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Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T23:26:34Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<center><math>\boxed{\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz}
</math></center>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho = \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})\Rightarrow\psi(\rho,\theta,Z)= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

Dando como resultado
<math>\psi: \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>
[[Archivo:Psi_lineasCorriente.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]
{{matlab|codigo=
% Definir dominio en coordenadas cilíndricas
r = linspace(1, 5, 50); % Coordenada radial (ρ) desde r=1 (obstáculo)
a = linspace(0, 2*pi, 50); % Coordenada angular (θ)

% Crear malla
[R, A] = meshgrid(r, a);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(A);
Y = R .* sin(A);

% 1. FUNCIÓN POTENCIAL φ (phi)
phi = (R + (1./R)) .* cos(A);
% 2. CAMPO DE VELOCIDADES u = ∇φ

% Componentes en coordenadas cilíndricas:
% u_ρ = (1 - 1/ρ²)cos(θ)
% u_θ = -(1 + 1/ρ²)sin(θ)

u_rho = (1 - (1./R.^2)) .* cos(A);
u_theta = -(1 + (1./R.^2)) .* sin(A);

% Convertir a coordenadas cartesianas
u_x = u_rho .* cos(A) - u_theta .* sin(A);
u_y = u_rho .* sin(A) + u_theta .* cos(A);

% 3. FUNCIÓN DE CORRIENTE ψ (psi)
psi = (R - 1./R) .* sin(A);

% 4. GRÁFICAS

figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);

% Graf 1: Líneas de corriente (ψ) y campo de velocidades
subplot(2, 2, 2);
contourf(X, Y, psi, 30, 'LineStyle', '-', 'LineWidth', 0.5);
hold on;
colorbar;
title('Líneas de Corriente (ψ) y Campo de Velocidades');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;

% Dibujar campo de velocidades
quiver(X(1:3:end, 1:3:end), Y(1:3:end, 1:3:end), ...
u_x(1:3:end, 1:3:end), u_y(1:3:end, 1:3:end), ...
1.5, 'w', 'LineWidth', 0.7, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);
hold off;
}}

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T23:16:59Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* == */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<center><math>\boxed{\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz}
</math></center>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho = \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})\Rightarrow\psi(\rho,\theta,Z)= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

Dando como resultado
<math>\psi: \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

{{matlab|codigo=

% Definir dominio en coordenadas cilíndricas
r = linspace(1, 5, 50); % Coordenada radial (ρ) desde r=1 (obstáculo)
a = linspace(0, 2*pi, 50); % Coordenada angular (θ)

% Crear malla
[R, A] = meshgrid(r, a);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(A);
Y = R .* sin(A);

% 1. FUNCIÓN POTENCIAL φ (phi)
phi = (R + (1./R)) .* cos(A);
% 2. CAMPO DE VELOCIDADES u = ∇φ

% Componentes en coordenadas cilíndricas:
% u_ρ = (1 - 1/ρ²)cos(θ)
% u_θ = -(1 + 1/ρ²)sin(θ)

u_rho = (1 - (1./R.^2)) .* cos(A);
u_theta = -(1 + (1./R.^2)) .* sin(A);

% Convertir a coordenadas cartesianas
u_x = u_rho .* cos(A) - u_theta .* sin(A);
u_y = u_rho .* sin(A) + u_theta .* cos(A);

% 3. FUNCIÓN DE CORRIENTE ψ (psi)
psi = (R - 1./R) .* sin(A);

% 4. GRÁFICAS

figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);

% Subplot 1: Líneas equipotenciales (φ) y campo de velocidades
subplot(2, 2, 1);
contourf(X, Y, phi, 30, 'LineStyle', '-', 'LineWidth', 0.5);
hold on;
colorbar;
title('Líneas Equipotenciales (φ) y Campo de Velocidades');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;

