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Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-06T11:25:07Z

JOEL HUANCA: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="350">
Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El quinto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0,58
|-
| Improductivo
| 0,17
|-
|Labor o Labradío secano
|8,33
|-
|Pastos
|353,10
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2,20
|-
|No clasificado
|72,72
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1.200,00
|-
|Labor o Labradío secano
|377.000,00
|-
|Pastos
|2.890.000,00
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
|0,02
|-
| Improductivo
|0,11
|-
|Pastos
|1,50
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0,65
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159.000,00
|-
|Pastos
|2.226.800,00
|}
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-06T11:24:17Z

JOEL HUANCA: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
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Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
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En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
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Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
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El quinto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0,58
|-
| Improductivo
| 0,17
|-
|Labor o Labradío secano
|8,33
|-
|Pastos
|353,10
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2,20
|-
|No clasificado
|72,72
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1.200,00
|-
|Labor o Labradío secano
|376.952,04
|-
|Pastos
|2.889.863,00
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
|0,02
|-
| Improductivo
|0,11
|-
|Pastos
|1,50
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0,65
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159.000,00
|-
|Pastos
|2.226.800,00
|}
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-04T09:55:23Z

JOEL HUANCA:

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
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Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El quinto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.576
|-
| Improductivo
| 0.1708
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|353.1113
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2.2062
|-
|No clasificado
|72.7139
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1.200,00
|-
|Labor o Labradío secano
|376.952,04
|-
|Pastos
|2.889.863,00
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.0164
|-
| Improductivo
| 0.106
|-
|Pastos
|1.512
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0.6455
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159.000,00
|-
|Pastos
|2.226.800,00
|}
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-04T09:34:20Z

JOEL HUANCA:

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="350">
Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El quinto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.576
|-
| Improductivo
| 0.1708
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|353.1113
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2.2062
|-
|No clasificado
|72.7139
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159.000
|-
|Pastos
|2.889.862,88
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.0164
|-
| Improductivo
| 0.106
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|1.512
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0.6455
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1.200
|-
|Labor o Labradío secano
|376.952,04
|-
|Pastos
|2.268.000
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-01T08:31:14Z

JOEL HUANCA:

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
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Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El sexto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.576
|-
| Improductivo
| 0.1708
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|353.1113
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2.2062
|-
|No clasificado
|72.7139
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159.000
|-
|Pastos
|2.889.862,88
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.0164
|-
| Improductivo
| 0.106
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|1.512
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0.6455
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1.200
|-
|Labor o Labradío secano
|376.952,04
|-
|Pastos
|2.268.000
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-01T08:29:23Z

JOEL HUANCA:

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
<gallery mode="packed" widths="500" heights="450">
Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="350">
Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El sexto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.576
|-
| Improductivo
| 0.1708
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|353.1113
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2.2062
|-
|No clasificado
|72.7139
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159000
|-
|Pastos
|2889862.88
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.0164
|-
| Improductivo
| 0.106
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|1.512
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0.6455
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 1200
|-
|Labor o Labradío secano
|376952.04
|-
|Pastos
|2268000
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte

2025-12-01T08:27:52Z

JOEL HUANCA:

{{ TrabajoSIG | Análisis de expropiación para una línea de alta tensión (LAT) en Fuerteventura. Zona Norte| Joel Esteban Huanca Padilla Jorge Martínez Rodríguez-Malo Claudia Xiang Martín Martínez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}

== Introducción ==
El presente trabajo tiene como objetivo analizar el proceso de expropiación derivado de la instalación de una línea de alta tensión (LAT) en la isla de Fuerteventura, así como los efectos territoriales y económicos asociados a su trazado. Este tipo de infraestructuras constituye un elemento esencial para garantizar el suministro eléctrico y la estabilidad del sistema energético insular, pero también implica una ocupación del territorio que genera afecciones ambientales y sociales.

A partir de un proyecto real de línea eléctrica de transporte ya ejecutado, se estudia la interacción entre el trazado y las distintas categorías de suelo afectadas, la incidencia sobre espacios naturales protegidos, la vegetación característica (en particular las palmeras) y la fauna, especialmente las aves. Además, se aborda una valoración económica estimativa de las parcelas implicadas en el proceso expropiatorio, con el fin de comprender el impacto económico directo de la instalación sobre los propietarios y el territorio.

