]

Ambas especies comienzan con un número de individuos predeterminado (2 y 7) y a partir de ahí las dos crecen de manera progresiva hasta alcanzar sus máximos donde ambas se mantendrán constante. En este caso el método de Euler nos da una buena aproximación y no nos produce demasiado error como podría ser esperado.
Podríamos afirmar que nos encontramos ante un caso de COMENSALISMO, ya que el crecimiento de una se ve favorecido por la otra que no le provoca ni perjuicio ni beneficio. Como ya hemos dicho, ambas especies crecen hasta alcanzar un máximo a partir del cual se estabilizan. Ocurre para un tiempo cercano a 8, en el caso de la especie 1 con una población en torno a 25 individuos y para la especie 2 de 60.

El crecimiento de ambas es conjunto, una especie se favorece y crecen de manera sin afectar una a la otra de manera negativa y sin que ninguna se extinga.

=== Gráficas entre especies X-Y ===

En este apartado comparamos las graficas X-Y de las especies para los distintos caso.

[[Archivo:GRAFICASXY.png]]

Comprobando la estabilidad de las gráficas podemos observar como la primera es un proceso cíclico propio de un sistema inestable, en la segunda gráfica por ejemplo se observa el equilibrio entre las dos especies y su constancia en el tiempo mientras que en las demás vemos como se interfieren entre las especies hasta conseguir el equilibrio del ecosistema.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Logística con umbral A7

2015-03-13T09:26:35Z

Jaime: /* Comensalismo */

{{ TrabajoED | Logística con umbral A-7 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Bautista Mendo, Jorge

Casanova Lozano, Javier

Chueca Rincón, Jaime

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel }}

== Problema de valor inicial ==

Consideramos el problema de valor inicial:

[[Archivo:Pvi.png]]

=== Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4 ===

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=60; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:'); %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0; %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0; %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0; %Heun
for i=1:N
%Método Runge-Kutta:
K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Método Euler:
z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
%Método de Heun:
Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')
}}

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

[[Archivo:Paso1.jpg]]

Paso 0.1

[[Archivo:0,1.jpg]]

Paso 0.01

[[Archivo:Paso0,01.jpg]]

=== Heun ===

En este apartado resolvemos el PVI con h=0.1 para los datos I = [0, 100], r = 0.04, M1 = 30 y M2 = 100. Se aplicará para los casos de y0=120 e y0=20.

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=120; y02=20; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=0.1
h=0.1; %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
%Con y0=120
K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);
%Con y0=20
Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')
}}

[[Archivo:Apar2.jpg]]

Se observa que cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse como ocurre en el caso y0=120, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá hasta su extinción (caso y0=20).

== Comparación entre especies ==

En es esta segunda parte del trabajo, consideramos dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.

El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

{{matlab|codigo=
clear all
%Tiempo inicial y final:
t0=0; tN=input('Introduce valor tiempo final:');
%Tamaño de paso y discretizacíon
h=0.1; N=(tN-t0)/h;
%Vector de tiempos
t=t0:h:tN;
%Vector y condicion inicial en cada método
x=zeros(1,N+1);x(1)=2;
y=zeros(1,N+1);y(1)=7;
p=zeros(1,N+1);p(1)=2;
q=zeros(1,N+1);q(1)=7;
%Introducción de los coeficientes constantes de la ecuación
a1=input('Introduce valor coeficiente a1:');
a2=input('Introduce valor coeficiente a2:');
b1=input('Introduce valor coeficiente b1:');
b2=input('Introduce valor coeficiente b2:');
c1=input('Introduce valor coeficiente c1:');
c2=input('Introduce valor coeficiente c2:');

for i=1:N
%Método de Euler:
p(i+1)=p(i)+h*(a1*p(i)-b1*(p(i)^2)-c1*p(i)*q(i));
q(i+1)=q(i)+h*(a2*q(i)-b2*(q(i)^2)-c2*p(i)*q(i));
%Metodo de Heun:
k1x=a1*x(i)-b1*(x(i)^2)-c1*x(i)*y(i);
k1y=a2*y(i)-b2*(y(i)^2)-c2*x(i)*y(i);
k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*((x(i)+k1x*h)^2)-c1*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*((y(i)+k1y*h)^2)-c2*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Gráficas de cada método con cada uno de los coeficientes:
figure(1)
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,x,'linewidth',2)
plot(t,y,'r','linewidth',2)
legend('Especie 1-Heun','Especie 2-Heun','location','best')
hold off
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,p,'g','linewidth',2)
plot(t,q,'k','linewidth',2)
legend('Especie 1-Euler','Especie 2-Euler','location','best')
hold off
%Graficas entre especies X-Y
%plot(x,y,'g')
}}