% Dibujar campo de velocidades (cada 3 puntos para claridad)
quiver(X(1:3:end, 1:3:end), Y(1:3:end, 1:3:end), ...
u_x(1:3:end, 1:3:end), u_y(1:3:end, 1:3:end), ...
1.5, 'k', 'LineWidth', 0.7, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
theta_circ = linspace(0, 2*pi, 100);
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);
hold off;

% Subplot 2: Líneas de corriente (ψ) y campo de velocidades
subplot(2, 2, 2);
contourf(X, Y, psi, 30, 'LineStyle', '-', 'LineWidth', 0.5);
hold on;
colorbar;
title('Líneas de Corriente (ψ) y Campo de Velocidades');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;

% Dibujar campo de velocidades
quiver(X(1:3:end, 1:3:end), Y(1:3:end, 1:3:end), ...
u_x(1:3:end, 1:3:end), u_y(1:3:end, 1:3:end), ...
1.5, 'w', 'LineWidth', 0.7, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);
hold off;

% Subplot 3: Superposición φ y ψ
subplot(2, 2, 3);
% Líneas equipotenciales en azul discontinuo
contour(X, Y, phi, 15, '--', 'LineColor', 'blue', 'LineWidth', 1.2);
hold on;
% Líneas de corriente en rojo continuo
contour(X, Y, psi, 15, '-', 'LineColor', 'red', 'LineWidth', 1.2);
% Campo de velocidades en negro
quiver(X(1:4:end, 1:4:end), Y(1:4:end, 1:4:end), ...
u_x(1:4:end, 1:4:end), u_y(1:4:end, 1:4:end), ...
1.2, 'k', 'LineWidth', 0.6, 'MaxHeadSize', 0.3);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.9, 0.9, 0.9], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);

title('Superposición: φ (azul) y ψ (rojo)');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;
legend('φ = constante (equipotenciales)', ...
'ψ = constante (líneas de corriente)', ...
'Campo de velocidades', 'Location', 'best');
hold off;

% Subplot 4: Verificación de ortogonalidad
subplot(2, 2, 4);
% Calcular gradiente de ψ
[psi_dx, psi_dy] = gradient(psi, r(2)-r(1), a(2)-a(1));

% Calcular producto punto u·∇ψ (debería ser ~0)
producto_punto = u_x .* psi_dx + u_y .* psi_dy;

% Visualizar magnitud del producto punto
pcolor(X, Y, abs(producto_punto));
shading interp;
colorbar;
hold on;
% Dibujar algunas líneas de corriente
contour(X, Y, psi, 10, 'w-', 'LineWidth', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);

title('Verificación: |u·∇ψ| ≈ 0 → Ortogonalidad');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
hold off;
}}

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T23:15:54Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<center><math>\boxed{\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz}
</math></center>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho = \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})\Rightarrow\psi(\rho,\theta,Z)= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

Dando como resultado
<math>\psi: \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

======================
{{matlab|codigo= % =======================================================
% FLUJO POTENCIAL ALREDEDOR DE OBSTÁCULO CIRCULAR
% =======================================================

% Definir dominio en coordenadas cilíndricas
r = linspace(1, 5, 50); % Coordenada radial (ρ) desde r=1 (obstáculo)
a = linspace(0, 2*pi, 50); % Coordenada angular (θ)

% Crear malla
[R, A] = meshgrid(r, a);

% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(A);
Y = R .* sin(A);

% =======================================================
% 1. FUNCIÓN POTENCIAL φ (phi)
% =======================================================
phi = (R + (1./R)) .* cos(A);

% =======================================================
% 2. CAMPO DE VELOCIDADES u = ∇φ
% =======================================================
% Componentes en coordenadas cilíndricas:
% u_ρ = (1 - 1/ρ²)cos(θ)
% u_θ = -(1 + 1/ρ²)sin(θ)

u_rho = (1 - (1./R.^2)) .* cos(A);
u_theta = -(1 + (1./R.^2)) .* sin(A);

