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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T12:58:15Z

JJOLIVAS: /* Cálculo y representación de la tensión de von misses */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,20),Y(15,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.38667,-0.3872).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(21,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).
Se puede apreciar que el cambio de volumen es siempre negativo y es mayor en el centro de la placa, se denota que el campo vectorial tiene una mayor variación en esta zona.

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
uu=ui.+uj;%vector u en cartesianas
ugu=(-5.*U.*V)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %componente de u en gu
ugv=(-U.^2+4.*V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%componente de u en gv
uug=ugu.+ugv;%vector u en curvilineas
%calculamos el rotacional
dugvu=-(U.^3+6.*(U.*V.^2))./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada ugv respecto u
duguv=(-5.*U.^3)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada de ugu respecto de v
rotg=(1./(U.^2+V.^2).*(dugvu-duguv));
surf(X,Y,rotg)
maximo=max(max(rotg))
for i=1:21
for j=1:21
if rotg(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(11,1),Y(11,1)]

}}

El punto con mayor rotacional es maximo=9 y el punto de la malla es (11,1) su coordenada es (0,0.0555).

[[Archivo:Rotnal2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en vista cenital]].

[[Archivo:Rotnal3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en 3D]].

== Cálculo y representación de la tensión de von misses ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%Bucle para optimizar dimensiones
for i= 1:length(u)
for j= 1:length(v)
S=[v(j).^2-4.*u(i),17.*u(i).*v(j),0.*u(i);17.*u(i).*v(j),-v(j)-6.*u(i),0.*u(i);0.*u(i),0.*u(i),-v(j).^2+4.*u(i)];
autov=eig(S);
VM(i,j)= sqrt(((autov(1)-autov(2)).^2+(autov(2)-autov(3)).^2+(autov(3)-autov(1)).^2)/2);
end
end
surf(X,Y,VM')
maximo=max(max(VM'))
for i=1:21
for j=1:21
if VM'(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(21,21),Y(21,21)]

}}

El valor maximo=30.708 , el punto en la malla es el (21,21) y su coordenada es (1,0).

[[Archivo:Alzado von visses.png|800px|centro|thumb|Representación de la tensión de von misses en vista frontal]].

[[Archivo:Tdt2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación dee la tensión de von misses en vista cenital]].

[[Archivo:Tdt3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación dee la tensión de von misses en 3D]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

== Cálculo de la masa de la placa ==
Cálculo de la masa de la placa a partir de una integral doble en la base (u,v) donde x=u y=v

[[Archivo:Int.png|800px|centro|thumb|integral de la masa de la placa]].

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T12:57:33Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,20),Y(15,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.38667,-0.3872).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(21,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).
Se puede apreciar que el cambio de volumen es siempre negativo y es mayor en el centro de la placa, se denota que el campo vectorial tiene una mayor variación en esta zona.

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
uu=ui.+uj;%vector u en cartesianas
ugu=(-5.*U.*V)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %componente de u en gu
ugv=(-U.^2+4.*V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%componente de u en gv
uug=ugu.+ugv;%vector u en curvilineas
%calculamos el rotacional
dugvu=-(U.^3+6.*(U.*V.^2))./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada ugv respecto u
duguv=(-5.*U.^3)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada de ugu respecto de v
rotg=(1./(U.^2+V.^2).*(dugvu-duguv));
surf(X,Y,rotg)
maximo=max(max(rotg))
for i=1:21
for j=1:21
if rotg(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(11,1),Y(11,1)]

}}

El punto con mayor rotacional es maximo=9 y el punto de la malla es (11,1) su coordenada es (0,0.0555).

[[Archivo:Rotnal2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en vista cenital]].

[[Archivo:Rotnal3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en 3D]].

== Cálculo y representación de la tensión de von misses ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%Bucle para optimizar dimensiones
for i= 1:length(u)
for j= 1:length(v)
S=[v(j).^2-4.*u(i),17.*u(i).*v(j),0.*u(i);17.*u(i).*v(j),-v(j)-6.*u(i),0.*u(i);0.*u(i),0.*u(i),-v(j).^2+4.*u(i)];
autov=eig(S);
VM(i,j)= sqrt(((autov(1)-autov(2)).^2+(autov(2)-autov(3)).^2+(autov(3)-autov(1)).^2)/2);
end
end
surf(X,Y,VM')
maximo=max(max(VM'))
for i=1:21
for j=1:21
if VM'(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(21,21),Y(21,21)]

}}

El valor maximo=30.708 , el punto en la malla es el (21,21) y su coordenada es (1,0).

[[Archivo:Alzado von visses.png|800px|centro|thumb|Representación de la tensión de von misses en vista frontal]].