=== Parasitismo ===

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

[[Archivo:Grafff1.jpg]]

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

=== Neutralismo ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

[[Archivo:Grafff2.jpg]]

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

=== Simbiosis o cooperación ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff3.jpg]]

La especie 1 comienza en 2 y crece progresivamente en todo el intervalo de tiempo (0,20). En cuanto a la especie 2 el número de individuos iniciales es mayor que la especie 1 (7) y experimenta un descenso poblacional hasta que logra estabilizarse en torno a un tiempo t=10 con un número de individuos que se mantendrá constante a lo largo del tiempo con un número de individuos de 3,5, aunque podemos observar que intenta remontar el crecimiento de manera muy lenta.

El modelo de competencia en este caso es SIMBIOSIS, se observa que las dos especies se ven favorecidas, cuando la especie 1 ayuda a la segunda a frenar su decrecimiento y lo transforma en crecimiento aunque de manera muy lenta. La elección de este modelo se basa en que el término “xy” de la ecuación que relaciona ambas especies es positivo, lo cual indica que existe interacción entre ambas de manera favorable.

Al principio, se ve un decrecimiento por parte de la segunda especie, el cual se ve frenado por la primera sin llegar a desaparecer ninguna de las dos. En el caso de la segunda especie, y gracias a la primera, logra una estabilidad que encontrará a partir de un tiempo t = 10.

=== Competición ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff4.png]]

En cuanto a la especie 1 con comienzo en 2 crece exponencialmente hasta t=10 donde se frena su crecimiento hasta estabilizarse de manera constante con el tiempo. Se observa que la especie 2 (con inicio en 7) crece hasta encontrarse con la primera especie donde la 1 elimina a la 2 y por ello la segunda especie comienza a descender y estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia elegido en este caso es la COMPETICIÓN, y se observa que para t = 2 que la especie 1 alcanza el número de individuos suficientes para poder eliminar, o bien frenar el crecimiento de la especie 2. La elección de este modelo se basa en que el término “xy “ en ambas especies es negativo, lo cual indica que hay interacción entre ambas de manera perjudicial para aquella especie más débil (en nuestro caso la especie2).

En este caso la segunda especie tiende a decrecer hasta desaparecer, pero en nuestro intervalo de tiempo dado no es suficiente para ver desaparecer la especie 2 completamente. La especie 1 tiende a estabilizarse para t = 10.

=== Amensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

[[Archivo:Grafff5.png]]

Podemos ver en las graficas como las especies compiten por los recursos, alimentos o espacio vital. La primera especie, a pesar de empezar con una población inicial que la segunda logra crecer hasta conseguir hacer desaparecer a la segunda especie, que tiene su máximo absoluto en el tiempo inicial.

La primera especie lograra llegar hasta la población límite donde que le permite el ecosistema donde se estabilizara mientras que la segunda perecerá a consecuencia de su enfrentamiento con la primera.

Tenemos un ecosistema donde la primera especie lograra tener una población estable en el tiempo llegando a alcanzar la población límite.

=== Comensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff6.png]]

Ambas especies comienzan con un número de individuos predeterminado (2 y 7) y a partir de ahí las dos crecen de manera progresiva hasta alcanzar sus máximos donde ambas se mantendrán constante. En este caso el método de Euler nos da una buena aproximación y no nos produce demasiado error como podría ser esperado.
Podríamos afirmar que nos encontramos ante un caso de COMENSALISMO, ya que el crecimiento de una se ve favorecido por la otra que no le provoca ni perjuicio ni beneficio. Como ya hemos dicho, ambas especies crecen hasta alcanzar un máximo a partir del cual se estabilizan. Ocurre para un tiempo cercano a 8, en el caso de la especie 1 con una población en torno a 25 individuos y para la especie 2 de 60.

El crecimiento de ambas es conjunto, una especie se favorece y crecen de manera sin afectar una a la otra de manera negativa y sin que ninguna se extinga.

=== Gráficas entre especies X-Y ===

En este apartado comparamos las graficas X-Y de las especies para los distintos caso.