% Convertir a coordenadas cartesianas
u_x = u_rho .* cos(A) - u_theta .* sin(A);
u_y = u_rho .* sin(A) + u_theta .* cos(A);

% =======================================================
% 3. FUNCIÓN DE CORRIENTE ψ (psi)
% =======================================================
psi = (R - 1./R) .* sin(A);

% =======================================================
% 4. GRÁFICAS
% =======================================================

figure('Position', [100, 100, 1200, 800]);

% Subplot 1: Líneas equipotenciales (φ) y campo de velocidades
subplot(2, 2, 1);
contourf(X, Y, phi, 30, 'LineStyle', '-', 'LineWidth', 0.5);
hold on;
colorbar;
title('Líneas Equipotenciales (φ) y Campo de Velocidades');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;

% Dibujar campo de velocidades (cada 3 puntos para claridad)
quiver(X(1:3:end, 1:3:end), Y(1:3:end, 1:3:end), ...
u_x(1:3:end, 1:3:end), u_y(1:3:end, 1:3:end), ...
1.5, 'k', 'LineWidth', 0.7, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
theta_circ = linspace(0, 2*pi, 100);
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);
hold off;

% Subplot 2: Líneas de corriente (ψ) y campo de velocidades
subplot(2, 2, 2);
contourf(X, Y, psi, 30, 'LineStyle', '-', 'LineWidth', 0.5);
hold on;
colorbar;
title('Líneas de Corriente (ψ) y Campo de Velocidades');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;

% Dibujar campo de velocidades
quiver(X(1:3:end, 1:3:end), Y(1:3:end, 1:3:end), ...
u_x(1:3:end, 1:3:end), u_y(1:3:end, 1:3:end), ...
1.5, 'w', 'LineWidth', 0.7, 'MaxHeadSize', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);
hold off;

% Subplot 3: Superposición φ y ψ
subplot(2, 2, 3);
% Líneas equipotenciales en azul discontinuo
contour(X, Y, phi, 15, '--', 'LineColor', 'blue', 'LineWidth', 1.2);
hold on;
% Líneas de corriente en rojo continuo
contour(X, Y, psi, 15, '-', 'LineColor', 'red', 'LineWidth', 1.2);
% Campo de velocidades en negro
quiver(X(1:4:end, 1:4:end), Y(1:4:end, 1:4:end), ...
u_x(1:4:end, 1:4:end), u_y(1:4:end, 1:4:end), ...
1.2, 'k', 'LineWidth', 0.6, 'MaxHeadSize', 0.3);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.9, 0.9, 0.9], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);

title('Superposición: φ (azul) y ψ (rojo)');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
grid on;
legend('φ = constante (equipotenciales)', ...
'ψ = constante (líneas de corriente)', ...
'Campo de velocidades', 'Location', 'best');
hold off;

% Subplot 4: Verificación de ortogonalidad
subplot(2, 2, 4);
% Calcular gradiente de ψ
[psi_dx, psi_dy] = gradient(psi, r(2)-r(1), a(2)-a(1));

% Calcular producto punto u·∇ψ (debería ser ~0)
producto_punto = u_x .* psi_dx + u_y .* psi_dy;

% Visualizar magnitud del producto punto
pcolor(X, Y, abs(producto_punto));
shading interp;
colorbar;
hold on;
% Dibujar algunas líneas de corriente
contour(X, Y, psi, 10, 'w-', 'LineWidth', 0.5);

% Dibujar obstáculo circular
plot(cos(theta_circ), sin(theta_circ), 'k', 'LineWidth', 2, ...
'Color', [0.2, 0.2, 0.2]);
fill(cos(theta_circ), sin(theta_circ), [0.8, 0.8, 0.8], ...
'EdgeColor', [0.2, 0.2, 0.2], 'LineWidth', 1.5);

title('Verificación: |u·∇ψ| ≈ 0 → Ortogonalidad');
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
axis equal;
axis([-4, 4, -4, 4]);
hold off;