[[Archivo:Tdt2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación dee la tensión de von misses en vista cenital]].

[[Archivo:Tdt3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación dee la tensión de von misses en 3D]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

== Cálculo y representación de la tensión de von misses ==
Cálculo de la masa de la placa a partir de una integral doble en la base (u,v) donde x=u y=v

[[Archivo:Int.png|800px|centro|thumb|integral de la masa de la placa]].

Archivo:Int.png

2015-12-04T12:56:44Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T11:50:46Z

JJOLIVAS:

Archivo:Tdt3D.jpg

2015-12-04T11:50:24Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T11:49:24Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,20),Y(15,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.38667,-0.3872).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(21,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).
Se puede apreciar que el cambio de volumen es siempre negativo y es mayor en el centro de la placa, se denota que el campo vectorial tiene una mayor variación en esta zona.

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
uu=ui.+uj;%vector u en cartesianas
ugu=(-5.*U.*V)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %componente de u en gu
ugv=(-U.^2+4.*V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%componente de u en gv
uug=ugu.+ugv;%vector u en curvilineas
%calculamos el rotacional
dugvu=-(U.^3+6.*(U.*V.^2))./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada ugv respecto u
duguv=(-5.*U.^3)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada de ugu respecto de v
rotg=(1./(U.^2+V.^2).*(dugvu-duguv));
surf(X,Y,rotg)
maximo=max(max(rotg))
for i=1:21
for j=1:21
if rotg(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(11,1),Y(11,1)]

}}

El punto con mayor rotacional es maximo=9 y el punto de la malla es (11,1) su coordenada es (0,0.0555).

[[Archivo:Rotnal2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en vista cenital]].

[[Archivo:Rotnal3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en 3D]].

== Cálculo y representación de la tensión de von misses ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%Bucle para optimizar dimensiones
for i= 1:length(u)
for j= 1:length(v)
S=[v(j).^2-4.*u(i),17.*u(i).*v(j),0.*u(i);17.*u(i).*v(j),-v(j)-6.*u(i),0.*u(i);0.*u(i),0.*u(i),-v(j).^2+4.*u(i)];
autov=eig(S);
VM(i,j)= sqrt(((autov(1)-autov(2)).^2+(autov(2)-autov(3)).^2+(autov(3)-autov(1)).^2)/2);
end
end
surf(X,Y,VM')
maximo=max(max(VM'))
for i=1:21
for j=1:21
if VM'(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(21,21),Y(21,21)]

}}

El valor maximo=30.708 , el punto en la malla es el (21,21) y su coordenada es (1,0).

[[Archivo:Alzado von visses.png|800px|centro|thumb|Representación de la tensión de von misses en vista frontal]].

[[Archivo:Tdt2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación dee la tensión de von misses en vista cenital]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Alzado von visses.png

2015-12-04T11:47:46Z

JJOLIVAS:

Archivo:Tdt2D.jpg

2015-12-04T11:47:18Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T11:32:36Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,20),Y(15,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.38667,-0.3872).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(21,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).
Se puede apreciar que el cambio de volumen es siempre negativo y es mayor en el centro de la placa, se denota que el campo vectorial tiene una mayor variación en esta zona.

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
uu=ui.+uj;%vector u en cartesianas
ugu=(-5.*U.*V)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %componente de u en gu
ugv=(-U.^2+4.*V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%componente de u en gv
uug=ugu.+ugv;%vector u en curvilineas
%calculamos el rotacional
dugvu=-(U.^3+6.*(U.*V.^2))./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada ugv respecto u
duguv=(-5.*U.^3)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada de ugu respecto de v
rotg=(1./(U.^2+V.^2).*(dugvu-duguv));
surf(X,Y,rotg)
maximo=max(max(rotg))
for i=1:21
for j=1:21
if rotg(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(11,1),Y(11,1)]

}}

El punto con mayor rotacional es maximo=9 y el punto de la malla es (11,1) su coordenada es (0,0.0555).

[[Archivo:Rotnal2D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en vista cenital]].

[[Archivo:Rotnal3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación del rotacional en 3D]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Rotnal3D.jpg

2015-12-04T11:32:08Z

JJOLIVAS:

Archivo:Rotnal2D.jpg

2015-12-04T11:31:11Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T11:30:25Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,20),Y(15,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.38667,-0.3872).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(21,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).
Se puede apreciar que el cambio de volumen es siempre negativo y es mayor en el centro de la placa, se denota que el campo vectorial tiene una mayor variación en esta zona.