[[Archivo:GRAFICASXY.png]]

Comprobando la estabilidad de las gráficas podemos observar como la primera es un proceso cíclico propio de un sistema inestable, en la segunda gráfica por ejemplo se observa el equilibrio entre las dos especies y su constancia en el tiempo mientras que en las demás vemos como se interfieren entre las especies hasta conseguir el equilibrio del ecosistema.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Logística con umbral A7

2015-03-06T22:23:40Z

Jaime: /* Comparación entre especies */

{{ TrabajoED | Logística con umbral A-7 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Bautista Mendo, Jorge

Casanova Lozano, Javier

Chueca Rincón, Jaime

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel }}

== Problema de valor inicial ==

Consideramos el problema de valor inicial:

[[Archivo:Pvi.png]]

=== Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4 ===

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=60; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:'); %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0; %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0; %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0; %Heun
for i=1:N
%Método Runge-Kutta:
K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Método Euler:
z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
%Método de Heun:
Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')
}}

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

[[Archivo:Paso1.jpg]]

Paso 0.1

[[Archivo:0,1.jpg]]

Paso 0.01

[[Archivo:Paso0,01.jpg]]

=== Heun ===

En este apartado resolvemos el PVI con h=0.1 para los datos I = [0, 100], r = 0.04, M1 = 30 y M2 = 100. Se aplicará para los casos de y0=120 e y0=20.

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=120; y02=20; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=0.1
h=0.1; %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
%Con y0=120
K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
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%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
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legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')
}}

[[Archivo:Apar2.jpg]]

Se observa que cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse como ocurre en el caso y0=120, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá hasta su extinción (caso y0=20).

== Comparación entre especies ==

En es esta segunda parte del trabajo, consideramos dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.

El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

{{matlab|codigo=
clear all
%Tiempo inicial y final:
t0=0; tN=input('Introduce valor tiempo final:');
%Tamaño de paso y discretizacíon
h=0.1; N=(tN-t0)/h;
%Vector de tiempos
t=t0:h:tN;
%Vector y condicion inicial en cada método
x=zeros(1,N+1);x(1)=2;
y=zeros(1,N+1);y(1)=7;
p=zeros(1,N+1);p(1)=2;
q=zeros(1,N+1);q(1)=7;
%Introducción de los coeficientes constantes de la ecuación
a1=input('Introduce valor coeficiente a1:');
a2=input('Introduce valor coeficiente a2:');
b1=input('Introduce valor coeficiente b1:');
b2=input('Introduce valor coeficiente b2:');
c1=input('Introduce valor coeficiente c1:');
c2=input('Introduce valor coeficiente c2:');

for i=1:N
%Método de Euler:
p(i+1)=p(i)+h*(a1*p(i)-b1*(p(i)^2)-c1*p(i)*q(i));
q(i+1)=q(i)+h*(a2*q(i)-b2*(q(i)^2)-c2*p(i)*q(i));
%Metodo de Heun:
k1x=a1*x(i)-b1*(x(i)^2)-c1*x(i)*y(i);
k1y=a2*y(i)-b2*(y(i)^2)-c2*x(i)*y(i);
k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*((x(i)+k1x*h)^2)-c1*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*((y(i)+k1y*h)^2)-c2*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Gráficas de cada método con cada uno de los coeficientes:
figure(1)
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,x,'linewidth',2)
plot(t,y,'r','linewidth',2)
legend('Especie 1-Heun','Especie 2-Heun','location','best')
hold off
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,p,'g','linewidth',2)
plot(t,q,'k','linewidth',2)
legend('Especie 1-Euler','Especie 2-Euler','location','best')
hold off
%Graficas entre especies X-Y
%plot(x,y,'g')
}}

=== Parasitismo ===

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

[[Archivo:Grafff1.jpg]]

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

=== Neutralismo ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

[[Archivo:Grafff2.jpg]]

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

=== Simbiosis o cooperación ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff3.jpg]]

La especie 1 comienza en 2 y crece progresivamente en todo el intervalo de tiempo (0,20). En cuanto a la especie 2 el número de individuos iniciales es mayor que la especie 1 (7) y experimenta un descenso poblacional hasta que logra estabilizarse en torno a un tiempo t=10 con un número de individuos que se mantendrá constante a lo largo del tiempo con un número de individuos de 3,5, aunque podemos observar que intenta remontar el crecimiento de manera muy lenta.