}}

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Archivo:Psi lineasCorriente.png

2025-12-03T23:12:03Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA:

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T22:45:24Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<center><math>\boxed{\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz}
</math></center>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho = \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})\Rightarrow\psi(\rho,\theta,Z)= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

Dando como resultado
<math>\psi: \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})=cte</math>

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T22:42:41Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<center><math>\boxed{\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz}
</math></center>

<math>\psi(\rho,\theta,Z) =\int((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\partial\rho = \sin{\theta}\int(1+\frac{1}{\rho^2})\partial\rho = \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

<math>\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \cos{\theta}(\rho+\frac{1}{\rho})\Rightarrow\psi(\rho,\theta,Z)= \sin{\theta}(\rho-\frac{1}{\rho})+ C</math>

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T22:25:47Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> cumpliendo la condición anterior de líneas <math>\psi =cte</math>.

Empezamos las operaciones:
<math>\vec{v} =\vec{k}\times \vec{u} = \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
0 & 0 & 1 \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & (-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix} = ((1+\frac{1}{\rho^2})\sin{\theta})\vec{e}_\rho + (1-\frac{1}{\rho^2})\cos{\theta}\vec{e}_\theta</math>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial \rho} = V\rho,
\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = V\theta,
\frac{\partial \psi}{\partial z} = Vz,
</math>

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-03T21:47:58Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo alrededor de un obstáculo circular. Grupo 68| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Nicolás Rus Pérez, Jeremy García Herrera, Antonio Rodriguez Montes, Franco Luis Santillan, Juan Jose Salhua Palma.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
Un fluido es un medio contínuo deformable con la propiedad de que no transmite tensiónes tangenciales. Estos no tienen una forma definida y por tanto adoptan la forma del recipiente en el que se encuentran, y pueden encontrarse tanto en estado líquido (agua) como gaseoso (aire).

En este trabajo se estudiará el flujo de un fluido alrededor de un obstáculo circular considerando a este un fluido incompresible. Esta propiedad indica que el fluido no disminuye su volumen al serle aplicado una fuerza, y es propia de los fluidos en estado líquido.

Por conveniencia se trabajará en coordenadas con base cilíndrica (polares).

==Mallado==
Se genera a continuación un mallado en el que se representan los puntos interiores a la región ocupada por el fluido. Por convenio se representará el obstáculo circular centrado en el origen de coordenadas y con radio 1. De esta forma la región ocupada por el fluido será todo el exterior de la circunferencia unidad.

El objetivo de realizar este mallado es dividir el medio continuo (la región ocupada por el fluido) en subdominios más pequeños denominados elementos finitos. El conjunto de estos elementos forman el mallado que cubre toda la región y permite realizar cálculos y simulaciones numéricas particulares en cada uno de ellos.

Para ilustrar que el fluido ocupa el exterior de un circulo, se dibujarán los ejes en el intervalo <math>[-4,4]×[-4,4]</math>.
[[Archivo:Mallado1g68.JPG|thumb|right|Región del fluido y obstáculo]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Definen el rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Genera el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);
Z=0.*R;
mesh(X,Y,0*Z); %Dibuja la región
plot(cos(a),sin(a),'k','lineWidth',1); %Dibuja el obstáculo
axis([-4 4,-4 4]); %Se fijan los ejes
title ('Regíon Fluido'); %Definen los ejes y el nombre de la gráfica
xlabel 'EJE X'
ylabel 'EJE Y'
hold off
}}

==Campo de velocidad de las partículas==
Una vez definido el mallado de trabajo del fluido y el obstáculo, se procede a calcular las velocidades de las partículas del fluido en los distintos puntos de la región ocupada por el fluido incompresible. Partimos sabiendo que el campo de velocidades viene definido por el gradiente de la siguiente función potencial:

<center><math>\varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta ) </math></center>