El proyecto en cuestión se muestra en el siguiente plano de situación:
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Archivo:Trazado ZN.jpg|Imagen 1: Trazado de la Zona Norte de la Línea de Alta Tensión
</gallery>
El análisis combina la perspectiva técnica del planeamiento eléctrico con la ambiental y territorial, empleando sistemas de información geográfica (SIG) como herramienta fundamental para la representación, cuantificación y evaluación de las afecciones derivadas del proyecto.
== Metodología ==
El estudio se ha desarrollado utilizando el software QGIS, una herramienta que permite la integración y análisis espacial de datos geográficos. El estudio se estructura en dos etapas principales: una revisión general del impacto ambiental asociado al trazado de la línea de alta tensión y un análisis de expropiación teniendo en cuenta los diferentes tipos de usos del suelo según la cartografía catastral.

En la primera fase, se realizó la revisión de impacto ambiental mediante la identificación de las principales área de afección en el entorno del trazado. Para ello, se incorporaron al proyecto diversas capas temáticas que representan los elementos territoriales y ambientales de interés, junto con la traza de la LAT. A partir de esta información se elaboraron cuatro mapas temáticos en los que se reflejan distintas áreas potencialmente afectadas: los Bienes de Interés Cultural (BIC), las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA), los Espacios Naturales Protegidos y las Palmeras de Canarias.

En la segunda fase, se delimitaron las fincas atravesadas por la LAT mediante la cartografía catastral, clasificando el suelo en función de su tipología (urbano, rústico o protegido) y calculando las superficies afectadas. Posteriormente, se asignaron valores unitarios de suelo según su clasificación y uso, obteniendo una estimación del coste total de expropiación.

== Resultados ==
El análisis espacial realizado permitió identificar con precisión las áreas del territorio insular afectadas por la LAT. El trazado atraviesa mayoritariamente suelo rústico o no urbanizable, con una proporción menor de suelo de protección ambiental. Se detectan varios puntos de cruce o proximidad con espacios naturales protegidos, especialmente en zonas vinculadas a la ZEPA terrestre en la Costa Norte de Fuerteventura. Las principales áreas de sensibilidad se corresponden con zonas de vuelo o nidificación de aves esteparias y rapaces, que pueden verse afectadas por riesgo de colisión con el tendido aéreo.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Zona de Especial Proteccion de las Aves.png|Imagen 2: Zonas de Especial Protección para las Aves
</gallery>

En cuanto a la vegetación, la afección directa sobre palmeras individuales o agrupaciones es reducida, concentrándose principalmente en tramos próximos a cauces o zonas agrícolas abandonadas. Asimismo, en el cuarto mapa, correspondiente a la afección sobre espacios naturales protegidos, se observa que la LAT interseca de forma puntual con zonas de dunas móviles embrionarias, un hábitat de interés comunitario presente en el sector norte de la isla. Esta afección es muy limitada en extensión y se considera compatible, al no implicar la alteración significativa del relieve dunar ni de los procesos eólicos que lo modelan.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="350">
Archivo:Palmeras de Canarias.png|Imagen 3: Mapa de Palmeras de Canarias
Archivo:Espacios Protegidos.jpg|Imagen 4: Espacios Naturales Protegidos
</gallery>

El sexto mapa, dedicado a la afección a los Bienes de Interés Cultural (BIC), pone de manifiesto que el trazado de la LAT interseca de forma puntual, en el tramo final situado en la zona norte, una área arqueológica de interés cultural. No obstante, dada la reducida extensión del área afectada, se considera que la afección es limitada. Se establecerán medidas preventivas y de seguimiento arqueológico durante la ejecución de las obras, con el objetivo de evitar daños al patrimonio histórico y garantizar su adecuada protección.
<gallery mode="packed" widths="500" heights="400">
Archivo:Bienes culturales.png|Imagen 5: Bienes de Interés Cultural
</gallery>

En la segunda etapa, para realizar el análisis y la delimitación de las expropiaciones necesarias para el trazado de la línea de Alta Velocidad (AVE), se han considerado dos factores clave de ocupación permanente:
1. Una servidumbre de paso (vuelo) de 50 metros de ancho a lo largo del recorrido.
2. La ocupación física del suelo por las torres de infraestructura.