El modelo de competencia en este caso es SIMBIOSIS, se observa que las dos especies se ven favorecidas, cuando la especie 1 ayuda a la segunda a frenar su decrecimiento y lo transforma en crecimiento aunque de manera muy lenta. La elección de este modelo se basa en que el término “xy” de la ecuación que relaciona ambas especies es positivo, lo cual indica que existe interacción entre ambas de manera favorable.

Al principio, se ve un decrecimiento por parte de la segunda especie, el cual se ve frenado por la primera sin llegar a desaparecer ninguna de las dos. En el caso de la segunda especie, y gracias a la primera, logra una estabilidad que encontrará a partir de un tiempo t = 10.

=== Competición ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff4.png]]

En cuanto a la especie 1 con comienzo en 2 crece exponencialmente hasta t=10 donde se frena su crecimiento hasta estabilizarse de manera constante con el tiempo. Se observa que la especie 2 (con inicio en 7) crece hasta encontrarse con la primera especie donde la 1 elimina a la 2 y por ello la segunda especie comienza a descender y estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia elegido en este caso es la COMPETICIÓN, y se observa que para t = 2 que la especie 1 alcanza el número de individuos suficientes para poder eliminar, o bien frenar el crecimiento de la especie 2. La elección de este modelo se basa en que el término “xy “ en ambas especies es negativo, lo cual indica que hay interacción entre ambas de manera perjudicial para aquella especie más débil (en nuestro caso la especie2).

En este caso la segunda especie tiende a decrecer hasta desaparecer, pero en nuestro intervalo de tiempo dado no es suficiente para ver desaparecer la especie 2 completamente. La especie 1 tiende a estabilizarse para t = 10.

=== Amensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

[[Archivo:Grafff5.png]]

Podemos ver en las graficas como las especies compiten por los recursos, alimentos o espacio vital. La primera especie, a pesar de empezar con una población inicial que la segunda logra crecer hasta conseguir hacer desaparecer a la segunda especie, que tiene su máximo absoluto en el tiempo inicial.

La primera especie lograra llegar hasta la población límite donde que le permite el ecosistema donde se estabilizara mientras que la segunda perecerá a consecuencia de su enfrentamiento con la primera.

Tenemos un ecosistema donde la primera especie lograra tener una población estable en el tiempo llegando a alcanzar la población límite.

=== Comensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff6.png]]

Ambas especies comienzan con un número de individuos predeterminado (2 y 7) y a partir de ahí las dos crecen de manera progresiva hasta alcanzar sus máximos donde ambas se mantendrán constante. En este caso el método de Euler nos da una buena aproximación y no nos produce demasiado error como podría ser esperado.
Podríamos afirmar que nos encontramos ante un caso de COMENSALISMO, ya que el crecimiento de una no interviene en la otra por lo que no le provoca ni perjuicio ni beneficio. Como ya hemos dicho, ambas especies crecen hasta alcanzar un máximo a partir del cual se estabilizan. Ocurre para un tiempo cercano a 8, en el caso de la especie 1 con una población en torno a 25 individuos y para la especie 2 de 60.

El crecimiento de ambas es conjunto, las dos se favorecen y crecen de manera solidaria sin afectar a la otra de manera negativa y sin que ninguna se extinga.

=== Gráficas entre especies X-Y ===

En este apartado comparamos las graficas X-Y de las especies para los distintos caso.

[[Archivo:GRAFICASXY.png]]

Comprobando la estabilidad de las gráficas podemos observar como la primera es un proceso cíclico propio de un sistema inestable, en la segunda gráfica por ejemplo se observa el equilibrio entre las dos especies y su constancia en el tiempo mientras que en las demás vemos como se interfieren entre las especies hasta conseguir el equilibrio del ecosistema.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Logística con umbral A7

2015-03-06T22:22:30Z

Jaime: /* Gráficas ente especies X-Y */

{{ TrabajoED | Logística con umbral A-7 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Bautista Mendo, Jorge

Casanova Lozano, Javier

Chueca Rincón, Jaime

Crespo Ferrer, Enrique

Domínguez Trufero, Miguel }}

== Problema de valor inicial ==

Consideramos el problema de valor inicial:

[[Archivo:Pvi.png]]

=== Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4 ===

Resolveremos la ecuación por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso (h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 .

Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60, r=0.04, M2=100 (se refiere a la población máxima o limite que es capaz de mantenerse) y M1=30 (es la población mínima necesaria para poder llegar a desarrollarse), obtenemos:

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=60; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:'); %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0; %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0; %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0; %Heun
for i=1:N
%Método Runge-Kutta:
K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
%Método Euler:
z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
%Método de Heun:
Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')
}}

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor.