A continuación se representa graficamente la función potencial:
[[Archivo:Mallado222g68.JPG|thumb|400px|right|Función potencial en la región del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,30); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,30);

[R,A]=meshgrid(r,a); %CGenra el mallado

hold on
X=R.*cos(A); %Parametrización la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Define la función potencial
Z=f(R,A);
surf(X,Y,Z); %Representa la función
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',3); %Representa el obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de colores, define el titulo de la gráfica y los ejes
title ('Función potencial');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
hold off
}}
Para calcular el campo de velocidades de las partículas del fluido es necesario el campo gradiente de la funcion potencial anterior, y dicho gradiente viene definido por la siguiente expresión:

<center>\(\nabla f(\rho, \theta, z) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \vec e_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \theta} \vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\)</center>

Aplicando dicha expresión a la función potencial, el gradiente resultante sera:

<center><math> \vec u(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)=\nabla \varphi=[(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)]\vec e_\rho-[(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)]\vec e_\theta </math></center>

Dado que la representación en MATLAB se realiza en coordenadas cartesianas <math>(\vec i,\vec j,\vec k)</math>, y el gradiente calculado se encuentra en coordenadas ciliíndricas <math>(\vec e_\rho,\vec e_\theta,\vec e_z)</math> ,debemos de pasar el gradiente de la función potencial a las primeras. Esto es posible gracias a la matriz de cambio de base entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, por lo que la multiplicamos por el vector gradiente dado <math>(\vec u)</math> en coordenadas cilíndricas.

Matriz de cambio de base de coordenadas cilindricas a coordenadas cartesianas:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec e_\rho\\
\vec e_\theta\\
\vec e_z\\
\end{pmatrix}
</center>

Por lo que:
<center>
\begin{pmatrix}
\vec i\\
\vec j\\
\vec k\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(1-\frac{1}{\rho^2})\cos(\theta)\\
-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin(\theta)\\
0\\
\end{pmatrix}
</center>
Resolviendo a coordenadas cartesianas:
<center><math> \vec u (\vec i,\vec j,\vec k) =\nabla \varphi=\left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \cos^2(\theta) + (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin^2(\theta)\right) \vec i + \left( (1 - \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta) - (1 + \frac{1}{{\rho^2}}) \cdot \sin(\theta) \cdot \cos(\theta)\right) \vec j </math></center>

A continuación representamos el campo de velocidades de las partículas sobre las superficies equipotenciales del flujo del fluido.
[[Archivo:Mallado3g68.JPG|thumb|500px|right|Campo de velocidades de las partículas sobre las líneas equipotenciales del fluido]]
{{matlab|codigo=

r=linspace(1,5,50); %Define rho (r) y theta (a)
a=linspace(0,2*pi,50);

[R,A]=meshgrid(r,a); %Crea la malla

X=R.*cos(A); %Parametriza la superficie
Y=R.*sin(A);

f=@(r,a)(r+(1./r)).*cos(a); %Definimos la función potencial
Z=f(R,A); %Aplica la función
contour(X,Y,Z,30); %Dibuja las curvas de nivel
hold on %Define las componentes X e Y del gradiente
Cx=(1-(1./R.^2)).*cos(A).^2+(1+(1./R.^2)).*sin(A).^2;
Cy=(1-(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A)-(1+(1./R.^2)).*sin(A).*cos(A);
quiver(X,Y,Cx,Cy); %Dibuja el campo de velocidades
plot(1*cos(a),1*sin(a),'k','lineWidth',1); %Representa del obstáculo
axis([-4,4,-4,4]);
colorbar; %Añade la barra de color, titulo y nombre a los ejes
title ('Campo de velocidades');
xlabel ('EJE X');
ylabel ('EJE Y');
axis equal
hold off
}}
Gracias a la gráfica anterior se observa como los vectores de velocidad definidos por <math> \vec u </math> son siempre perpendiculares a las líneas equipotenciales del fluido.
<center>[[Archivo:Mallado33.JPG]]</center>

==Rotacional Nulo y Divergencia Nula==
===Rotacional Nulo===
El rotacional nulo del campo de velocidades indica que el flujo es '''irrotacional''' , es decir , carece de vórtices o giros locales. Esto significa que una partícula de fluido no rota sobre sí misma mientras se desplaza, característica típica de los flujos potenciales.