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
uu=ui.+uj;%vector u en cartesianas
ugu=(-5.*U.*V)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %componente de u en gu
ugv=(-U.^2+4.*V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%componente de u en gv
uug=ugu.+ugv;%vector u en curvilineas
%calculamos el rotacional
dugvu=-(U.^3+6.*(U.*V.^2))./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada ugv respecto u
duguv=(-5.*U.^3)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2));%derivada de ugu respecto de v
rotg=(1./(U.^2+V.^2).*(dugvu-duguv));
surf(X,Y,rotg)
maximo=max(max(rotg))
for i=1:21
for j=1:21
if rotg(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
P1=[X(11,1),Y(11,1)]

}}

El punto con mayor rotacional es maximo=9 y el punto de la malla es (11,1) su coordenada es (0,0.0555).

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T11:14:37Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas del punto máximo a partir del elemento máximo de la matriz Tª %(15,20)
P1=[X(15,1),Y(1,20)]
}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su punto en la matriz es (15,20) y sus coordenadas son (0.1333,-0.0328).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end
%Calculamos las coodenadas de los puntos máximos a partir de los elementos máximos de la %matriz divergencia(1,1) y (21,1)
P1=[X(1,1),Y(1,1)]
P2=[X(21,1),Y(1,1)]

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1) y sus coordenadas son (-0.3333, -0.4444) y (0.3333,-0.4444).

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T10:59:31Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado}}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan:<math> x = u·v </math>,<math> y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2)</math>;con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %mallado de puntos
X=U.*V; %Parametrizacion de X
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion de Y
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

== Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %intervalo de u
v=linspace(-1,1,21); %intervalo de v
[U,V]=meshgrid(u,v); %malladode puntos
X=U.*V; %prametrizacion x
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %parametrizacion y
xu=V; %componente en x de gu
xv=U; %componente en y de gu
yu=U; %componente en x de gv
yv=-V; %componente en y de gv
mesh(X,Y,X.*0) %representación de la placa
hold on %mantiene imagen
quiver(X,Y,xu,yu) %representacion vectores de gu
quiver(X,Y,xv,yv) %representacion vectores de gv
axis ([-1.5,1.5,-1.5,1.5]) %límites de representación
view(2) %Vista cenital.

}}

[[Archivo:A2grupog5.png|800px|centro|thumb|Vectores :[(-1.5,1.5) x (-1.5,1.5)] ]]

[[Archivo:A2ORTO.png|800px|centro|thumb|Ampliación para verificar la ortogonalidad]]

== Representación de las curvas de nivel de la función temperatura y cálculo del punto de mayor Tª ==
La temperatura del sólido viene dada por la función <math> T(x;y) = e^(-(x-y)2) </math>
.

{{Matlab|codigo=
u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
maximo=max(max(T)) %Punto de máxima Tª
contour(X,Y,T,30) %Representación curvas de nivel
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital.
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if T(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end

}}

El punto de mayor temperatura es maximo=1.00000 y su coordenada es (15,20).
[[Archivo:A3grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación de las curvas de nivel de la función T]].

== Cálculo y representación del gradiente de T ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
T=exp(-(X.-Y).^2); %Función temperatura
Tx=T.*(-2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de x
Ty=T.*(2.*(X.-Y)); %Derivada de T en función de y
contour(X,Y,T,10) %Representación curvas de nivel
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,Tx,Ty) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A4grupog5.png|800px|centro|thumb|Representación del gradiente de T]].

== Cálculo y representación del campo de desplazamientos en los puntos del mallado ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje x
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %Parametrización
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2); %Parametrización
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
hold on %Mantener Representación en la imagen
quiver(X,Y,ui,uj) %Representación del campo vectorial
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación
view(2) %Vista cenital

}}

[[Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png|800px|centro|thumb|Representación del campo de despazamientos]].

== Representación del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ~u ==

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y= 1/2.*(U.^2-V.^2);
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,X.*0);
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)
ui=-(U./4.*(sqrt(U.^2+V.^2))); %Vector desplazamientos componente i
uj=-(V./sqrt(U.^2+V.^2)); %Vector desplazamientos componente j
XX=X.+ui; %añadimos componente ui a X
YY=Y.+uj; %añadimos componente uj a Y
subplot(1,2,2)
surf(XX,YY,XX.*0)
axis ([-1,1,-1,1])
axis equal
view(2)

}}

[[Archivo:Antes y despues desplaza.png|800px|centro|thumb|Representación de la placa antes y después del despazamiento]].

== Cálculo y representación de la divergencia y de los puntos donde es mayor ==

{{Matlab|codigo=

%parametrizacion
u=linspace((1/3),1,21);
v=linspace(-1,1,21);
[U,V]=meshgrid(u,v);
X=U.*V;
Y=1/2.*(U.^2-V.^2);
%componentes delvector u
ui=-U./(4.*sqrt(U.^2+V.^2));
uj=-V./(sqrt(U.^2+V.^2));
%divergencia
duiu=(V.^2)./(4.*(U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de ui respecto de u
dujv=(U.^2)./((U.^2+V.^2).*sqrt(U.^2+V.^2)); %derivada de uj respecto de v
div=-(duiu.+dujv);
surf(X,Y,div)
maximo=max(max(div))
%creamos dos bucles "for" para comprobar todos los elementos de la matriz y ver cuales %coinciden con el máximo ya calculado
for i=1:21
for j=1:21
if div(i,j)==maximo
a=[i,j]
end
end
end

}}

El punto con mayor divergencia maximo=-0.30832 y los puntos de la malla son (1,1) y (21,1)

[[Archivo:DiverAAA.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en vista cenital]].

[[Archivo:DiverAAA3D.jpg|800px|centro|thumb|Representación de la divergencia en 3D]].

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:DiverAAA3D.jpg

2015-12-04T10:43:57Z

JJOLIVAS:

Archivo:DiverAAA.jpg

2015-12-04T10:42:59Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T10:37:42Z

JJOLIVAS:

Archivo:Antes y despues desplaza.png

2015-12-04T10:36:41Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T10:28:33Z

JJOLIVAS:

Archivo:Desplazamientosgrupog5a.png

2015-12-04T10:27:53Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-04T10:17:32Z

JJOLIVAS:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-03T23:32:57Z

JJOLIVAS: /* Cálculo y representación del gradiente de T */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-03T23:31:16Z

JJOLIVAS: /* Cálculo y representación del gradiente de T */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-03T23:20:48Z

JJOLIVAS: /* Representación de las líneas de coordenadas y de los vectores de la base natural en cada punto del mallado */

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo G5A

2015-12-03T23:07:56Z

JJOLIVAS: /* Representación del mallado */

Archivo:A4grupog5.png

2015-12-03T17:35:17Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T15:40:21Z

JJOLIVAS:

Archivo:A3grupog5.png

2015-12-03T15:34:45Z

JJOLIVAS:

Archivo:A2ORTO.png

2015-12-03T15:20:22Z

JJOLIVAS:

Archivo:A2grupog5.png

2015-12-03T15:17:11Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T14:56:41Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T14:54:21Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T14:46:30Z

JJOLIVAS:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad(Grupo G5) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] |Juan José Olivas Caballero, Alejandro Mendizábal Roche, Eduardo García Lanchares, Javier Martín Salgado }}

== Enunciado ==
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa
plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas:<math> P1(x,y): 18·y-81·x^2-1=0 </math>, y
<math> P2(x,y): 2·y +x^2 −1 = 0 </math>. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría
que nos dan: x = u·v, y =\frac{1}{2}(u^2 − v^2);con u y v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u, v),
que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u, v), y los desplazamientos ~u(x, y) producidos por
la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u, v) el vector de posición de los
puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u, v) de la placa después de la
deformación viene dada por: r(u, v) = ~r0(u, v) + ~u(u, v).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos ~u(u, v) = ~a(~b · ~r0),donde ~a y~b son vectores dados.En este trabajo supondremos lo siguiente:~a=~gv|~gv|,~b = −14~i, de la base cartesiana {~i,~j,~k}.

== Representación del mallado ==
Para la representación del mallado utilizaremos el programa Octave. En el introduciremos el comando ''Linspace'' para representar los intervalos, dónde tomaremos como paso de muestreo \( h = \frac{1}{20} . \) La malla la creamos con el comando ''Meshgrid''. Por último, para su representación utilizaremos el comando ''surf''.

{{Matlab|codigo=

u=linspace((1/3),1,21); %Límites de la placa en el eje X
v=linspace(-1,1,21); %Límites de la placa en el eje Y
[U,V]=meshgrid(u,v); %Mallado de la placa
X=U.*V; %
Y=1/2.*(U.^2-V.^2); %
mesh(X,Y,X.*0); %Representación de la placa
axis ([-1,1,-1,1]) %Límites de representación

}}

[[Archivo:A1.png|800px|centro|thumb|Placa :[(-1,1) x (-1,1)] ]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Categoría:TC15/16

2015-12-03T14:42:56Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T12:59:01Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T12:56:58Z

JJOLIVAS:

Categoría:TC15/16

2015-12-03T12:51:23Z

JJOLIVAS:

Archivo:A1.png

2015-12-03T12:39:30Z

JJOLIVAS: A1-Grupo:G5

A1-Grupo:G5