Paso 1

[[Archivo:Paso1.jpg]]

Paso 0.1

[[Archivo:0,1.jpg]]

Paso 0.01

[[Archivo:Paso0,01.jpg]]

=== Heun ===

En este apartado resolvemos el PVI con h=0.1 para los datos I = [0, 100], r = 0.04, M1 = 30 y M2 = 100. Se aplicará para los casos de y0=120 e y0=20.

{{matlab|codigo=
clear all
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100; %Tiempos inicial y final
y0=120; y02=20; %Condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=0.1
h=0.1; %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h; %Discretización
r=0.04;m1=30;m2=100; %Constantes de la ecuación
t=t0:h:tN; %Vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
%Con y0=120
K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);
%Con y0=20
Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las gráficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')
}}

[[Archivo:Apar2.jpg]]

Se observa que cuando la población inicial es superior al limite sustentable ésta deberá decrecer para sostenerse como ocurre en el caso y0=120, mientras que cuando la población inicial es menor de la población mínima para poder perpetuarse y desarrollarse esta decrecerá hasta su extinción (caso y0=20).

== Comparación entre especies ==

En es esta segunda parte del trabajo, consideramos dos especies distintas que ocupan el mismo ecosistema. Según diferentes tipos de modelización interpretamos la evolución de las dos especies en el tiempo. La explicación adyacente del trabajo nos describe 6 modelos basados en 3 sistemas de ecuaciones diferenciales.

El primero es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en el que la razón de crecimiento está relacionada con el número de interacciones. Sería el modelo Parasitismo en el que una especie vive a expensas de la otra (huésped) a la cual produce perjuicios tiene como ecuaciones x’=ax-bx*y; y’=cx-dx*y.

El segundo es otro sistema no lineal de la forma x’=ax-bx^2; y’=cy-dy^2 .Las dos especies se encuentran aisladas o no están interrelacionadas entres ellas aunque ocupen el mismo espacio, de forma que crecen de forma exponencial. Esto es debido a que el termino coef x*y es cero, eliminando la relación entre las especies. El modelo que corresponde con este sistema es el Neutralismo (gráfica 2).

El tercero modeliza lo que se denominan modelos de competencia. El sistema es x’=a1*x-b1*x^2-c1x*y; es y’=a2*y-b2*y^2-c2x*y que se basa en el anterior al que se le restan razones proporcionales a la cantidad de interacciones. Para analizar los diferentes modelos, basta con fijarnos en los símbolos de los coeficientes. La mejor forma de explicar esto es con ejemplos:

1. En la grafica tres tenemos el modelo de Simbiosis o cooperación. En él, ambas especies se favorecen en mayor o menor grado. Al analizar los coeficientes, c1 y c2 son positivos de forma que el crecimiento (la derivada) es mayor (tiene una mayor pendiente).

2. En cambio en la cuatro, como los coeficientes son negativos se produce el efecto contrario. El modelo será Competición (cada especie tiende a eliminar a la otra).

3. En las graficas 4 y 5, observamos que una de las dos especies crece de forma aislada o sin interaccionar con la otra, la cual si que depende de ella. Esto se debe a que c1 es 0 y c2 diferente de 0. Ahora tenemos dos modelos que cumplen esto:

a) Comensalismos, una especie (comensal) se alimenta a costa de la otra (huésped) a la cual no produce ni perjuicio ni beneficio (hormiga tiene ácaros comensales). C2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

b) Amensalismo, una especie (inhibidora) produce trastornos a otra (amensal) sin obtener ningún beneficio. ). Caso contrario, su coeficiente c2 es negativo, entonces el crecimiento de la segunda especie será negativo (derivada negativa).