El operador rotacional nos indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

A continuación se demuestra que el rotacional es nulo:

<center><math>
\nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
(1 - \frac{1}{{\rho^2}})\cos(\theta) & \rho(-(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta)) & 0
\end{vmatrix}=</math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left[ \frac{\partial}{\partial \rho} \left[ \rho \left( -(1 + \frac{1}{{\rho^2}})\sin(\theta) \right) \right]\vec{e}_z - \frac{\partial}{\partial \theta} \left[ \cos(\theta) \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right) \right] \vec{e}_z \right]=\frac{1}{\rho} \left[ -(1 - \frac{1}{\rho^2})\sin(\theta) + \sin(\theta)(1 - \frac{1}{\rho^2}) \right]=0
</math>

<math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math></center>

Se obtiene que el rotacional es 0, lo cual indica que las partículas del fluido no están girando

===Divergencia Nula===
Interpretación de la divergencia nula: La condición ∇·u = 0 corresponde a un flujo incompresible, donde la densidad del fluido permanece constante y el volumen de cualquier elemento material no cambia a lo largo del tiempo. Esto refleja la conservación local de la masa en ausencia de fuentes o sumideros.

<center><math>
\nabla \cdot \vec{u}(\rho, \theta, z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial \theta} (u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho u_z) \right\}= </math>

<math>
= \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial \rho} \left( (\rho - \frac{1}{\rho})\cos(\theta) \right) + \frac{\partial}{\partial \theta} \left( -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin(\theta) \right) \right\}=
</math>
<math>
\frac{1}{\rho} \left\{ (1 + \frac{1}{\rho^2})\cos(\theta) -\left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\cos(\theta) \right\}= 0
</math>

<math>\boxed { div(\bar { u } )=0 } </math></center>

== Líneas de corriente ==
Las líneas de corriente del flujo alrededor de un cilindro circular (en sección transversal) presentan un patrón simétrico con respecto al eje horizontal (eje x) y antisimétrico con respecto al eje vertical (eje y).
[[Archivo:Linea_corrienteTangencial.png|thumb|400px|right|Líneas de corrientes]]

Las líneas de corriente <math>\psi = \text{cte}</math> describen las trayectorias del flujo potencial alrededor del obstáculo circular, mostrando simetría y adaptación suave a la geometría. Estas líneas son tangentes al campo de velocidades en cada punto, verificando que <math>\vec{u}\cdot\nabla\psi = 0</math> . El patrón obtenido revela aceleración del fluido cerca del cilindro, condición de no penetración en la superficie, y recuperación del flujo uniforme lejos del obstáculo, características típicas de un flujo incompresible e irrotacional.

<math>\vec{v}</math> se calculará con : <math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>

<math>\vec{v}</math> es irrotacional dadon que el rotacional calculado en el apartado 3.1 es nulo.
De igual forma iene un potencial escalar <math>\psi </math> el cual tiene <math>\vec{v}</math> de gradiente.

Para el potencial escalar <math>\psi </math> se resolverá este sistema de ecuaciones: <math>\nabla\psi =\vec{v}</math> para finalmente dibujar las líneas <math>\psi =cte</math>.

== Velocidad extrema y puntos de remanso==

En la frontera del obstáculo, definida por la circunferencia unidad <math>\rho=1</math>, el módulo de la velocidad viene dado por

<center><math>|\vec u| = 2|\sin\theta|</math></center>

De esta expresión se deduce que la velocidad máxima se alcanza cuando

<math>\sin\theta=\pm1</math>, es decir, en

<center><math>\theta=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}</math></center>

que corresponden a los puntos cartesianos

<center><math>(0,1)\ \text{y}\ (0,-1)</math></center>

Estos son los puntos donde la velocidad del fluido es máxima sobre la frontera.