A fin de evitar el perjuicio a los propietarios de terrenos que resulten gravemente afectados, se ha establecido el siguiente criterio para la expropiación total de la parcela:
En los casos en que la ocupación total del terreno (trazado + torres) sea mayor al 50% de la superficie de la parcela, se procederá a la expropiación de la totalidad de la propiedad.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas expropiadas permanentemente
! Clasificación del suelo
! Área expropiada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.576
|-
| Improductivo
| 0.1708
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|353.1113
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|2.2062
|-
|No clasificado
|72.7139
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 159000
|-
|Pastos
|2889862.88
|}
|}

En el caso de los accesos necesarios para la construcción y maquinaria, se ha aplicado un criterio de ocupación temporal que sigue la misma lógica, pero con una compensación específica, estableciéndose un periodo de ocupación de tres años, con un coste unitario de 50 euros por metro cuadrado de suelo y un pago mínimo garantizado de 1.200 euros por parcela afectada.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de áreas ocupadas temporalmente
! Clasificación del suelo
! Área ocupada (ha)
|-
| Hidrografía natural (río, laguna, arroyo...)
| 0.0164
|-
| Improductivo
| 0.106
|-
|Labor o Labradío secano
|8.3308
|-
|Pastos
|1.512
|-
|Vías de comunicación de dominio público
|0.6455
|}
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
{| class="wikitable"
|+ Tabla de precios de expropiaciones
! Clasificación del suelo
! Coste (€)
|-
| Improductivo
| 597.80
|-
|Labor o Labradío secano
|376952.04
|-
|Pastos
|2268000
|}
|}

== Conclusiones ==

# '''Compatibilidad Limitada entre Infraestructura y Entorno Insular:''' El proyecto de la Línea de Alta Tensión (LAT) es fundamental para garantizar el suministro y la estabilidad del sistema energético de Fuerteventura. Sin embargo, es también necesario compatibilizar esta necesidad con la preservación territorial. El estudio, que combina la perspectiva técnica con la ambiental y territorial, concluye que, si bien la ocupación del suelo es significativa, el impacto ambiental global del proyecto puede catalogarse como '''moderado'''.
# '''Afección Prioritaria sobre Suelo Rústico y Riesgos en Zonas Ecológicas Clave:''' La infraestructura eléctrica discurre mayoritariamente por suelo rústico o no urbanizable. La categoría de suelo con mayor superficie afectada por la expropiación permanente fueron los pastos, con un total de 353.1113 hectáreas. En términos ambientales, el principal punto de conflicto se identificó en las Zonas de Especial Protección para las Aves (ZEPA) de la Costa Norte, donde existe un riesgo potencial de colisión para aves esteparias y rapaces con el tendido aéreo.
# '''Metodología SIG y Criterios de Expropiación Económica Definidos:''' La precisión en la cuantificación y evaluación de las afecciones fue posible gracias al uso fundamental de Sistemas de Información Geográfica (SIG), específicamente el software QGIS. Para la expropiación, se estableció un criterio claro para la expropiación total de parcelas: se procedería a la adquisición completa si la ocupación permanente (servidumbre de paso de 50 metros y la ocupación física de las torres) superaba el 50% de la superficie total del terreno. El coste económico derivado de la expropiación permanente fue considerable, destacando los pastos con €2,889,862.88.