{{matlab|codigo=
clear all
%Tiempo inicial y final:
t0=0; tN=input('Introduce valor tiempo final:');
%Tamaño de paso y discretizacíon
h=0.1; N=(tN-t0)/h;
%Vector de tiempos
t=t0:h:tN;
%Vector y condicion inicial en cada método
x=zeros(1,N+1);x(1)=2;
y=zeros(1,N+1);y(1)=7;
p=zeros(1,N+1);p(1)=2;
q=zeros(1,N+1);q(1)=7;
%Introducción de los coeficientes constantes de la ecuación
a1=input('Introduce valor coeficiente a1:');
a2=input('Introduce valor coeficiente a2:');
b1=input('Introduce valor coeficiente b1:');
b2=input('Introduce valor coeficiente b2:');
c1=input('Introduce valor coeficiente c1:');
c2=input('Introduce valor coeficiente c2:');

for i=1:N
%Método de Euler:
p(i+1)=p(i)+h*(a1*p(i)-b1*(p(i)^2)-c1*p(i)*q(i));
q(i+1)=q(i)+h*(a2*q(i)-b2*(q(i)^2)-c2*p(i)*q(i));
%Metodo de Heun:
k1x=a1*x(i)-b1*(x(i)^2)-c1*x(i)*y(i);
k1y=a2*y(i)-b2*(y(i)^2)-c2*x(i)*y(i);
k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*((x(i)+k1x*h)^2)-c1*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*((y(i)+k1y*h)^2)-c2*(x(i)+k1x*h)*(y(i)+k1y*h);
x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Gráficas de cada método con cada uno de los coeficientes:
figure(1)
subplot(2,1,1)
hold on
plot(t,x,'linewidth',2)
plot(t,y,'r','linewidth',2)
legend('Especie 1-Heun','Especie 2-Heun','location','best')
hold off
subplot(2,1,2)
hold on
plot(t,p,'g','linewidth',2)
plot(t,q,'k','linewidth',2)
legend('Especie 1-Euler','Especie 2-Euler','location','best')
hold off
%plot(x,y,'g')
}}

=== Parasitismo ===

a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].

[[Archivo:Grafff1.jpg]]

En el intervalo de tiempo 0-150 observamos una función cíclica. La especie 1 se inicia en un número de individuos igual a 2, experimentando unas variaciones crecientes y decrecientes a lo largo del tiempo. La especie 2 tiene un comportamiento similar aunque su crecimiento y decrecimiento no es tan pronunciado.

El método de Euler refleja de una forma menos precisa el comportamiento del ecosistema que el método de Heun.

En cuanto al modelo de competencia entre las dos especies se observa un PARASITISMO, siendo el huésped la especie 1. La especie 1 vive a expensas de la evolución de la especie 2, ya que su momento de crecimiento y decrecimiento (especie 1) es siempre posterior y perjudica a la segunda especie.

En cuanto a la especie 2, se observa que al principio la población crece en un periodo de tiempo entorno a 2-5 años donde alcanza su máximo en torno a 25 individuos. Después se produce un descenso brusco hasta la desaparición de la especie, volviéndose después a repetir el mismo proceso evolutivo. La especie 1 se comporta de manera similar pero su descenso no es tan brusco y no llega a la desaparición total. Ninguna de las dos especies logra estabilizarse ya que siguen un proceso cíclico, por lo que no es un sistema estable.

El crecimiento de la especie 2 afecta al crecimiento de la primera especie, que se guía por el proceso evolutivo de la segunda especie. Ambas especies crecen de forma similar hasta los 25 individuos, momento en el que la gráfica de la especie 2 comienza a descender mientras que la de la especie 1 continúa creciendo hasta los 40 individuos.

=== Neutralismo ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].

[[Archivo:Grafff2.jpg]]

En esta gráfica se tratan dos especies con una evolución que sigue un modelo logarítmico. La especia 1 comienza con una población de 2 y a partir de ahí crece progresivamente hasta que alcanza su máximo en 4 y se mantiene constante. En el caso de la segunda especie esta comienza en 7 y contraria a la otra especie desciende hasta llegar un mínimo en 2,5 donde se mantiene constante. En este caso el método de Euler es similar al método de Heun por lo que podemos afirmar que no existe ningún tipo de error con el método de Euler.

El modelo de competencia en nuestro caso será NEUTRALISMO, donde ambas especies siguen su curso de crecimiento y decrecimiento hasta llegar a t=20, momento en el que las especies se estabilizan deteniendo su evolución, alcanzando sus respectivos máximos y mínimos. La elección de este modelo de competencia se basa en que al c1 y c2 cero, el término xy es nulo en las dos especies, lo que indica que no hay interacción entre especies y cada una es independiente de la otra.

La especie 2 desciende en población pero no llega a desaparecer estabilizándose en 2,5, al contrario que la especie 1 que crece en el ecosistema hasta t=20 donde se estabiliza parando su crecimiento.