Por otro lado, la velocidad se anula cuando

<center><math>\sin\theta=0 \Rightarrow \theta=0,\ \pi</math></center>

lo que corresponde a los puntos

<center><math>(1,0)\ \text{y}\ (-1,0)</math></center>

Estos puntos reciben el nombre de '''puntos de remanso'''.

Para verificarlo numéricamente en MATLAB se ha representado el módulo de la velocidad sobre la frontera:
[[Archivo:Subir1.png|thumb|500px|center|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular. La velocidad es nula en los puntos de remanso y máxima en la dirección vertical.]]
{{matlab|codigo=
nr=100; nt=200;
r=linspace(1,5,nr);
th=linspace(0,2*pi,nt);
[R,TH]=meshgrid(r,th);

ur=(1-1./R.^2).*cos(TH);
uth=-(1+1./R.^2).*sin(TH);

Ux=ur.*cos(TH)-uth.*sin(TH);
Uy=ur.*sin(TH)+uth.*cos(TH);

Umag=sqrt(Ux.^2+Uy.^2);

UmagS=Umag(:,1);
THS=TH(:,1);

[Umax,imax]=max(UmagS);
[Umin,imin]=min(UmagS);

thetaMax=THS(imax);
thetaMin=THS(imin);

figure
plot(THS,UmagS), grid on
hold on
plot(thetaMax,Umax,'ro',thetaMin,Umin,'bo')
title('Modulo de la velocidad sobre la frontera S')
xlabel('\theta'), ylabel('|\itu|')
hold off
}}

== Presión del fluido y ecuación de Bernoulli==

Se supone que la densidad del fluido es constante e igual a

<center><math>\rho=2</math></center>

y se cumple la ecuación de Bernoulli

<center><math>\frac12\rho|\vec u|^2+p=C</math></center>

Despejando la presión se obtiene

<center><math>p=C-\frac12\rho|\vec u|^2</math></center>

Tomando para la constante el valor <math>C=1</math>, la presión queda completamente determinada en toda la región del fluido.

El campo de presiones se ha representado en MATLAB mediante:

{{matlab|codigo=
rho=2;
C=1;

P=C-0.5*rho*Umag.^2;

PS=P(:,1);
[Pmax,ipmax]=max(PS);
[Pmin,ipmin]=min(PS);

thetaPmax=THS(ipmax);
thetaPmin=THS(ipmin);

figure
contourf(R.*cos(TH),R.*sin(TH),P,30,'LineStyle','none');
colorbar
hold on
viscircles([0 0],1,'Color','k')
axis equal
title('Presión p(x,y)')
xlabel('x'), ylabel('y')
hold off
}}
{| class="wikitable" style="border:0; margin:auto; background:none;"
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir3.png|thumb|500px|Campo bidimensional del módulo de la velocidad ∣𝑢⃗(𝑥,𝑦)∣ alrededor del obstáculo circular]]
| style="border:0;" | [[Archivo:Subir2.png|thumb|500px|Módulo de la velocidad ∣𝑢⃗∣ sobre la frontera del obstáculo 𝑟=1 en función del ángulo 𝜃]]
|}
Se observa que la presión es máxima en los puntos de remanso, donde la velocidad es nula, y mínima en los puntos donde la velocidad alcanza su valor máximo. Esto concuerda con la ecuación de Bernoulli, ya que un aumento del módulo de la velocidad implica necesariamente una disminución de la presión.

==Velocidad y presión al rodear el obstáculo.==

Ya teniendo el campo de presiones se puede apreciar que tiene relación con la velocidad, ya que cuando disminuye la presión aumenta el módulo de la velocidad, tratándose de un resultado lógico debido a que cuando hablamos de un fluido incompresible su valor de Trinomio de Bernoulli ha de ser constante.
Lo podemos ver mediante la siguiente expresión: (Ec. Bernoulli).