== Referencias ==
Infraestructura de Datos Espaciales de Canarias: https://www.idecanarias.es/

Centro de Descargas del Instituto Geográfico Nacional: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/home

Sede Electrónica del Catastro: https://www.sedecatastro.gob.es/Accesos/SECAccDescargaDatos.aspx
== Anejo ==
<gallery mode="packed" widths="300" heights="300">
Archivo:Clasificacion del suelo.jpg|Imagen 6: Clasificación del suelo
</gallery>
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:25:17Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:Modulo3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradienteb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(xx,yy,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibuj0
axis equal
view(2)
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortogonalidadb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(xx,yy,T,10) % curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,dx,dy); % gradiente
hold off;
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Modulo3.jpg

2023-12-15T11:24:42Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:12:26Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica del gradiente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradienteb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(xx,yy,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibuj0
axis equal
view(2)
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortogonalidadb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(xx,yy,T,10) % curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,dx,dy); % gradiente
hold off;
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:11:42Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica del gradiente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Gradienteb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortogonalidadb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(xx,yy,T,10) % curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,dx,dy); % gradiente
hold off;
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Gradienteb9.jpg

2023-12-15T11:11:11Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:09:45Z

JOEL HUANCA: /* Comprobación de la ortogonalidad del gradiente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortogonalidadb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
[dx,dy] = gradient(T); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(xx,yy,T,10) % curvas de nivel
hold on
quiver(xx,yy,dx,dy); % gradiente
hold off;
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:09:16Z

JOEL HUANCA: /* Comprobación de la ortogonalidad del gradiente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortogonalidadb9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T11:09:00Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica del gradiente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}

===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Ortogonalidadb9.jpg

2023-12-15T11:02:50Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:50:14Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv).*exp((-(uu-3/2).^2))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:49:51Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura4.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Temperatura4.jpg

2023-12-15T10:46:52Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:34:27Z

JOEL HUANCA: /* Punto máximo de temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura3B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6, la zona amarilla es la de máxima temperatura.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:33:03Z

JOEL HUANCA: /* Punto máximo de temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura3B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6.

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:32:21Z

JOEL HUANCA: /* Punto máximo de temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura3B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 6

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:32:05Z

JOEL HUANCA: /* Punto máximo de temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura3B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente. Este punto se puede ver claramente en la figura 5

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:25:53Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura3B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(xx,yy,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(xx,yy,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(xx,yy,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Temperatura3B9.jpg

2023-12-15T10:25:03Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:21:57Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura2B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:21:36Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura2B9.jpg|500pxx400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:21:13Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura2B9.jpg|500pxx300px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:20:34Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura2B9.jpg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T10:20:09Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:Temperatura2B9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Archivo:Graficotemperaturab9.jpg

2023-12-15T10:10:26Z

JOEL HUANCA:

Archivo:Temperatura2B9.jpg

2023-12-15T10:04:46Z

JOEL HUANCA:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:48:27Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo escalar <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:47:17Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo del rotacional de \vec u */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math> sobre sí mismo cuando lo dejamos fluir por <math>\vec{u}</math>.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:45:48Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo del rotacional de \vec u */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo ortogonal a <math>\vec{u}</math>sobre sí mismo cuando flota sobre un fluido.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:42:28Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo del rotacional de \vec u */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre un fluido.

===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:30:03Z

JOEL HUANCA: /* Representación grafica de \psi */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar;
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:29:27Z

JOEL HUANCA: /* Representación grafica de \psi */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
colorbar
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:27:02Z

JOEL HUANCA: /* Representación grafica de \psi */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:26:48Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo de las líneas de corriente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Por último, calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:25:08Z

JOEL HUANCA: /* Demostración de que el campo \vec v es irrotacional */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:24:48Z

JOEL HUANCA: /* Líneas de Corriente */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
como <math> \vec u </math> es de divergencia nula, el campo <math> \vec v </math> es irrotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:23:56Z

JOEL HUANCA: /* Demostración de que el campo \vec v es irrotacional */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
como Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>

===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:19:18Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:18:55Z

JOEL HUANCA: /* Representación gráfica del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:12:51Z

JOEL HUANCA: /* Gradiente de la divergencia */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. En nuestro caso, tenemos un fluido incompresible y Dado que la divergencia mide el cambio en la densidad de un fluido moviéndose de acuerdo con un campo vectorial, será nulo.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

Como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

La siguiente representación se ha realizado con el siguiente programa de Matlab
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:04:54Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo del laplaciano del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilíndricas utilizaremos:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

A la vista de los resultados podemos afirmar que que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

La siguiente representación se ha realizado con el siguiente programa de Matlab
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T09:04:00Z

JOEL HUANCA: /* Definición del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math> y que su presión (p) es constante. Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

A la vista de los resultados podemos afirmar que que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

La siguiente representación se ha realizado con el siguiente programa de Matlab
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T08:59:39Z

JOEL HUANCA: /* Cálculo del laplaciano del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Por el enunciado del problema, sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

A la vista de los resultados podemos afirmar que que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

La siguiente representación se ha realizado con el siguiente programa de Matlab
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9)

2023-12-15T08:58:52Z

JOEL HUANCA: /* Gradiente de la divergencia */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo B9) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Ignacio Calmet, Roddyk Inocencio, Joel Huanca, Alejandro Molina, Daniel Zúñiga }}

Flujo de Couette es un tipo de flujo que ocurre en mecánica de fluidos entre dos paredes paralelas, una en movimiento y otra con un movimiento estacionario. Este tipo de flujo se utiliza para estudiar la viscosidad y el comportamiento de corte de los fluidos. En nuestro caso vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos, de manera que el interior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el exterior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular del cilindro interior es ω > 0
==Representación de la sección transversal==
Con la finalidad de ver los puntos ocupados por el fluido, vamos a realizar una sección transversal por el plano <math>x_3=0</math>. Dando como resultado la siguiente sección:
[[Archivo:SeccionB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|Figura 1. Sección trasversal de los dos cilindros| centro]]

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.08; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creación de matrices de los parámetros
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx); % dibujo de la figura con la coordenadas parametrizadas
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

==Cálculo de las velocidades==
=== Definición del campo de velocidades ===
Por el enunciado del problema, sabemos que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

en la que µ es el coeficiente de viscosidad del fluido, y donde vamos a despreciar el primer término (parte convectiva). Obteniendo así:

<center><math>µ∆\vec{u}=\vec{0}</math></center>

===Cálculo del laplaciano del campo de velocidades===

Para el cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas tenemos la siguiente formula:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<ol>Gradiente de la divergencia

En cuanto al primer sumando, tenemos el gradiente de la divergencia, pero para ello necesitamos calcular primero la divergencia. ¿A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible?.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>

A la vista de los resultados podemos afirmar que que se trata de un fluido incompresible. Además de esto, como la divergencia es nula el gradiente también lo es.

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

Tras haber calculado el rotacional del campo de velocidades, continuamos con el procedimiento calculando el rotacional del rotacional del campo de velocidades.

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final====
Tras haber calculado todas las partes de la ecuación, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Cálculos con de la ecuación de Navier-Stocks===

Dado que ya conocemos todas los partes de la ecuación, podemos resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}-µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>

====Comprobación de que f(ρ) satisface una ecuación diferencial====
La ecuación diferencial dada es:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{f(ρ)}{ρ} </math></center>
si desarrollamos la primera parte de la ecuación tenemos:

<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

El resultado obtenido coincide con el segundo y tercer sumando de la ecuación de Navier-Stocks, por lo tanto sustituyendo tenemos:

<center><math>-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>

reordenando la ecuación, comprobamos lo que se nos pedía:

<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Dada una solución posible solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para poder comprobar que esta solución es válida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Tras hallar dichas derivadas, las introducimos en la ecuación obtenida anteriormente y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Una vez confirmado la solución, para poder hallar las constantes "a" y "b" debemos imponer las condiciones dadas:

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ}\Longrightarrow
a+b=\omega</math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \vec{0} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 0</math>

Como resultado obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es este caso lo resolveremos por el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación tenemos que <math> (b=-4a) </math>. Gracias a esto tenemos las dos constantes:?
<center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>

Quedando la ecuación diferencial de siguiente forma:

<center><math>f(ρ) = -\frac{1}{3}\omega ρ +\frac{4}{3ρ}\omega</math></center>

==Representación gráfica del campo de velocidades==
Imponiendo las condiciones del enunciado (<math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>) tenemos: <center><math> a = -\frac{1}{3}\omega </math></center>
<center><math> b = \frac{4}{3}\omega</math></center>
Sustituyendo en la función obtenemos:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>

Por lo tanto tenemos el siguiente campo vectorial:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta </math></center>

Su representación sería la siguiente:
[[Archivo:Campo_de_velocidadesB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2. Campo vectorial de las velocidades]]

La siguiente representación se ha realizado con el siguiente programa de Matlab
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
dx=-sin(vv).*(1/3*(4./uu-uu)); % dirección de la velocidades
dy=cos(vv).*(1/3*(4./uu-uu));
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
quiver(xx,yy,dx,dy); % dibujo del campo vectorial
}}

==Líneas de Corriente==
===Vector ortogonal a <math> \vec u </math>===
Queremos dibujar las líneas de corriente del campo vectorial <math> \vec u </math>, es decir las líneas tangentes en cada punto. Para ello calculamos el vector <math> \vec v </math> que es el ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto.

<center><math> \vec{v} = \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u = \vec e_z\times\frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right )\vec{e}_\theta = \frac{1}{3}\left ( \rho-\frac{4}{\rho} \right )\vec{e}_\rho </math></center>
===Demostración de que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional===
Además, comprobamos que que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional, por lo que calculamos su rotacional.

<center><math>\triangledown\times\vec v= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) & 0 & 0\end{vmatrix}=\vec 0</math></center>
===Cálculo de las líneas de corriente===
Luego calculamos el potencial escalar <math>\psi </math> de <math> \vec v </math>, siendo la función de corriente de <math> \vec u </math>.
<center>
<math>\triangledown\psi= \vec v </math>,
<math>\psi= f(\rho, \theta)</math>,
<math>\triangledown\psi= \frac{\partial \psi}{\partial \rho}\vec e_\rho = \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) \vec{e}_\rho</math>
<math>\psi= \int \frac{1}{3}\ ( \rho-\frac{4}{\rho} ) = \frac{1}{3}\ ( \frac{\rho^2}{2}-4ln\rho ) </math></center>
====Representación grafica de <math>\psi </math>====
Luego de calcular <math>\psi </math>, representamos graficamente las líneas de corriente de <math>\vec u </math>
[[Archivo:LineasdecorrienteB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3. Líneas de corrientes]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(-4log(uu)+(uu.^2)./2); % Función de las líneas de corriente
axis([-3,3,-3,3]) % Región de vista del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
contour(xx,yy,f,20); % Dibujo de la líneas de corriente
}}

==Velocidad máxima del fluido==
===Módulo del campo de velocidades===

En este apartado, identificaremos los puntos donde la velocidad del fluido es máxima. Para ello, primero calcularemos el módulo del campo vectorial que corresponde a la velocidad:

<center><math>\left| \vec{u}(\rho) \right| = \left| \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)</math></center>
===Puntos críticos===

Buscamos los valores máximos que dicho módulo puede tomar, es decir, estamos buscando puntos críticos. Por lo tanto, lo derivamos e igualamos a 0.

<center><math>\frac{ \partial}{\partial \rho}\left| \vec{u}(\rho) \right| = \frac{ \partial}{\partial \rho}\left[\frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\right] = \frac{1}{3}(-\frac{4}{\rho^{2}}-1) = 0 </math></center>

<center><math> \frac{4}{\rho^{2}}+1 = 0 </math></center>
===Valor máximo de<math>\left| \vec{u}(\rho) \right|</math> ===

Como la ecuación obtenida en el punto anterior no puede cumplirse con valores reales, concluimos que la función del módulo no tiene máximos ni mínimos; es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para determinar el máximo valor que puede tomar el módulo, evaluamos la función en los extremos del intervalo <math> \rho\in(1,2) </math>:

<math> \left| \vec{u}(\rho=1) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{1}-1) = 1</math>

<math> \left| \vec{u}(\rho=2) \right| = \frac{1}{3}(\frac{4}{2}-2) = 0</math>

El módulo de la velocidad es máximo cuando <math>\rho=2</math>, es decir, en los puntos del tubo interior que gira con velocidad angular constante.
===Representación gráfica===
Representamos en una gráfica el comportamiento del módulo de la velocidad en función de <math>\rho</math>:
[[Archivo:Modulo_de_la_velocidad.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4. Campo escalar: Módulo de la velocidad]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creación de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f= 1/3*(4./uu-uu); % módulo de campo de velociades
surf(xx,yy,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Ejes del dibujo
view(2) % Elección de perpectiva
}}

==Rotacional==
===Cálculo del rotacional de <math> \vec u </math>===
Siendo <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>
De apartados anteriores sabemos que <center><math> f(\rho) = \frac{1}{3}\left ( \frac{4}{\rho}-\rho \right ) </math></center>
Por lo que resulta
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = -\frac{2}{3}\vec{e_z} </math></center>
El rotacional es constante en todos los puntos, esto es razonable debido a que el rotacional mide el giro de un cuerpo sobre sí mismo cuando flota sobre el agua.
===Representación gráfica===

A continuación se representa el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \frac{2}{3} </math> :
[[Archivo:ModulorotacionalB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 5. Campo escalar: Modulo del rotacional]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % Intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % Intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi; % Intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Creacion de matrices de los parámetros
xx=uu.*cos(vv); % Parametrización
yy=uu.*sin(vv);
z=0.*uu;
fz=ones(size(vv));
zz=fz*(2/3); % valor del modulo del rotacional
surf(xx,yy,zz)
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % Prespectiva del dibujo
}}

==Campo de temperaturas==
La temperatura del fluido viene definida por el siguiente campo:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> </center>
===Representación gráfica===
Dado el campo de Temperaturas, la representación del campo y de las curvas de nivel es el siguiente:
[[Archivo:TemperaturaB9.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 6. Campo de temperaturas y curvas de nivel]]

Código de Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
subplot(1,2,1); % Ventanas
surf(uu,vv,T); % Dibujo de la superficie
shading flat % Difuminado
subplot(1,2,2) % Ventana 2
pcolor(uu,vv,T); % Proyección en planta
hold on % Mantener ventana
contour(uu,vv,T,10,'k'); % 10 curvas de nivel
hold off
}}

===Punto máximo de temperatura===
En esto caso vamos a calcular el punto máximo gráficamente, por lo tanto, su representación gráfica es la siguiente:
[[Archivo:Grafico_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 7. Gráfico de la temperatura]]

Código en Matlab

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
plot3(uu,vv,T); % dibujo de las lineas de campo
}}

==Gradiente de la temperatura==
===Cálculo del gradiente===
Primero definimos en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar de la siguiente manera:

<math>\triangledown T = \frac{ \partial T}{\partial \rho}\vec{e_\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{ \partial T}{\partial \theta}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial T}{\partial z}\vec{e_z}</math>

Como nuestra función de temperatura T solo depende de <math> \rho </math> y <math> \theta </math>

<math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2}sen^{2}\theta e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}</math>

Por tanto, el gradiente de la temperatura será:

<math>\triangledown T = [sen^{2}\theta[2\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}} + \rho^{2}[ - 2(\rho - \frac{3}{2}) e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]]]\vec{e_\rho} + [sen(2\theta)\rho e^{ - (\rho - \frac{3}{2})^{2}}]\vec{e_\theta}</math>
===Representación gráfica del gradiente===
[[Archivo:Grandiente_de_la_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 8. Representación del gradiente de la temperatura]]
Codigo de matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
quiver(uu,vv,dx,dy); % Dibujo del campo vectorial
}}
===Comprobación de la ortogonalidad del gradiente===
Esta comprobación se ha realizado gráficamente con la siguiente figura:
[[Archivo:Ortoganalidad_grandiente_temperatura.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Figura 9. Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; % intervalo para dividir los parámetros
u=1:h:2; % intervalos de u [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % intervalo de v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creacion de matrices de los parámetros
T= 1+uu.^2.*(sin(vv.*exp((-(uu-3/2).^2)))).^2;
[dx,dy] = gradient(T,u,v); % Gradiente de la temperatura
figure;
contour(uu,vv,T) % curvas de nivel
hold on
quiver(uu,vv,dx,dy); % gradiente
hold off;
}}

==Caudal==

Queremos conocer el caudal que atraviesa la sección longitudinal de los cilindros. Estos tienen una altura de 1 metro y la velocidad del fluido lo medimos en m/s. La velocidad de los puntos del fluido está determinada por el campo vectorial:

<center><math>\vec{u} = \frac{1}{3}(\frac{4}{\rho}-\rho)\vec{e_\theta} </math></center>

La sección a considerar se trata de la composición de dos superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, tal y como representa la siguiente figura:
[[Archivo:Seccion2.jpg|miniaturadeimagen|centro|Figura 10. Representación de la sección longitudinal]]

Para calcular el caudal, debemos calcular la siguiente integral:

<center><math>\int_{S}^{} \vec{u} \cdot d\vec{S} = \iint_{D}^{} \vec{u} ( \Phi (u,v))\cdot ( \Phi_u \times \Phi_v) du dv </math></center>

<math>S</math> es la composición de las superficies <math>S_1</math> y <math>S_2</math>, <math>D</math> es el dominio de los valores que adoptan <math>u</math> y <math>v</math>, y escogeremos el vector <math>\vec{e_\theta}</math> como sentido de orientación de las superficies.
===parametrización de la superficie===

El primer paso es determinar la parametrización de las superficies.

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\frac{3\pi}{2},v) </math> donde <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

Calculamos los vectores velocidad <math>\Phi_u</math> y <math>\Phi_v</math> para posteriormente obtener el vector normal a la superficie <math> \Phi_u \times \Phi_v </math>. Primero con la superficie <math>\ S_1 </math>:

<math>\Phi_u = \frac{ \partial}{\partial u} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial u}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial u} v \vec{e_z} = \vec{e_\rho} </math>

<math>\Phi_v = \frac{ \partial}{\partial v} u \vec{e_\rho} + \rho\frac{ \partial}{\partial v}\frac{\pi}{2}\vec{e_\theta} + \frac{ \partial}{\partial v} v \vec{e_z} = \vec{e_z} </math>

<math> \Phi_u \times \Phi_v = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta}</math>

Como podemos observar en las operaciones, el valor de <math> \theta = \frac{\pi}{2} </math> no influye en el cálculo del vector normal, ya que se trata de un valor fijo que, al derivarlo, se anula. Si realizáramos los mismos cálculos con la superficie <math>\ S_2 </math>, obtendríamos los mismos valores, puesto que el único valor en el que difieren en la parametrización es en <math> \theta </math>, que también es un valor fijo.

El vector normal para ambas superficies es <math> \Phi_u \times \Phi_v = -\vec{e_\theta} </math>, que mira hacia el lado opuesto de la orientación que hemos escogido (<math>\vec{e_\theta}</math>). Por lo tanto, cuando calculemos el caudal, cambiaremos de signo al integral.

El vector <math>\vec{u} ( \Phi (u,v))</math>, tanto para <math>\ S_1 </math> como a <math>\ S_2 </math>, será:

<center><math>\vec{u} ( \Phi (u,v)) = \vec{u} (u,\frac{\pi}{2},v) = \vec{u} (u,\frac{3\pi}{2},v) =\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta} </math></center>

===Cálculo del caudal===
Finalmente, podemos calcular la integral para obtener el caudal:

<center><math>\ Caudal = \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = -\int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 - \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 = </math> </center>

<center><math>\ = -\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv - \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\frac{3\pi}{2},v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = -2 \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{1}{3}(\frac{4}{u}-u)\vec{e_\theta}) \cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{2}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)dudv = </math> </center>

<center><math>\ = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} (\frac{4}{u}-u)du = \frac{2}{3}[(4\ln{u} - \frac{u^{2}}{2}]^2 _1 = (\frac{8}{3} \ln{2} - 1) \frac{m^{3}}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]