Las especies son independientes en sus respectivas evoluciones y no existe interacción entre ellas, es decir, el comportamiento de una especie no afecta a la otra.

=== Simbiosis o cooperación ===

a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

[[Archivo:Grafff3.jpg]]

La especie 1 comienza en 2 y crece progresivamente en todo el intervalo de tiempo (0,20). En cuanto a la especie 2 el número de individuos iniciales es mayor que la especie 1 (7) y experimenta un descenso poblacional hasta que logra estabilizarse en torno a un tiempo t=10 con un número de individuos que se mantendrá constante a lo largo del tiempo con un número de individuos de 3,5, aunque podemos observar que intenta remontar el crecimiento de manera muy lenta.

El modelo de competencia en este caso es SIMBIOSIS, se observa que las dos especies se ven favorecidas, cuando la especie 1 ayuda a la segunda a frenar su decrecimiento y lo transforma en crecimiento aunque de manera muy lenta. La elección de este modelo se basa en que el término “xy” de la ecuación que relaciona ambas especies es positivo, lo cual indica que existe interacción entre ambas de manera favorable.

Al principio, se ve un decrecimiento por parte de la segunda especie, el cual se ve frenado por la primera sin llegar a desaparecer ninguna de las dos. En el caso de la segunda especie, y gracias a la primera, logra una estabilidad que encontrará a partir de un tiempo t = 10.

=== Competición ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

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En cuanto a la especie 1 con comienzo en 2 crece exponencialmente hasta t=10 donde se frena su crecimiento hasta estabilizarse de manera constante con el tiempo. Se observa que la especie 2 (con inicio en 7) crece hasta encontrarse con la primera especie donde la 1 elimina a la 2 y por ello la segunda especie comienza a descender y estabilizarse en t=10.

El modelo de competencia elegido en este caso es la COMPETICIÓN, y se observa que para t = 2 que la especie 1 alcanza el número de individuos suficientes para poder eliminar, o bien frenar el crecimiento de la especie 2. La elección de este modelo se basa en que el término “xy “ en ambas especies es negativo, lo cual indica que hay interacción entre ambas de manera perjudicial para aquella especie más débil (en nuestro caso la especie2).

En este caso la segunda especie tiende a decrecer hasta desaparecer, pero en nuestro intervalo de tiempo dado no es suficiente para ver desaparecer la especie 2 completamente. La especie 1 tiende a estabilizarse para t = 10.

=== Amensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].

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Podemos ver en las graficas como las especies compiten por los recursos, alimentos o espacio vital. La primera especie, a pesar de empezar con una población inicial que la segunda logra crecer hasta conseguir hacer desaparecer a la segunda especie, que tiene su máximo absoluto en el tiempo inicial.

La primera especie lograra llegar hasta la población límite donde que le permite el ecosistema donde se estabilizara mientras que la segunda perecerá a consecuencia de su enfrentamiento con la primera.

Tenemos un ecosistema donde la primera especie lograra tener una población estable en el tiempo llegando a alcanzar la población límite.

=== Comensalismo ===

a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].

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Ambas especies comienzan con un número de individuos predeterminado (2 y 7) y a partir de ahí las dos crecen de manera progresiva hasta alcanzar sus máximos donde ambas se mantendrán constante. En este caso el método de Euler nos da una buena aproximación y no nos produce demasiado error como podría ser esperado.
Podríamos afirmar que nos encontramos ante un caso de COMENSALISMO, ya que el crecimiento de una no interviene en la otra por lo que no le provoca ni perjuicio ni beneficio. Como ya hemos dicho, ambas especies crecen hasta alcanzar un máximo a partir del cual se estabilizan. Ocurre para un tiempo cercano a 8, en el caso de la especie 1 con una población en torno a 25 individuos y para la especie 2 de 60.

El crecimiento de ambas es conjunto, las dos se favorecen y crecen de manera solidaria sin afectar a la otra de manera negativa y sin que ninguna se extinga.

=== Gráficas entre especies X-Y ===

En este apartado comparamos las graficas X-Y de las especies para los distintos caso.

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Comprobando la estabilidad de las gráficas podemos observar como la primera es un proceso cíclico propio de un sistema inestable, en la segunda gráfica por ejemplo se observa el equilibrio entre las dos especies y su constancia en el tiempo mientras que en las demás vemos como se interfieren entre las especies hasta conseguir el equilibrio del ecosistema.

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[[Categoría:ED14/15]]
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