<math>B=z+P/γ+v^2/2g</math>

B=valor del trinomio de Bernoulli

P= presión

z= altura

v=velocidad que lleva el fluido en determinado punto

g=valor de la gravedad

γ=valor del peso específico

Donde podemos ver que si la presión aumenta la velocidad tiene que disminuir y viceversa.

==Paradoja de D'Alembert.==

La magnitud pn representa la fuerza que el fluido ejerce de forma puntual sobre la superficie del obstáculo. Para estudiar si existe empuje neto en la dirección horizontal, basta analizar la suma de las proyecciones de todas esas fuerzas sobre el vector i. Si dicha suma resulta nula, concluiremos que no hay fuerza total en esa dirección.

Del apartado anterior conocemos ya la presión en la frontera del círculo unidad:
<math>p=10-∥u∥^2=9-4 sin⁡^2 θ-4sin⁡θ</math>

Cálculo del vector normal

Sobre la circunferencia de radio 1 el vector normal exterior es

<math>n=-eρ.</math>

Para expresarlo en coordenadas cartesianas utilizamos la matriz de cambio de base de polares a cartesianas. Tomando su traspuesta se obtiene:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -sen \theta & 0\\
sen \theta & \cos \theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}

Aplicando esta matriz a <math>(1,0,0)^T</math>, que corresponde al versor radial eρ, se obtiene:
\begin{pmatrix}
\cos \theta &\\
sen \theta &\\
0
\end{pmatrix}
<math>=cos⁡θi+sin⁡θj</math>

Al tomar el signo negativo para el normal exterior,

<math>n=cos⁡θi-sin⁡θj</math>,

de donde su proyección sobre i es:

<math>n⋅i=-cos⁡θ</math>.

Integración sobre la frontera

El borde del dominio se parametriza como
<math>(ρ,θ)=(1,θ), con θ∈[0,2π)</math>.

La contribución total de la presión en la dirección horizontal es:
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=\int_{0}^{2π}p(-cos⁡θ)dθ.</math>

Sustituyendo la expresión de p:
<math>\int_{0}^{2π}(9-4sin⁡^2 θ-4sin⁡θ)(-cos⁡θ)dθ.</math>

Integramos término a término:
<math>\int_{0}^{2π}-9cos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡^2 θcos⁡θdθ+\int_{0}^{2π}4sin⁡θcos⁡θdθ.</math>

Cada una de estas integrales es periódica con una primitiva continua en todo el intervalo; evaluándolas entre 0 y 2π se obtiene:
<math>[-9sin⁡θ]_{0}^{2π}=0,[(4sin⁡^3 θ)/3]_{0}^{2π}=0,[2sin⁡^2 θ]_{0}^{2π}=0.</math>

Por tanto,
<math>\int_{0}^{2π}p(n⋅i)dθ=0.</math>

Conclusión

La componente horizontal de la fuerza total ejercida por el fluido sobre el obstáculo es nula. En consecuencia, el fluido no produce empuje neto en la dirección i.

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:35:21Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:34:59Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Líneas de corriente */

Archivo:Linea corrienteTangencial.png

2025-12-02T00:34:35Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: Líneas de corriente tangencial

Líneas de corriente tangencial

Archivo:Linea corriente.png

2025-12-02T00:28:09Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: lineas de corriente

lineas de corriente

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:25:31Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:23:23Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Lineas */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:22:58Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Lineas */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:18:25Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA:

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:14:01Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-02T00:02:41Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:59:46Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:53:51Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:52:57Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* =Rotacional Nulo */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:51:15Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:50:19Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: /* Rotacional Nulo y Divergencia Nula */

Flujo alrededor de un obstáculo circular. (Grupo68)

2025-12-01T23:14:18Z

JUAN JOSE SALHUA PALMA: